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14 KiB
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{31 marzo e 4 aprile 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\wip
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\begin{center}
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\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
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\end{center}
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\begin{definition} (derivata)
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Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
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di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
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\[Df(\xbar) = f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
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\vskip 0.05in
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Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata
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di $f$ in $\xbar$. Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RRbar$ come la funzione derivata,
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la quale associa ogni punto $\xbar$ in cui la derivata di $f$ esiste al
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valore del limite computato in $\xbar$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se esiste la
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derivata di $f$ in $\xbar$ e $f'(\xbar)$ è finito.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
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\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
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di $f$ in $\xbar$. \\
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\li Si definisce per convenzione $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
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\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
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\end{remark}
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\begin{definition} (derivata destra e sinistra)
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Dato $\xbar$ punto di accumulazione destro di $X$, si definisce
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allora \textbf{derivata destra} di $f$ in $\xbar \in X$, se
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esiste, il seguente limite:
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\[D_+ f(\xbar) = f_+'(\xbar) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
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\vskip 0.05in
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Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata destra di $f$ in $\xbar$. Analogamente, per un punto di accumulazione sinistro $\xbar \in X$, si definisce
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la \textbf{derivata sinistra} di $f$ in $\xbar \in X$, se esiste, il seguente
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limite:
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\[D_- f(\xbar) = f_-'(\xbar) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^-} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li Se esistono sia la derivata sinistra che destra di $f$ in $\xbar$
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e coincidono, allora la derivata di $f$ in $\xbar$ esiste e
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coincide con il valore di entrambe le due derivate. \\
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\li Vale anche il viceversa, se $\xbar$ è un punto di accumulazione
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sia destro che sinistro: se esiste la derivata di $f$ in $\xbar$,
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allora sia la derivata sinistra che destra esistono e coincidono
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con la derivata.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile $\forall x \in X$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
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funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
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è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
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è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
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numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
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\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
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allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = f'(\xbar) - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
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Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = a + \lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = a + 0 = a$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $f$ è anche continua in $\xbar$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
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$\lim_{x \to \xbar} f(x) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) + \lim_{x \to \xbar} f'(\xbar)(x-\xbar) + \lim_{x \to \xbar} o(x - \xbar) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$.
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\end{proof}
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%TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
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\begin{proposition}
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Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
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$\xbar$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
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\item $(f_1f_2)'(\xbar)= f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$, vale
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che:
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\[ f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h), \qquad f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h). \]
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $(f_1 + f_2)(\xbar + h) = (f_1 + f_2)(\xbar) +
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(f_1' + f_2')(\xbar) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 + f_2)'(\xbar) = (f_1' + f_2')(\xbar) =
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f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
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\item $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + \underbrace{(f_1(\xbar) + f_2(\xbar)) o(h) + (f_1'f_2')(\xbar) h^2 + (f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar))h \cdot o(h) + o^2(h))}_{=o(h)} =
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(f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 f_2)'(\xbar) = f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ derivabile in $\ybar := f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
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derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $f'(\xbar)$ è finito, $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Analogamente, $g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$.
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Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + (f'(\xbar) h + o(h))) =
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g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar) h + o(h)) + o(f'(\xbar) h + o(h)) =
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g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) + o(f'(\xbar) h + o(h))$. \\
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Si osserva che $\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{h} =
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\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \lim_{h \to 0} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} =
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0 \cdot f'(\xbar) = 0$, e quindi che $o(f'(\xbar) h + o(h)) = o(h)$.
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Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h)$,
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da cui si conclude che $(g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
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in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
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\item $g$ è derivabile in $\ybar$,
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\item $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}\nl
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
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in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
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un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$. Inoltre, $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
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è mai vuoto, dacché, essendo $f$ derivabile in $\xbar$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Quindi $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
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inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dal momento che $f$ è
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iniettiva, essendo bigettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
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\item e \!(iii) Poiché $f$ è derivabile in $g(\ybar)$,
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$\ybar + h = f(g(\ybar + h)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + h) - g(\ybar)}_k)) = \ybar + f'(\xbar) k +
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o(k)$, ossia vale che:
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\[ h = f'(\xbar) k + o(k). \]
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Dal momento che $g$ è continua in $\ybar$, $k \tends{h \to 0} 0$, e
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quindi $o(k) \tends{h \to 0} 0$. Quindi, per $h \to 0$, $k \sim \frac{h}{f'(\xbar)}$. Si conclude
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dunque che $\lim_{h \to 0} \frac{g(\ybar + h) - g(\ybar)}{h} =
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\lim_{h \to 0} \frac{k}{h} = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{example}
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La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
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infatti una funzione del tipo:
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\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
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dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
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esiste ($D_+ g(0) = 1$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
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\end{example}
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\begin{theorem} (di Fermat)
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Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
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di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
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$f'(\xbar) = 0$.
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\end{theorem}
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\begin{example}
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Dimostrare che la derivata sinistra è negativa, e che quella
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destra è positiva nei casi che hai capito.
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\end{example}
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\begin{theorem} (di Rolle)
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Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che
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$f$ sia continua su $I$, che $f(a) = f(b)$ e che $f$ sia derivabile
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in $[a, b]$. Allora $\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = 0$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il teorema di Weierstrass $f$ ammette un punto di massimo $M$ e uno di minimo $m$ in $I$. Se $f(a) = M$ e $f(b) = m$ o viceversa, la
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funzione $f$ è costante in $I$, e quindi per ogni punto in $(a, b)$
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la derivata è nulla, dacché $f$ è sempre derivabile. Altrimenti,
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sicuramente uno tra il punto di massimo e quello di minimo appartiene
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a $(a, b)$. Senza perdita di generalità, si assuma che $\exists x_M \in (a, b)$ tale che $f(x_M) = M$: per
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il teorema di Fermat $f'(x_M) = 0$. Analogamente per il caso in cui
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$\exists x_m \in (a, b)$ tale che $f(x_m) = m$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem} (di Cauchy)
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Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e siano $f$, $g: I \to \RR$
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continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$, con $g'$ non nulla
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in $(a, b)$ e $g(a) \neq g(b)$. Allora
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$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri la funzione $h : I \to \RR$ tale che $h(x) = f(x) - \left(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)) + f(a)\right)$.
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Si osserva che $h$,
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essendo una somma di funzioni continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$,
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è anch'essa continua su $I$ e derivabile in $(a, b)$. Inoltre
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$h(a) = h(b) = 0$. Quindi, per il teorema di Rolle, $\exists \xbar \in (a, b) \mid h'(\xbar) = 0 \implies \frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,
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da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem} (di Lagrange)
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Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f: I \to \RR$ tale che $f$
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sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$. Allora
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$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, ossia la cui retta tangente è parallela alla secante
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che passa per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri $g(x) = x$, $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile
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in $(a, b)$, con derivata sempre non nulla in tale intervallo.
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Allora, per il teorema di Cauchy, $\exists \xbar \in (a, b) \mid
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f'(\xbar) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
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sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$, con
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derivata non negativa. Allora $f$ è crescente in $[a, b]$.
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Analogamente, se la derivata è non positiva, $f$ è decrescente.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Senza perdita di generalità si dimostra il caso in cui la derivata
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di $f$ in $(a, b)$ è non negativa (altrimenti è sufficiente considerare
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$g = -f$).
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Si considerino $c < d \in I$. Allora, per il teorema di Lagrange,
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$\exists \xbar \in (c, d) \mid f'(c) = \frac{f(d) - f(c)}{d-c}
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\implies f(d) - f(c) = \underbrace{f'(c) (d-c)}_{\geq 0} \implies
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f(d) \geq f(c)$, ossia che $f$ è crescente in $I$.
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\end{proof}
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\begin{remark}\nl
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\li L'interpretazione geometrica del teorema di Cauchy, rispetto
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a quella di Lagrange, è leggermente più complicata. Si consideri
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la curva $\gamma : \RR \to \RR^2$ tale che
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$\gamma(t) =(g(t), f(t))$. Si osserva che il coefficiente della
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retta tangente in $\xbar$ per $\gamma$ è dato da $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{g(\xbar + h) - g(\xbar)}$, che,
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sotto le ipotesi del teorema di Cauchy, può essere riscritto
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come $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}$. Allora, il teorema di Cauchy
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asserisce che esiste un punto della curva $\gamma$ tale per cui
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la retta tangente alla curva in quel punto è parallela alla secante
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passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$.
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\end{remark}
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\begin{exercise}
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Dare un esempio di una funzione $f : \RR \to \RR$ crescente e
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discontinua $\forall x \in \ZZ$.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Si consideri $f(x) = \lfloor x \rfloor$.
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\end{solution}
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\begin{exercise}
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Si descriva un insieme $X$ tale che i suoi punti di accumulazione
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sono $\{\pm 1\}$.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Si consideri $X = \{1 + \frac{1}{n}\} \cup \{-1 + \frac{1}{n}\}$.
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\end{solution}
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\begin{exercise}
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Sia $f : X \to \RRbar$ continua in $\xbar$ e sia $a < f(\xbar)$.
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Allora esiste $J$ intorno di $\xbar$ tale che $a < f(x)$ $\forall
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x \in J$.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}
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Sia $X \subseteq \RRbar$ e sia $\xbar$ punto di accumulazione di $X$,
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$f_1$, $f_2 : X \to \RRbar$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ e $f_2$ è limitata inferiormente
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in un intorno $J$ di $\xbar$, allora $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} +\infty$.
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\item Se $f_1 \tendsto{\xbar} 0$ e $f_2$ è limitata in un intorno
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di $\xbar$, allora $f_1 f_2(x) \tendsto{\xbar} 0$.
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\item Se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ è limitata inferiormente
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da una costante positiva $m$ in un intorno $J$ di $\xbar$, allora
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$f_1 f_2 \tendsto{\xbar} +\infty$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}
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Sia $f: \RR \to \RR$ tale che:
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\[ f(x) = \system{x + 2x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \se x \neq 0, \\ 0 & \altrimenti.} \]
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\vskip 0.05in
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Mostrare che $f$ è continua, che $f'(0) = 1$ e che $f'$ non è continua in zero.
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\end{exercise}
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\end{document} |