Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata destra di $f$ in $\xbar$. Analogamente, per un punto di accumulazione sinistro $\xbar\in X$, si definisce
la \textbf{derivata sinistra} di $f$ in $\xbar\in X$, se esiste, il seguente
Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to0}\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)- f'(\xbar) h}{h}=\lim_{h \to0}\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h}- f'(\xbar)= f'(\xbar)- f'(\xbar)=0$, da cui la prima tesi. \\
Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to0}\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h}=\lim_{h \to0}\frac{ah + o(h)}{h}= a +\lim_{h \to0}\frac{o(h)}{h}= a +0= a$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar)= a$.
$\lim_{x \to\xbar} f(x)=\lim_{x \to\xbar} f(\xbar)+\lim_{x \to\xbar} f'(\xbar)(x-\xbar)+\lim_{x \to\xbar} o(x -\xbar)=\lim_{x \to\xbar} f(\xbar)= f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$.
Poiché $f'(\xbar)$ è finito, $f(\xbar+ h)=\ybar+ f'(\xbar) h + o(h)$. Analogamente, $g(\ybar+ h)= g(\ybar)+ g'(\ybar) h + o(h)$.
Allora $g(f(\xbar+ h))= g(\ybar+(f'(\xbar) h + o(h)))=
g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar) h + o(h)) + o(f'(\xbar) h + o(h)) =
g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) + o(f'(\xbar) h + o(h))$. \\
Si osserva che $\lim_{h \to0}\frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)}\frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)}\lim_{h \to 0}\frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} =
0 \cdot f'(\xbar) = 0$, e quindi che $o(f'(\xbar) h + o(h)) = o(h)$.
Allora $g(f(\xbar+ h))= g(\ybar)+ g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h)$,
da cui si conclude che $(g \circ f)'(\xbar)= g'(\ybar) f'(\xbar)$.
un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus\{\xbar\})\subseteq J$. Inoltre, $I \cap X \setminus\{\xbar\}$ non
è mai vuoto, dacché, essendo $f$ derivabile in $\xbar$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Quindi $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dal momento che $f$ è
iniettiva, essendo bigettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
\item e \!(iii) Poiché $f$ è derivabile in $g(\ybar)$,
$\ybar+ h = f(g(\ybar+ h))= f(g(\ybar)+(\underbrace{g(\ybar+ h)- g(\ybar)}_k))=\ybar+ f'(\xbar) k +
o(k)$, ossia vale che:
\[ h = f'(\xbar) k + o(k). \]
Dal momento che $g$ è continua in $\ybar$, $k \tends{h \to0}0$, e
quindi $o(k)\tends{h \to0}0$. Quindi, per $h \to0$, $k \sim\frac{h}{f'(\xbar)}$. Si conclude
dunque che $\lim_{h \to0}\frac{g(\ybar+ h)- g(\ybar)}{h}=
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f : I \to\RR$ tale che
$f$ sia continua su $I$, che $f(a)= f(b)$ e che $f$ sia derivabile
in $[a, b]$. Allora $\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $f'(\xbar)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di Weierstrass $f$ ammette un punto di massimo $M$ e uno di minimo $m$ in $I$. Se $f(a)= M$ e $f(b)= m$ o viceversa, la
funzione $f$ è costante in $I$, e quindi per ogni punto in $(a, b)$
la derivata è nulla, dacché $f$ è sempre derivabile. Altrimenti,
sicuramente uno tra il punto di massimo e quello di minimo appartiene
a $(a, b)$. Senza perdita di generalità, si assuma che $\exists x_M \in(a, b)$ tale che $f(x_M)= M$: per
il teorema di Fermat $f'(x_M)=0$. Analogamente per il caso in cui
$\exists x_m \in(a, b)$ tale che $f(x_m)= m$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Cauchy)
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e siano $f$, $g: I \to\RR$
continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$, con $g'$ non nulla
in $(a, b)$ e $g(a)\neq g(b)$. Allora
$\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}=\frac{f(b)- f(a)}{g(b)-g(a)}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri la funzione $h : I \to\RR$ tale che $h(x)= f(x)-\left(\frac{f(b)- f(a)}{g(b)- g(a)}(g(x)- g(a))+ f(a)\right)$.
Si osserva che $h$,
essendo una somma di funzioni continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$,
è anch'essa continua su $I$ e derivabile in $(a, b)$. Inoltre
$h(a)= h(b)=0$. Quindi, per il teorema di Rolle, $\exists\xbar\in(a, b)\mid h'(\xbar)=0\implies\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Lagrange)
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f: I \to\RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$. Allora
$\exists\xbar\in(a, b)$ tale che $f'(\xbar)=\frac{f(b)- f(a)}{b-a}$, ossia la cui retta tangente è parallela alla secante
che passa per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri $g(x)= x$, $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile
in $(a, b)$, con derivata sempre non nulla in tale intervallo.
Allora, per il teorema di Cauchy, $\exists\xbar\in(a, b)\mid
f'(\xbar) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $I =[a, b]\subset\RR$ e sia $f : I \to\RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$, con
derivata non negativa. Allora $f$ è crescente in $[a, b]$.
Analogamente, se la derivata è non positiva, $f$ è decrescente.
\end{proposition}
\begin{proof}
Senza perdita di generalità si dimostra il caso in cui la derivata
di $f$ in $(a, b)$ è non negativa (altrimenti è sufficiente considerare
$g =-f$).
Si considerino $c < d \in I$. Allora, per il teorema di Lagrange,