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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
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\end{center}
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\begin{definition}
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Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
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di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
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\[f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
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Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RR$ come la funzione derivata,
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la quale associa ogni punto in cui la derivata di $f$ esiste a
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tale derivata, dove $D$ è proprio l'insieme dei punti in cui questa esiste.
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\end{definition}
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%TODO: spiegare il perché dei domini
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\begin{definition}
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$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se $f'(\xbar)$ esiste ed è finito.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
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\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
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di $f$ in $\xbar$. \\
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\li Si definisce $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
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\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
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\li Si può definire la derivata sinistra e destra.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile in ogni
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suo punto.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
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funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
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è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
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è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
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numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
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||||
\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
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allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
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||||
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||||
Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = 0$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora è anche continua in $\xbar$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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||||
Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
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$\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$. %TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
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$\xbar$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
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||||
\item $(f_1f_2)'(\xbar) f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\lim_{h \to 0} \frac{(f_1 + f_2)'(\xbar + h) - (f_1 + f_2)'(\xbar)(\xbar)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f_2(x+h) - f_2(x)}{h} =
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f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
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||||
\item Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$,
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$f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h)$ e
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$f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h)$,
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da cui $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1f_2)(\xbar) + (f_1f_2'(\xbar) +
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f_1'(\xbar) f_2(\xbar))h + o(h) \implies (f_1 f_2)'(\xbar) = (f_1f_2'(\xbar) +
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f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ tale che
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sia derivabile in $\ybar = f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
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derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Vale che $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$, e quindi
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che $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + f'(\xbar) h + o(h))$. In particolare,
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$g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$, e quindi
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$g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar)h + o(h)) +
|
||||
o(f'(\xbar) h + o(h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) \implies (g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
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||||
\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
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in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
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\item $g$ è derivabile in $\ybar$,
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\item $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}\nl
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
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in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
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un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$, e poiché $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
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è mai vuoto perché $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$ a causa della derivabilità di $f$ in $\xbar$, $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
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inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dacché $f$ è
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iniettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
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\item e (iii) Vale\footnote{Nel dire che $h \to 0$, si è usato che $g$ è
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continua in $\ybar$.} che $\ybar + k = f(g(\ybar + k)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + k) - g(\ybar)}_h)) = f(\xbar + h) =
|
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f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Quindi $k = f'(\xbar) h + o(h)$. Dal momento che $f'(\xbar) \neq 0$
|
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per ipotesi, $h \sim \frac{k}{f'(\xbar)}$. Quindi
|
||||
$\lim_{k \to 0} \frac{g(\ybar + k) - g(\ybar)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{h}{k} = \frac{1}{f'(\xbar)}$. Quindi la derivata esiste
|
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ed è proprio come desiderata nella tesi.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{example}
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La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
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infatti una funzione del tipo:
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\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
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dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
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esiste ($D_+ g(0) = 1)$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
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\end{example}
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\begin{theorem} (di Fermat)
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Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
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di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
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$f'(\xbar) = 0$.
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\end{theorem}
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\begin{example}
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Dimostrare che la derivata sinistra è negativa, e che quella
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destra è positiva nei casi che hai capito.
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||||
\end{example}
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\end{document}
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BIN
Binary file not shown.
+167
-10
@@ -4,7 +4,7 @@
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{27 e 28 marzo 2023}
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\date{27 e 31 marzo 2023}
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\begin{document}
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@@ -61,7 +61,7 @@
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||||
\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
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Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
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\end{proposition}
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@@ -130,6 +130,11 @@
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esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{i_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{i_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{i_0} }. \]
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|
||||
Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
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$\iota_+(\varphi)$ vettori della base con forma quadratica positiva,
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$\iota_-(\varphi)$ con forma negativa e $\iota_0(\varphi)$ con
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forma nulla.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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@@ -140,9 +145,27 @@
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$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
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altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
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la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
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tesi, dove $i_+$ è il numero di elementi della base la cui forma
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quadratica è positiva, $i_-$ il numero di elementi cui tale forma sia
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negativa e $i_0$ il numeri degli elementi cui tale forma sia nulla.
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tesi. \\
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In particolare, $\iota_0(\varphi)$ è esattamente il numero di vettori
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con forma quadratica nulla della base, rappresentando infatti
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esattamente la dimensione del nucleo di $M_\basis(\varphi)$,
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ossia di $V^\perp$. \\
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Siano ora $W_+ = \Span(\vv 1, ... \vv a)$, dove $a$ è il numero
|
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di vettori della base con forma quadratica positiva,
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$W_- = \Span(\vv{a+1}, ... \vv b)$, dove $b$ è il numero di vettori
|
||||
con forma negativa e
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$W_0 = \Span(\vv{b+1}, ... \vv c)$, dove $c$ è il numero di vettori
|
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con forma nulla.
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||||
Allora chiaramente $V = W_+ \oplus W_- \oplus W_0$. Inoltre,
|
||||
$\restr{\varphi}{W_+} > 0$, $\restr{\varphi}{W_-} > 0$ e
|
||||
$\restr{\varphi}{W_0} = 0$. Pertanto $\iota_+(\varphi) \geq \dim W_+ = a$. Analogamente $\iota_-(\varphi) \geq \dim W_- = b$ e
|
||||
$\iota_0(\varphi) = c$ ($W_0 = V^\perp$). Se lo spazio definito
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positivo massimo $W$ fosse tale che $\dim W > \dim W_+$, allora,
|
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poiché $V = a + b + c$ e $\dim W + b + c > \dim V \implies
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W \cap W_- \cap W_0 \neq \emptyset$, $\Lightning$. Quindi valgono
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||||
le uguaglianze, da cui la tesi.
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\end{proof}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
@@ -151,15 +174,149 @@
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||||
del teorema di Sylvester reale.
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\end{definition}
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\begin{remark} Riguardo alla segnatura e al caso reale del teorema
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di Sylvester possono essere fatte alcune considerazioni. \\
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\begin{remark} \nl
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||||
\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
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entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
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della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
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la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
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tra loro.
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tra loro. Analogamente vale il viceversa, come conseguenza del
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teorema di Sylvester reale.
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||||
\li Si dice base di Sylvester una base di $V$ tale per cui la
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matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
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vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester, e
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tale matrice si dirà anch'essa matrice di Sylvester.
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||||
%TODO: completare spiegazione.
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\end{remark}
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||||
\end{document}
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||||
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\begin{definition}
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||||
Si dice \textbf{indice di positività} di $\varphi$ il
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||||
termine $\iota_+(\varphi) = i_+ = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} > 0 \}$. Analogamente $\iota_-(\varphi) = i_- = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} < 0 \}$ è detto
|
||||
\textbf{indice di negatività}. Si definisce invece $\iota_0(\varphi) = i_0 = \dim V^\perp$ come \textbf{indice di nullità}.
|
||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\begin{remark}\nl
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||||
\li I sottospazi la cui dimensione è pari all'indice di positività
|
||||
o di negatività non sono obbligatoriamente unici.
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||||
\end{remark}
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||||
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\begin{definition}
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||||
Dati due spazi vettoriali con prodotti scalare $(V, \varphi)$ e
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||||
$(V', \varphi')$ sullo stesso campo $\KK$, si dice che
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||||
$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
|
||||
$f$ che preserva i prodotti, ossia tale che:
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||||
|
||||
\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)), \]
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||||
|
||||
e tale isomorfismo si dirà isometria.
|
||||
\end{definition}
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||||
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\begin{exercise}\nl
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||||
\li $f : V \to V'$ è un isometria $\iff$ per una base $\basis =
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||||
\{\vv1, ..., \vv k\}$ di $V$, $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\iff$ vale per ogni base.
|
||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Per $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ sono equivalenti:
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||||
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||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
|
||||
\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, $\basis'$ di $V'$,
|
||||
$M_\basis(\varphi)$ e $M_\basis'(\varphi')$ sono congruenti;
|
||||
\item lo stesso ma per una base.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
(1-2)
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||||
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||||
\rightproof Sia $\basis'' = f(\basis)$. Allora $M_{\basis''}(\varphi')=
|
||||
(\varphi'(f(\vv i), f(\vv j))) = (\varphi(\vv i, \vv j))$. Allora,
|
||||
per la formula di cambiamento di base, le matrici
|
||||
$M_{\basis'}(\varphi')$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
|
||||
|
||||
\leftproof Sia $A = M_\basis(\varphi) = P^\top B P$ e
|
||||
$B = M_{\basis'}(\varphi')$. Allora $a_{ij} = \varphi(\vv i, \vv j) =
|
||||
... = \varphi'(\vec{v_i^{ii}}, \vec{v_j^{ii}})$, dove
|
||||
$\vec{v_i^{ii}}$ è base perché $P$ è invertibile. Allora
|
||||
l'applicazione $f : V \to V'$ che manda $\vv i \mapsto \vec{v_{i}^{''}}$ è un isometria.
|
||||
|
||||
(2-3) esercizio.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
|
||||
su $\RR$ sono
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||||
isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
\rightproof Basta che prendi la solita base. \\
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\leftproof Siano $\basis$, $\basis'$ basi di Sylvester di $V$
|
||||
e di $V'$. Si definisce allora l'applicazione $f : V \to V'$ tale
|
||||
che $f(\vv i) = \ww i$: essa è un isometria.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
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||||
Due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno
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||||
la stessa segnatura.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
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\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
|
||||
$V = U \oplusperp W$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}\nl
|
||||
\li se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
|
||||
analogamente per gli altri indici.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $\KK$ qualunque. $W \subseteq V$ si dice sottospazio isotropo
|
||||
se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}\nl
|
||||
\li $V^\perp$ è isotropo, \\
|
||||
\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è sottospazio isotropo, \\
|
||||
\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Sia $\varphi$ non degenere. $W \subseteq V$ isotropo, allora
|
||||
$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp \implies
|
||||
\dim W \leq \dim V - \dim W \implies \dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
|
||||
come la massima dimensione di un sottospazio isotropo.
|
||||
\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li Se $\varphi > 0$, $W(\varphi) = 0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Per $\KK = \RR$ e $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), \iota_0(\varphi))$, con $\varphi$ non degenere,
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$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia ad esempio $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$. Se $W$
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è un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\phi)$, e $W^+$ è
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un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0 \implies \dim (W \cap W^+) > 0$,
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e quindi $W$ non è isotropo (quindi $W(\varphi) < \iota_-(\varphi)$). \\
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Sia $\basis$ una base di Sylvester. Per costruirlo prendi
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coppie della base originale facendo la differenza e nota
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che ne prendi esattamente quante iota-.
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\end{proof}
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\end{document}
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BIN
Binary file not shown.
@@ -24,6 +24,13 @@
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\let\oldvec\vec
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti }}
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\newcommand{\se}{\text{se }}
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\newcommand{\epari}{\text{è dispari}}
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\newcommand{\edispari}{\text{è pari}}
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\newcommand{\nl}{\ \\}
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\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
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\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
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@@ -72,6 +79,8 @@
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\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
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\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
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\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
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\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
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\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
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\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
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@@ -126,8 +135,11 @@
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\let\v\undefined
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\newcommand{\v}{\vec{v}}
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\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
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\newcommand{\w}{\vec{w}}
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\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
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\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
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\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
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% Comandi personali.
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Reference in New Issue
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