feat: aggiunge la base degli appunti del 31/03/2023

Analisi I/Parte teorica/2023-03-31/main.tex

@@ -0,0 +1,166 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{\today}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
+	\end{center}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
+		di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
+		
+		\[f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
+		
+		Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RR$ come la funzione derivata,
+		la quale associa ogni punto in cui la derivata di $f$ esiste a
+		tale derivata, dove $D$ è proprio l'insieme dei punti in cui questa esiste.
+	\end{definition}
+
+	%TODO: spiegare il perché dei domini
+	
+	\begin{definition}
+		$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se $f'(\xbar)$ esiste ed è finito.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}\nl
+		\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
+		\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
+		di $f$ in $\xbar$. \\
+		\li Si definisce $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
+		\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
+		\li Si può definire la derivata sinistra e destra.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile in ogni
+		suo punto.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
+		funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
+		è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
+		è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
+		numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
+	\end{definition}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
+			\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
+			allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
+		
+		Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = 0$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{corollary}
+		Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora è anche continua in $\xbar$.
+	\end{corollary}
+
+	\begin{proof}
+		Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
+		$\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$. %TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
+		$\xbar$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
+			\item $(f_1f_2)'(\xbar) f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\lim_{h \to 0} \frac{(f_1 + f_2)'(\xbar + h) - (f_1 + f_2)'(\xbar)(\xbar)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f_2(x+h) - f_2(x)}{h} =
+			f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
+			\item Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$,
+			$f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h)$ e
+			$f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h)$,
+			da cui $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1f_2)(\xbar) + (f_1f_2'(\xbar) +
+			f_1'(\xbar) f_2(\xbar))h + o(h) \implies (f_1 f_2)'(\xbar) = (f_1f_2'(\xbar) +
+			f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ tale che
+		sia derivabile in $\ybar = f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
+		derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Vale che $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$, e quindi
+		che $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + f'(\xbar) h + o(h))$. In particolare,
+		$g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$, e quindi
+		$g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar)h + o(h)) +
+		o(f'(\xbar) h + o(h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) \implies (g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
+		in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
+			\item $g$ è derivabile in $\ybar$,
+			\item $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}\nl
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
+			in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
+			un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$, e poiché $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
+			è mai vuoto perché $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$ a causa della derivabilità di $f$ in $\xbar$, $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
+			inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dacché $f$ è
+			iniettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
+			\item e (iii) Vale\footnote{Nel dire che $h \to 0$, si è usato che $g$ è
+			continua in $\ybar$.} che $\ybar + k = f(g(\ybar + k)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + k) - g(\ybar)}_h)) = f(\xbar + h) =
+			f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Quindi $k = f'(\xbar) h + o(h)$. Dal momento che $f'(\xbar) \neq 0$
+			per ipotesi, $h \sim \frac{k}{f'(\xbar)}$. Quindi
+			$\lim_{k \to 0} \frac{g(\ybar + k) - g(\ybar)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{h}{k} = \frac{1}{f'(\xbar)}$. Quindi la derivata esiste
+			ed è proprio come desiderata nella tesi.
+ 		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{example}
+		La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
+		infatti una funzione del tipo:
+		
+		\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
+		
+		dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
+		esiste ($D_+ g(0) = 1)$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
+	\end{example}
+
+	\begin{theorem} (di Fermat)
+		Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
+		di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
+		$f'(\xbar) = 0$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{example}
+		Dimostrare che la derivata sinistra è negativa, e che quella
+		destra è positiva nei casi che hai capito.
+	\end{example}
+\end{document}

Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, 31, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 \title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
 \author{Gabriel Antonio Videtta}
-\date{27 e 28 marzo 2023}
+\date{27 e 31 marzo 2023}
 
 \begin{document}
 	
@@ -61,7 +61,7 @@
 		\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale. 
 	\end{definition}
 
-	\begin{proposition}
+	\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
 		Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
 	\end{proposition}
 
@@ -130,6 +130,11 @@
 		esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
 		
 		\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{i_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{i_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{i_0} }. \]
+		
+		Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
+		$\iota_+(\varphi)$ vettori della base con forma quadratica positiva,
+		$\iota_-(\varphi)$ con forma negativa e $\iota_0(\varphi)$ con
+		forma nulla.
 	\end{theorem}
 
 	\begin{proof}
@@ -140,9 +145,27 @@
 		$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
 		altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
 		la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
-		tesi, dove $i_+$ è il numero di elementi della base la cui forma
+		tesi. \\
-		quadratica è positiva, $i_-$ il numero di elementi cui tale forma sia
+		
-		negativa e $i_0$ il numeri degli elementi cui tale forma sia nulla.
+		In particolare, $\iota_0(\varphi)$ è esattamente il numero di vettori
+		con forma quadratica nulla della base, rappresentando infatti
+		esattamente la dimensione del nucleo di $M_\basis(\varphi)$,
+		ossia di $V^\perp$. \\
+		
+		Siano ora $W_+ = \Span(\vv 1, ... \vv a)$, dove $a$ è il numero
+		di vettori della base con forma quadratica positiva,
+		$W_- = \Span(\vv{a+1}, ... \vv b)$, dove $b$ è il numero di vettori
+		con forma negativa e
+		$W_0 = \Span(\vv{b+1}, ... \vv c)$, dove $c$ è il numero di vettori
+		con forma nulla.
+		Allora chiaramente $V = W_+ \oplus W_- \oplus W_0$. Inoltre,
+		$\restr{\varphi}{W_+} > 0$, $\restr{\varphi}{W_-} > 0$ e
+		$\restr{\varphi}{W_0} = 0$. Pertanto $\iota_+(\varphi) \geq \dim W_+ = a$. Analogamente $\iota_-(\varphi) \geq \dim W_- = b$ e
+		$\iota_0(\varphi) = c$ ($W_0 = V^\perp$). Se lo spazio definito
+		positivo massimo $W$ fosse tale che $\dim W > \dim W_+$, allora,
+		poiché $V = a + b + c$ e $\dim W + b + c > \dim V \implies
+		W \cap W_- \cap W_0 \neq \emptyset$, $\Lightning$. Quindi valgono
+		le uguaglianze, da cui la tesi.
 	\end{proof}
 
 	\begin{definition}
@@ -151,15 +174,149 @@
 		del teorema di Sylvester reale.
 	\end{definition}
 
-	\begin{remark} Riguardo alla segnatura e al caso reale del teorema
+	\begin{remark} \nl
-		di Sylvester possono essere fatte alcune considerazioni. \\
-
 		\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
 		entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
 		della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
 		la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
-		tra loro.
+		tra loro. Analogamente vale il viceversa, come conseguenza del
+		teorema di Sylvester reale.
+		\li Si dice base di Sylvester una base di $V$ tale per cui la
+		matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
+		vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester, e
+		tale matrice si dirà anch'essa matrice di Sylvester.
 		
 		%TODO: completare spiegazione.
 	\end{remark}
-\end{document}
+
+	\begin{definition}
+		Si dice \textbf{indice di positività} di $\varphi$ il
+		termine $\iota_+(\varphi) = i_+ = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} > 0 \}$. Analogamente $\iota_-(\varphi) = i_- = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} < 0 \}$ è detto
+		\textbf{indice di negatività}. Si definisce invece $\iota_0(\varphi) = i_0 = \dim V^\perp$ come \textbf{indice di nullità}.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li I sottospazi la cui dimensione è pari all'indice di positività
+		o di negatività non sono obbligatoriamente unici.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Dati due spazi vettoriali con prodotti scalare $(V, \varphi)$ e
+		$(V', \varphi')$ sullo stesso campo $\KK$, si dice che
+		$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
+		$f$ che preserva i prodotti, ossia tale che:
+		
+		\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)), \]
+		
+		e tale isomorfismo si dirà isometria.
+	\end{definition}
+
+	\begin{exercise}\nl
+		\li $f : V \to V'$ è un isometria $\iff$ per una base $\basis =
+		\{\vv1, ..., \vv k\}$ di $V$, $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\iff$ vale per ogni base.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{proposition}
+		Per $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ sono equivalenti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
+			\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, $\basis'$ di $V'$,
+			$M_\basis(\varphi)$ e $M_\basis'(\varphi')$ sono congruenti;
+			\item lo stesso ma per una base.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		(1-2)
+		
+		 \rightproof Sia $\basis'' = f(\basis)$. Allora $M_{\basis''}(\varphi')=
+		 (\varphi'(f(\vv i), f(\vv j))) = (\varphi(\vv i, \vv j))$. Allora,
+		 per la formula di cambiamento di base, le matrici
+		 $M_{\basis'}(\varphi')$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
+		 
+		 \leftproof Sia $A = M_\basis(\varphi) = P^\top B P$ e
+		 $B = M_{\basis'}(\varphi')$. Allora $a_{ij} = \varphi(\vv i, \vv j) =
+		 ... = \varphi'(\vec{v_i^{ii}}, \vec{v_j^{ii}})$, dove
+		 $\vec{v_i^{ii}}$ è base perché $P$ è invertibile. Allora
+		 l'applicazione $f : V \to V'$ che manda $\vv i \mapsto \vec{v_{i}^{''}}$ è un isometria.
+		 
+		 (2-3) esercizio.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
+		su $\RR$ sono
+		isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		\rightproof Basta che prendi la solita base. \\
+		\leftproof Siano $\basis$, $\basis'$ basi di Sylvester di $V$
+		e di $V'$. Si definisce allora l'applicazione $f : V \to V'$ tale
+		che $f(\vv i) = \ww i$: essa è un isometria.
+	\end{proof}
+
+	\begin{corollary}
+		Due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno
+		la stessa segnatura.
+	\end{corollary}
+
+	\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
+		$V = U \oplusperp W$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
+		analogamente per gli altri indici.
+	\end{remark}
+
+	\begin{example}
+		Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
+	\end{example}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $\KK$ qualunque. $W \subseteq V$ si dice sottospazio isotropo
+		se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li $V^\perp$ è isotropo, \\
+		\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è sottospazio isotropo, \\
+		\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $\varphi$ non degenere. $W \subseteq V$ isotropo, allora
+		$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		$W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp \implies
+		\dim W \leq \dim V - \dim W \implies \dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{definition}
+		Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
+		come la massima dimensione di un sottospazio isotropo. 
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li Se $\varphi > 0$, $W(\varphi) = 0$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Per $\KK = \RR$ e $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), \iota_0(\varphi))$, con $\varphi$ non degenere,
+		$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia ad esempio $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$. Se $W$
+		è un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\phi)$, e $W^+$ è
+		un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0 \implies \dim (W \cap W^+) > 0$,
+		e quindi $W$ non è isotropo (quindi $W(\varphi) < \iota_-(\varphi)$). \\
+		
+		Sia $\basis$ una base di Sylvester. Per costruirlo prendi
+		coppie della base originale facendo la differenza e nota
+		che ne prendi esattamente quante iota-.
+	\end{proof}
+\end{document}

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@@ -24,6 +24,13 @@
 \let\oldvec\vec
 \renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
 
+\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti }}
+\newcommand{\se}{\text{se }}
+\newcommand{\epari}{\text{è dispari}}
+\newcommand{\edispari}{\text{è pari}}
+
+\newcommand{\nl}{\ \\}
+
 \newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
 \newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
 
@@ -72,6 +79,8 @@
 \newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
 \newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
 
+\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
+
 \newcommand{\xbar}{\overline{x}}
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@@ -126,8 +135,11 @@
 \let\v\undefined
 \newcommand{\v}{\vec{v}}
 \newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
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 % Comandi personali.