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3.3 KiB
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{22 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea}
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\end{center}
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\begin{definition}
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Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se
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il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso,
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qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a
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$B$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come
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il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa.
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Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} =
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F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx +
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\frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si
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ricava che:
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\[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U \]
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità:
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\[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le
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derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e
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quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$
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\end{remark}
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\begin{remark}
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In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item la forza $\vec{F}$ è conservativa,
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\item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$,
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ma solo da $A$ e $B$,
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\item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa,
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allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} =
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K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro,
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si può ricavare che:
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\[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
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Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$:
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\[ \Delta U = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \]
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\end{remark}
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Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la
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somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$.
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Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia
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potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$,
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da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\
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Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$.
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Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$.
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\begin{example}
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Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la
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forza è conservativa (e.g.~la forza peso).
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\end{example}
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\end{document}
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