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TeX

\chapter{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua
estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente
algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale
si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}.
\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}]
\label{th:algebra}
Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in
$\CC$.
\end{theorem}
\begin{corollary}
Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette
esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità.
\end{corollary}
\begin{proof}
Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza
è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per
$(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
ignori il resto, che
per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
è nullo. \\
Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo,
e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$.
Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente
dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\
In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
\begin{equation}
\label{eq:fattorizzazione_fx__reali}
f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n).
\end{equation}
\vskip 0.1in
Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$
e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra
che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di
$f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente
$n$ radici.
\end{proof}