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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[colorlinks=false,bookmarksopen=true]{hyperref}
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\usepackage{bookmark}
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\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\title{Anelli, ideali e quozienti}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
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\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
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\setlength\parindent{0pt}
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\let\oldforall\forall
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\let\forall\undefined
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\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
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\let\oldexists\exists
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\let\exists\undefined
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\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
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\let\oldnexists\nexists
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\let\nexists\undefined
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\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
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\let\oldland\land
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\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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\let\oldemptyset\emptyset
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\let\emptyset\varnothing
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\begin{document}
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\maketitle
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\FF}{\mathbb{F}_2}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
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\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
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\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
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\newcommand{\MM}[2]{\mathcal{M}_{#1 \times #2}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\Mbb}[3]{\mathcal{M}^{#1}_{#2} \left( #3 \right)}
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\newcommand{\Mb}[2]{\mathcal{M}^{#1}_{#2}}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newtheorem{example}{Esempio}[section]
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\newtheorem{exercise}{Esercizio}[section]
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{proposition}{Proposizione}[section]
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\newtheorem{corollary}{Corollario}[section]
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\newtheorem*{note}{Osservazione}
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\tableofcontents
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\section{Anelli e prime proprietà}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{anello}\footnote{In realtà, si parla in questo caso di anello \textit{con unità}, in cui vale l'assioma di esistenza di un'identità
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moltiplicativa. In questo documento si identificherà con "anello" solamente un anello con unità.} una struttura algebrica
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costruita su un insieme $A$ e due operazioni binarie $+$
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e $\cdot$\footnote{D'ora in avanti il punto verrà omesso.} avente le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\left(A,\, +\right)$ è un \textit{gruppo abeliano}, alla cui
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identità, detta \textit{identità additiva}, ci si riferisce con il simbolo $0$,
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\item $\forall a, b, c \in A$, $(ab)c = a(bc)$,
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||||
\item $\forall a, b, c \in A$, $(a+b)c=ac+bc$,
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||||
\item $\forall a, b, c \in A$, $a(b+c)=ab+ac$,
|
||||
\item $\exists 1 \in A \mid \forall a \in A$, $1a=a=a1$, e tale $1$ viene
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detto \textit{identità moltiplicativa}.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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Come accade per i gruppi, gli anelli soddisfano alcune proprietà algebriche
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particolari, tra le quali si citano le più importanti:
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\begin{proposition}
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$\forall a \in A$, $0a=0=a0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
$0a=(0+0)a=0a+0a \implies 0a=0$. Analogamente $a0=a(0+0)=a0+a0 \implies a0=0$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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$\forall a \in A$, $-(-a)=a$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$-(-a)-a=0 \,\land\, a-a=0 \implies -(-a)=a$, per la proprietà di unicità
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dell'inverso in un gruppo\footnote{In questo caso, il gruppo additivo dell'anello.}.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\label{prop:inverso_inverso}
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$a(-b)=(-a)b=-(ab)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0 \implies a(-b)=-(ab)$, per la proprietà di unicità dell'inverso in un gruppo. Analogamente $(-a)b+ab=(a-a)b=0b=0 \implies
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(-a)b=-(ab)$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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$(-1)a=a(-1)=-a$.
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\end{corollary}
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\begin{proposition}
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$(-a)(-b)=ab$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$, per la \textit{Proposizione \ref{prop:inverso_inverso}}.
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\end{proof}
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||||
Si enuncia invece adesso la nozione di \textbf{sottoanello}, in tutto e per
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tutto analoga a quella di \textit{sottogruppo}.
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\begin{definition}
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||||
Si definisce sottoanello rispetto all'anello $A$ un anello $B$ avente le
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||||
seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $B \subseteq A$,
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\item $0, 1 \in B$,
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\item $\forall a, b \in B,$ $a + b \in B \,\land\, ab \in B$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un sottoanello $B$ rispetto ad $A$ si dice \textbf{proprio} se
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||||
$B \neq A$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un anello si dice \textbf{commutativo} se $\forall a$, $b \in A$, $ab=ba$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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||||
Un facile esempio di anello commutativo è $\ZZ/n\ZZ$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Un elemento $a$ di un anello $A$ si dice \textbf{invertibile} se
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$\exists b \in A \mid ab = ba = 1$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Dato un anello $A$, si definisce $A^*$ come l'insieme degli elementi
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||||
invertibili di $A$, che a sua volta forma un \textit{gruppo moltiplicativo}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Un anello $A$ si dice \textbf{corpo} se $\forall a \neq 0 \in A$, $\exists b \in A \mid ab=ba=1$,
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ossia se $A \setminus \{0\} = A^*$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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L'esempio più rilevante di corpo è quello dei \textit{quaternioni} $\HH$, definiti
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nel seguente modo:
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\[\HH = \{a+b\ii+c\jj+d\kk \mid a,\, b,\, c,\, d \in \RR\},\]
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dove:
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\[\ii^2 = \jj^2 = \kk^2 = -1, \quad \ii\jj = \kk,\, \jj\kk = \ii,\, \kk\ii = \jj. \]
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Infatti ogni elemento non nullo di $\HH$ possiede un inverso moltiplicativo:
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\[\left(a+b\ii+c\jj+d\kk\right)^{-1} = \frac{a-b\ii-c\jj-d\kk}{a^2+b^2+c^2+d^2},\]
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mentre la moltiplicazione non è commutativa.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Un anello commutativo che è anche un corpo si dice \textbf{campo}.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Alcuni campi, tra i più importanti, sono $\QQ$, $\RR$, $\CC$ e $\ZZ/p\ZZ$ con
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$p$ primo.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Un elemento $a \neq 0$ appartenente a un anello $A$ si dice \textbf{divisore di zero} se
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$\exists b \neq 0 \in A \mid ab = 0$ o $ba = 0$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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$2$ è un divisore di zero in $\ZZ/6\ZZ$, infatti $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod 6.$
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\end{example}
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\begin{definition}
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||||
Un anello commutativo in cui non sono presenti divisori di zero si dice \textbf{dominio d'integrità},
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o più semplicemente \textit{dominio}.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[\textit{Legge di annullamento del prodotto}]
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Sia $D$ un dominio. Allora $ab=0 \implies a=0 \,\lor\, b=0$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $a$, $b \in D \mid ab = 0$. Se $a=0$, la condizione è soddisfatta.
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Se invece $a \neq 0$, $b$ deve essere per forza nullo, altrimenti si
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||||
sarebbe trovato un divisore di $0$, e $D$ non sarebbe un dominio, \Lightning.
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\end{proof}
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\begin{example}
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||||
L'anello dei polinomi su un campo, $\KK[x]$, è un dominio.
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\end{example}
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\section{Omomorfismi di anelli e ideali}
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\begin{definition}
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||||
Un \textbf{omomorfismo di anelli}\footnote{La specificazione "di anelli" è d'ora in avanti omessa.} è una mappa $\phi : A \to B$ -- con
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||||
$A$ e $B$ anelli -- soddisfacente alcune particolari proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\phi$ è un \textit{omomorfismo di gruppi} rispetto all'addizione
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di $A$ e di $B$, ossia $\forall a, b \in A, \, \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$,
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||||
\item $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$,
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||||
\item $\phi(1_A)=1_B$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo iniettivo, si dice che
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||||
$\phi$ è un \textbf{monomorfismo}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo suriettivo, si dice che
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||||
$\phi$ è un \textbf{epimorfismo}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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||||
Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo bigettivo\footnote{Ovvero se è sia un monomorfismo che un epimorfismo.}, si dice che
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||||
$\phi$ è un \textbf{isomorfismo}.
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\end{definition}
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Prima di enunciare l'analogo del \textit{Primo teorema d'isomorfismo} dei gruppi
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in relazione agli anelli, si rifletta su un esempio di omomorfismo:
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\begin{example}
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Sia $\phi : \ZZ \to \ZZ, k \mapsto 2k$ un omomorfismo. Esso è un monomorfismo,
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infatti $\phi(x)=\phi(y) \implies 2x=2y \implies x=y$. Pertanto $\Ker \phi = \{0\}$. Sebbene $\Ker \phi < \ZZ$, esso \textbf{non è un sottoanello}\footnote{Infatti $1 \notin \Ker \phi$.}.
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\end{example}
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||||
Dunque, con lo scopo di definire meglio le proprietà di un \textit{kernel},
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così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i gruppi, si introduce ora il concetto di \textbf{ideale}.
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\begin{definition}
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Si definisce ideale rispetto all'anello $A$ un insieme $I$ avente le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $I \leq A$,
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||||
\item $\forall a \in A$, $\forall b \in I$, $ab \in I$ e $ba \in I$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{example}
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\label{exmpl:polinomi}
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Sia $I$ l'insieme dei polinomi di $\RR[x]$ tali che $2$ ne sia radice. Esso
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||||
altro non è che un ideale, infatti $0 \in I \,\land\, \forall f(x), g(x) \in I, (f+g)(2)=0$ (i.e. $I<\RR[x]$) e $\forall f(x) \in A, \, g(x) \in I, \, (fg)(2) = 0$.
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||||
\end{example}
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\begin{proposition}
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Sia $I$ un ideale di $A$. $1 \in I \implies I = A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Per le proprietà dell'ideale $I$, $\forall a \in A$, $a1 = a \in I \implies
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A \subseteq I$. Dal momento che anche $I \subseteq A$, si deduce che $I = A$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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||||
Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Ker \phi$ è allora un ideale di $A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Poiché $\phi$ è anche un omomorfismo tra gruppi, si deduce che $\Ker \phi \leq A$.
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||||
Inoltre $\forall a \in A$, $\forall b \in \Ker \phi$, $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\phi(a)0=0 \implies ab \in I$.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{proposition}
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Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Imm \phi$ è allora un sottoanello di $B$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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||||
Chiaramente $0, 1 \in \Imm \phi$, dal momento che $\phi(0) = 0,\, \phi(1)=1$. Inoltre, dalla teoria dei gruppi, si ricorda anche che $\Imm \phi \leq B$.
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||||
Infine, $\forall \phi(a),\, \phi(b) \in \Imm \phi, \, \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \Imm \phi$.
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||||
\end{proof}
|
||||
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\begin{definition}
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||||
Si definisce con la notazione $(a)$ l'ideale \textit{bilatero} generato da $a$ in $A$, ossia:
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||||
\[(a)=\{ba \mid b \in A\} \cup \{ab \mid b \in A\}.\]
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||||
\end{definition}
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||||
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\begin{definition}
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||||
Si dice che un ideale $I$ è \textit{principale} o \textbf{monogenerato}, quando $\exists a \in I \mid I = (a)$.
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||||
\end{definition}
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\begin{example}
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||||
In relazione all'\textit{Esempio \ref{exmpl:polinomi}}, l'ideale $I$ è
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||||
monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
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||||
\end{example}
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||||
\section{Anelli quoziente e teorema d'isomorfismo}
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Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
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||||
completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
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\begin{definition}
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||||
Sia $A$ un anello e $I$ un suo ideale, si definisce $A/I$ l'anello ottenuto
|
||||
quozientando $A$ per $I$. Gli elementi di tale anello sono le classi di equivalenza di $\sim$ (i.e. gli elementi di $A/{\sim}$), dove $\forall a$, $b \in A$, $a\sim b \iff a-b \in I$. Tali classi di equivalenza vengono indicate come
|
||||
$a + I$, dove $a$ è un rappresentante della classe. L'anello è così dotato di due operazioni:
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\begin{itemize}
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||||
\item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,
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||||
\item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)(b+I)=ab+I$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
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||||
\begin{note}
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||||
L'addizione di $A/I$ è ben definita, dal momento che $I \nsg A$, in quanto sottogruppo di un gruppo abeliano.
|
||||
\end{note}
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|
||||
\begin{note}
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||||
Anche la moltiplicazione di $A/I$ è ben definita. Siano $a\sim a'$, $b \sim b'$ quattro elementi di $A$ tali che $a = a' + i_1$ e $b = b' + i_2$ con $i_1$, $i_2 \in I$. Allora $ab=(a'+i_1)(b'+i_2)=a'b' + \underbrace{i_1b' + i_2a' + i_1i_2}_{\in I} \implies ab \sim a'b'$.
|
||||
\end{note}
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\begin{proposition}
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\label{prop:quoziente_pieno}
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$A/\{0\} \cong A$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\pi : A \to A/\{0\}$, $a \mapsto a + \{0\}$ l'omomorfismo di proiezione
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al quoziente. Innanzitutto, $a \sim a' \iff a-a'=0 \iff a=a'$, per cui $\pi$ è
|
||||
un monomorfismo (altrimenti si troverebbero due $a$, $b \mid a \neq b \,\land\, a \sim b$). Infine, $\pi$ è un epimorfismo, dal momento che $\forall a + \{0\} \in A/\{0\}, \, \pi(a) = a + \{0\}$. Pertanto $\pi$ è un isomorfismo.
|
||||
\end{proof}
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||||
Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
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\begin{theorem}[\textit{Primo teorema d'isomorfismo}]
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\label{th:primo_isomorfismo}
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||||
Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $A/\Ker \phi \cong \Imm \phi$.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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La dimostrazione procede in modo analogo a quanto visto per il teorema correlato
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in teoria dei gruppi. \\
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||||
Sia $\zeta : A/\Ker \phi \to \Imm \phi$, $a + \Ker \phi \mapsto \phi(a)$.
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||||
Si verifica che $\zeta$ è un omomorfismo: essendolo già per i
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||||
gruppi, è sufficiente verificare che $\zeta((a+I)(b+I))=\zeta(ab+I)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\zeta(a+I)\zeta(b+I)$. \\
|
||||
|
||||
$\zeta$ è chiaramente anche un epimorfismo, dal momento che $\forall \phi(a) \in \Imm \phi$, $\zeta(a + \Ker \phi) = \phi(a)$. Inoltre, dal momento che $\zeta(a + \Ker \phi) = 0 \iff \phi(a) = 0 \iff a + \Ker \phi = \Ker \phi$, ossia l'identità di $A/\Ker \phi$, si deduce anche che $\zeta$ è un monomorfismo. Pertanto $\zeta$ è un isomorfismo.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla
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||||
\textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$.
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\end{proof}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@ -0,0 +1,830 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\title{Anelli euclidei, PID e UFD}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
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\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
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\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
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\setlength\parindent{0pt}
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\let\oldforall\forall
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\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
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\let\oldexists\exists
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\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
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\let\oldnexists\nexists
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\let\oldemptyset\emptyset
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\let\emptyset\varnothing
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\begin{document}
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\maketitle
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
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\newcommand{\FF}{\mathbb{F}_2}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\MM}[2]{\mathcal{M}_{#1 \times #2}\left(\KK\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
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||||
\newcommand{\Mbb}[3]{\mathcal{M}^{#1}_{#2} \left( #3 \right)}
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\newcommand{\Mb}[2]{\mathcal{M}^{#1}_{#2}}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newtheorem{example}{Esempio}[section]
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\newtheorem{exercise}{Esercizio}[section]
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\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
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\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\newtheorem{proposition}{Proposizione}[section]
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\newtheorem{corollary}{Corollario}[section]
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\newtheorem*{note}{Osservazione}
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||||
\tableofcontents
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||||
\section{Anelli euclidei e prime proprietà}
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||||
Nel corso della storia della matematica, numerosi studiosi hanno tentato
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||||
di generalizzare -- o meglio, accomunare a più strutture algebriche -- il
|
||||
concetto di divisione euclidea che era stato formulato per l'anello
|
||||
dei numeri interi $\ZZ$ e, successivamente, per l'anello dei polinomi
|
||||
$\KK[x]$. Lo sforzo di questi studiosi ad oggi è converso in un'unica
|
||||
definizione, quella di anello euclideo, di seguito presentata.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Un \textbf{anello euclideo} è un dominio d'integrità $D$\footnote{Difatti, nella
|
||||
letteratura inglese, si parla di \textit{Euclidean domain} piuttosto che di
|
||||
anello.} sul quale è
|
||||
definita una funzione $g$ detta \textbf{funzione grado} o \textit{norma}
|
||||
soddisfacente le seguenti proprietà:
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||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $g : D \setminus \{0\} \to \NN$,
|
||||
\item $\forall a$, $b \in D \setminus \{0\}$, $g(a) \leq g(ab)$,
|
||||
\item $\forall a \in D$, $b \in D \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in D \mid
|
||||
a=bq+r$ e $r=0 \,\lor\, g(r)<g(q)$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Di seguito vengono presentate alcune definizioni, correlate
|
||||
alle proprietà immediate di un anello euclideo.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Dato un anello euclideo $E$, siano $a \in E$ e $b \in E \setminus \{0\}$. Si dice che
|
||||
$b \mid a$, ossia che $b$ \textit{divide} $a$, se $\exists c \in E \mid
|
||||
a=bc$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Si osserva che, per ogni anello euclideo $E$, qualsiasi $a \in E$ divide
|
||||
$0$. Infatti, $0 = a0$.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Dato un anello euclideo $E$, $a \mid b \,\land\, b \nmid a \implies g(a) < g(b)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $b \nmid a$, esistono $q$, $r$ tali che $a = bq + r$, con
|
||||
$g(r) < g(b)$. Dal momento però che $a \mid b$, $\exists c \mid
|
||||
b = ac$. Pertanto $a = ac + r \implies r = a(1-c)$. Dacché $1-c \neq 0$ --
|
||||
altrimenti $r=0$, \Lightning{} --, così come $a \neq 0$, si deduce
|
||||
dalle proprietà della funzione grado che $g(a) \leq g(r)$.
|
||||
Combinando le due disuguaglianze, si ottiene la
|
||||
tesi: $g(a) < g(b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:g1_minimo}
|
||||
$g(1)$ è il minimo di $\Imm g$, ossia il minimo grado assumibile
|
||||
da un elemento di un anello euclideo $E$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora, per le proprietà della funzione
|
||||
grado, $g(1) \leq g(1a) = g(a)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora $a \in E^* \iff g(a) = g(1)$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dividiamo la dimostrazione in due parti, ognuna corrispondente a una implicazione. \\
|
||||
|
||||
($\implies$) \;Sia $a \in E^*$, allora $\exists b \in E^*$ tale che $ab=1$. Poiché
|
||||
sia $a$ che $b$ sono diversi da $0$, dalle proprietà della funzione grado si
|
||||
desume che $g(a) \leq g(ab) = g(1)$. Poiché, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}},
|
||||
$g(1)$ è minimo, si conclude che $g(a) = g(1)$. \\
|
||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) \;Sia $a \in E \setminus \{0\}$ con $g(a) = g(1)$. Allora
|
||||
esistono $q$, $r$ tali che $1 = aq + r$. Vi sono due possibilità: che $r$ sia $0$, o
|
||||
che $g(r) < g(a)$. Tuttavia, poiché $g(a)=g(1)$, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}} si desume che $g(a)$ è minimo, e quindi che
|
||||
$r$ è nullo. Si conclude quindi che $aq = 1$, e dunque che $a \in E^*$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{PID e UFD}
|
||||
|
||||
\subsection{Irriducibili e prime definizioni}
|
||||
|
||||
Come accade nell'aritmetica dei numeri interi, anche in un dominio è possibile definire
|
||||
una nozione di \textit{primo}. In un dominio possono essere tuttavia definiti due tipi di "primi",
|
||||
gli elementi \textit{irriducibili} e gli elementi \textit{primi}.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{irriducibile} se
|
||||
$\exists b$, $c \mid a=bc \implies b \in A^*$ o $c \in A^*$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Dalla definizione si escludono gli invertibili di $A$ per permettere
|
||||
di definire meglio il concetto di fattorizzazione in seguito. Infatti,
|
||||
se li avessimo inclusi, avremmo che ogni dominio sarebbe a fattorizzazione
|
||||
non unica, dal momento che $a=bc$ potrebbe essere scritto anche come
|
||||
$a=1bc$.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{primo} se
|
||||
$a \mid bc \implies a \mid b \,\lor\, a \mid c$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Se $a \in A$ è primo, allora $a$ è anche irriducibile.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $a$ non irriducibile. Se
|
||||
$a \in A^*$, allora $a$ non può essere primo. Altrimenti $a=bc$ con
|
||||
$b$, $c \in A \setminus A^*$. \\
|
||||
|
||||
Chiaramente $a \mid bc$, ossia sé stesso. Senza perdità di generalità, se $a \mid b$, esiste $d \in A$ tale per cui
|
||||
$b=ad$. Pertanto, $a=adc \implies a(1-dc)=0$. Poiché $A$ è un dominio,
|
||||
uno dei due fattori deve essere nullo. $a$ non può esserlo, perché $0$ non
|
||||
può dividere $b$. Tuttavia neanche $dc-1$ può essere nullo, altrimenti
|
||||
si verificherebbe che $dc=1$, e quindi che $c \in A^*$, \Lightning{}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice che due elementi non nulli $a$, $b$ appartenenti a un anello euclideo
|
||||
$E$ sono \textbf{associati} se $a \mid b$ e $b \mid a$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:associati}
|
||||
$a$ e $b$ sono associati $\iff \exists c \in E^* \mid a=bc$ e $a$, $b$ entrambi non nulli.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$) Se $a$ e $b$ sono associati, allora $\exists d$, $e$ tali che $a=bd$ e che $b=ae$. Combinando le due relazioni si ottiene:
|
||||
|
||||
\[ a=aed \implies a(1-ed)=0.\]
|
||||
|
||||
Poiché $a$ è diverso da zero, si ricava che $ed=1$, ossia
|
||||
che $d$, $e \in E^*$, e quindi la tesi. \\
|
||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) Se $a$ e $b$ sono entrambi non
|
||||
nulli e $\exists c \in E^* \mid a=bc$, $b$ chiaramente
|
||||
divide $a$. Inoltre, $a=bc \implies b=ac^{-1}$, e quindi
|
||||
anche $a$ divide $b$. Pertanto $a$ e $b$ sono associati.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:divisione_associati}
|
||||
Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora $a \mid c \implies b \mid c$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $a$ e $b$ sono associati, per la \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}, $\exists d \in E^*$ tale che
|
||||
$a = db$. Dal momento che $a \mid c$, $\exists \alpha \in E$ tale che
|
||||
$c = \alpha a$, quindi:
|
||||
|
||||
\[ c = \alpha a = \alpha d b,\]
|
||||
|
||||
da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:associati_generatori}
|
||||
Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora
|
||||
$(a)=(b)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $a$ e $b$ sono associati, $\exists d \in E^*$ tale che $a = db$. Si dimostra l'uguaglianza dei due insiemi. \\
|
||||
|
||||
Sia $\alpha = ak \in (a)$, allora $\alpha = dbk$ appartiene anche a $(b)$, quindi $(a) \subseteq (b)$. Sia
|
||||
invece $\beta = bk \in (b)$, allora $\beta = d^{-1}ak$
|
||||
appartiene anche a $(a)$, da cui $(b) \subseteq (a)$.
|
||||
Dalla doppia inclusione si verifica la tesi, $(a)=(b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{PID e MCD}
|
||||
|
||||
Come accade per $\ZZ$, in ogni anello euclideo è possibile definire il
|
||||
concetto di \textit{massimo comun divisore}, sebbene con qualche accortezza
|
||||
in più. Pertanto, ancor prima di definirlo, si enuncia la definizione di
|
||||
PID e si dimostra un teorema fondamentale degli anelli euclidei, che
|
||||
si ripresenterà in seguito come ingrediente fondamentale per la fondazione
|
||||
del concetto di MCD.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice che un dominio è un \textit{principal ideal domain} (\textbf{PID})\footnote{Ossia un \textit{dominio
|
||||
a soli ideali principali}, quindi monogenerati, proprio come da definizione.} se ogni suo ideale è monogenerato.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un PID.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $I$ un ideale di $E$. Se $I = (0)$, allora $I$ è già monogenerato.
|
||||
Altrimenti si consideri l'insieme $g(I \setminus \{0\})$. Poiché
|
||||
$g(I \setminus \{0\}) \subseteq \NN$,
|
||||
esso ammette un minimo per il principio del buon ordinamento. \\
|
||||
|
||||
Sia $m \in I$ un valore che assume tale minimo e sia $a \in I$.
|
||||
Poiché $E$ è euclideo, $\exists q$, $r \mid a = mq + r$ con $r=0$ o
|
||||
$g(r)<g(m)$. Tuttavia, poiché $r = a-mg \in I$ e $g(m)$ è minimo, necessariamente $r=0$ -- altrimenti $r$ sarebbe
|
||||
ancor più minimo di $m$, \Lightning{} --,
|
||||
quindi $m \mid a$, $\forall a \in I$. Quindi $I \subseteq (m)$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che per le proprietà degli ideali $\forall a \in E$, $ma \in I$,
|
||||
si conclude che $(m) \subseteq I$. Quindi $I = (m)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Adesso è possibile definire il concetto di massimo comun divisore, basandoci
|
||||
sul fatto che ogni anello euclideo è un PID.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sia $D$ un dominio e siano $a$, $b \in D$. Si definisce
|
||||
\textit{massimo comun divisore} (\textbf{MCD}) di $a$ e $b$ un
|
||||
generatore dell'ideale $(a,b)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Questa definizione di MCD è una buona definizione dal momento che sicuramente
|
||||
esiste un generatore dell'ideale $(a,b)$, dacché $D$ è un PID.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Non si parla di un unico massimo comun divisore, dal momento che
|
||||
potrebbero esservi più generatori dell'ideale $(a,b)$. Segue tuttavia che tutti questi generatori sono in realtà
|
||||
associati\footnote{Infatti ogni generatore divide ogni
|
||||
altro elemento di un ideale, e così i vari generatori si
|
||||
dividono tra di loro. Pertanto sono associati.}.
|
||||
Quando si scriverà
|
||||
$\MCD(a,b)$ s'intenderà quindi uno qualsiasi di questi associati.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Identità di Bézout}]
|
||||
\label{th:bezout}
|
||||
Sia $d$ un MCD di $a$ e $b$. Allora
|
||||
$\exists \alpha$, $\beta$ tali che $d = \alpha a + \beta b$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Il teorema segue dalla definizione di MCD come generatore
|
||||
dell'ideale $(a,b)$. Infatti, poiché $d \in (a,b)$, esistono
|
||||
sicuramente, per definizione, $\alpha$ e $\beta$ tali che
|
||||
$d = \alpha a + \beta b$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:mcd}
|
||||
Siano $a$, $b \in D$. Allora vale la seguente equivalenza:
|
||||
|
||||
\[ d = \MCD(a, b) \iff \begin{cases} d \mid a \,\land\, d \mid b \\ \forall c \text{ t.c.\ } c \mid a \,\land\, c \mid b,\;c \mid d\end{cases}\]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$) Poiché $d$ è generatore dell'ideale $(a, b)$, la prima proprietà segue banalmente. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, per l'\nameref{th:bezout}, $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
|
||||
$d = \alpha a + \beta b$. Allora, se $c \mid a$ e $c \mid b$, sicuramente
|
||||
esistono $\gamma$ e $\delta$ tali che $a=\gamma c$ e $b=\delta c$. Pertanto
|
||||
si verifica la seconda proprietà, e quindi la tesi:
|
||||
|
||||
\[ d = \alpha a + \beta b = \alpha \gamma c + \beta \delta c = c(\alpha\gamma+\beta\delta). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
($\;\Longleftarrow\;$) Sia $m = \MCD(a,b)$. Dal momento che $d$ divide
|
||||
sia $a$ che $b$, $d$ deve dividere, per l'implicazione scorsa, anche $m$.
|
||||
Per la seconda proprietà, $m$ divide $d$ a sua volta. Allora $d$ è un
|
||||
associato di $m$, e quindi, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}}, $(m)=(d)=(a,b)$, da cui $d = \MCD(a,b)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:divisione_gcd}
|
||||
Se $a \mid bc$ e $d = \MCD(a, b) \in D^*$, allora $a \mid c$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per l'\nameref{th:bezout} $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
|
||||
$\alpha a + \beta b = d$. Allora, poiché $a \mid bc$, $\exists
|
||||
\gamma$ tale che $bc=a\gamma$. Si verifica quindi la tesi:
|
||||
|
||||
\[ \alpha a + \beta b = d \implies \alpha ac + \beta bc = dc \implies
|
||||
a d^{-1} (\alpha c + \beta \gamma) = c.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:primalità_mcd}
|
||||
Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $\forall b \in D$,
|
||||
$(a,b)=D \,\lor\, (a,b)=(a)$, o equivalentemente $\MCD(a,b) \in D^*$ o
|
||||
$\MCD(a,b) = a$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dacché $\MCD(a,b) \mid a$, le uniche opzioni, dal momento che $a$ è irriducibile,
|
||||
sono che $\MCD(a,b)$ sia un invertibile o che sia un associato
|
||||
di $a$ stesso.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:irriducibili_primi}
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Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $a$ è anche un primo.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Siano $b$ e $c$ tali che $a \mid bc$. Per il \textit{Lemma \ref{lem:primalità_mcd}},
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$\MCD(a,b)$ può essere solo un associato di $a$ o essere un invertibile. Se è
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||||
un associato di $a$, allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_associati}}, poiché $\MCD(a,b)$ divide $b$, anche $a$ divide $b$.
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||||
Altrimenti $\MCD(a,b) \in D^*$, e quindi, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_gcd}}, $a \mid c$.
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\end{proof}
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\subsection{L'algoritmo di Euclide}
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Per algoritmo di Euclide si intende un algoritmo che è in grado di
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produrre in un numero finito di passi un MCD tra due elementi
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$a$ e $b$ non entrambi nulli di un anello euclideo\footnote{Si richiede che l'anello sia
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euclideo e non soltanto che sia un PID, dal momento che l'algoritmo
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usufruisce delle proprietà della funzione grado.}. L'algoritmo
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classico è di seguito presentato:
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\newpage
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\begin{algorithm}
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$e \gets \max(a,b)$\;
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$d \gets \min(a,b)$\;
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\BlankLine\BlankLine
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\While{$d>0$}
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{
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$m \gets d$\;
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$d \gets e \bmod d$\;
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$e \gets m$\;
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}
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\end{algorithm}
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dove $e$ è l'MCD ricercato e l'operazione $\mathrm{mod}$ restituisce un resto della
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divisione euclidea\footnote{Ossia $a \bmod b$ restituisce un $r$ tale che $\exists q
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\mid a = bq+r$ con $r=0$ o $g(r)<g(q)$.}.
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\begin{lemma}
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\label{lem:euclide_finito}
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L'algoritmo di Euclide termina sempre in un numero finito di passi.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Se $d$ è pari a $0$, l'algoritmo termina immediatamente. \\
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Altrimenti si può costruire una sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ dove $d_i$ è il valore di $d$ all'inizio
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||||
di ogni $i$-esimo ciclo $\textbf{while}$. Ad ogni ciclo vi sono due casi: se $d_i$ si annulla dopo
|
||||
l'operazione di $\mathrm{mod}$, il ciclo si conclude al passo successivo, altrimenti,
|
||||
poiché $d_i$ è un resto di una divisione euclidea, segue che $g(d_i)<g(d_{i-1})$, dove
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||||
si pone $d_{0}=\min(a, b)$. \\
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||||
|
||||
Per il principio della discesa infinita, $(g(d_i))_{i\geq1}$ non può essere
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||||
una sequenza infinita, essendo strettamente decrescente. Quindi la sequenza è
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||||
finita, e pertanto il ciclo $\textbf{while}$ s'interrompe dopo un numero finito
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di passi.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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\label{lem:generatori_euclide}
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Sia $r = a \bmod b$. Allora vale che $(a,b)=(b,r)$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poiché $r = a \bmod b$, $\exists q$ tale che $a = qb + r$.
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||||
Siano $k_1$ e $k_2$ tali che $(k_1)=(a,b)$ e $(k_2)=(b,r)$. Dal
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||||
momento che $k_1$ divide sia $a$ che $b$, si ha che divide anche
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||||
$r$. Siano $\alpha$, $\beta$ tali che $a = \alpha k_1$ e
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||||
$b = \beta k_1$. Si verifica infatti che:
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\[ r = a - qb = \alpha k_1 - q \beta k_1 = k_1 (\alpha - q \beta). \]
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||||
Poiché $k_1$ divide sia $b$ che $r$, per le proprietà del $\MCD$,
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||||
$k_1$ divide anche $k_2$. Analogamente, $k_2$ divide $k_1$. Pertanto
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||||
$k_1$ e $k_2$ sono associati, e dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}} generano quindi lo stesso ideale, da
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||||
cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}
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L'algoritmo di Euclide restituisce sempre correttamente un MCD tra due elementi $a$ e $b$ non entrambi nulli in un numero finito di passi.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}, l'algoritmo sicuramente termina.
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||||
Se $d$ è pari a $0$, allora l'algoritmo termina restituendo $e$. Il valore è
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||||
corretto, dal momento che, senza perdità di generalità, se $b$ è nullo, allora
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$\MCD(a, b)=a$: infatti $a$ divide sia sé stesso che $0$, e ogni divisore di $a$ è
|
||||
sempre un divisore di $0$. \\
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||||
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||||
Se invece $d$ non è pari a $0$, si scelga il $d_n$ tale che $g(d_n)$ sia l'ultimo
|
||||
elemento della sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ definita nel \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}. Per il \textit{Lemma \ref{lem:generatori_euclide}},
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si ha la seguente uguaglianza:
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\[ (e_0, d_0) = (d_0, d_1) = \cdots = (d_n, 0) = (d_n). \]
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||||
\vskip 0.1in
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||||
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||||
Poiché quindi $d_n$ è generatore di $(e_0, d_0)=(a,b)$, $d_n = \MCD(a,b)$.
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||||
\end{proof}
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||||
\subsection{UFD e fattorizzazione}
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Si enuncia ora la definizione fondamentale di UFD, sulla
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quale costruiremo un teorema fondamentale per gli anelli
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||||
euclidei.
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\begin{definition}
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Si dice che un dominio $D$ è uno \textit{unique factorization domain} (\textbf{UFD})\footnote{Ossia
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||||
un \textit{dominio a fattorizzazione unica}.} se ogni $a \in D$ non nullo e non invertibile può essere scritto
|
||||
in forma unica come prodotto di irriducibili, a meno di associati.
|
||||
\end{definition}
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\begin{lemma}
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\label{lem:fattorizzazione}
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||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora ogni elemento $a \in E$ non nullo e
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||||
non invertibile può essere scritto come prodotto di irriducibili.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Si definisca $A$ nel seguente modo:
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\[A = \{g(a) \mid a \in E \setminus (E^* \cup \{0\}) \text{ non sia prodotto di irriducibili}\}.\]
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\vskip 0.1in
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||||
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||||
Se $A \neq \emptyset$, allora, poiché $A \subseteq \NN$, per il principio
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||||
del buon ordinamento, esiste un $m \in E$ tale che $g(m)$ sia minimo.
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||||
Sicuramente $m$ non è irriducibile -- altrimenti $g(m) \notin A$, \Lightning{} --,
|
||||
quindi $m=ab$ con $a$, $b \in E \setminus E^*$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $a \mid m$, ma $m \nmid a$ -- altrimenti $a$ e $m$ sarebbero
|
||||
associati, e quindi $b$ sarebbe invertibile --, si deduce che $g(a) < g(m)$, e
|
||||
quindi che $g(a) \notin A$. Allora $a$ può scriversi come prodotto di irriducibili.
|
||||
Analogamente anche $b$ può scriversi come prodotto di irriducibili, e quindi
|
||||
$m$, che è il prodotto di $a$ e $b$, è prodotto di irriducibili, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Quindi $A = \emptyset$, e ogni $a \in E$ non nullo e non invertibile è prodotto
|
||||
di irriducibili.
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{theorem}
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||||
\label{th:euclidei_ufd}
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||||
Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un UFD\footnote{In realtà questo teorema
|
||||
è un caso particolare di un teorema più generale: ogni PID è un UFD. Poiché
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||||
la dimostrazione esula dalle intenzioni di questo articolo, si è preferito
|
||||
dimostrare il caso più familiare. Per la dimostrazione del teorema più generale si
|
||||
rimanda a \cite[pp.~124-126]{di2013algebra}.}.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Innanzitutto, per il \textit{Lemma \ref{lem:fattorizzazione}}, ogni
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||||
$a \in E$ non invertibile e non nullo ammette una fattorizzazione. \\
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||||
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||||
Sia allora $a \in E$ non invertibile e non nullo. Affinché $E$ sia un UFD,
|
||||
deve verificarsi la seguente condizione: se
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||||
$a=p_1p_2 \cdots p_r=q_1q_2 \cdots q_s \in E$, allora
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||||
$r=s$ ed esiste una permutazione $\sigma \in S_r$ tale per cui
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||||
$\sigma$ associ a ogni indice $i$ di un $p_i$ un indice $j$ di
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||||
un $q_j$ in modo tale che $p_i$ e $q_j$ siano associati. \\
|
||||
|
||||
Si procede per induzione. \\
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||||
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||||
(\textit{passo base}) \,Se $r=1$, allora $a$ è irriducibile. Allora necessariamente
|
||||
$s=1$, altrimenti $a$ sarebbe prodotto di irriducibili, e quindi contemporaneamente
|
||||
anche non irriducibile. Inoltre esiste la permutazione banale $e \in S_1$ che
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||||
associa $p_1$ a $q_1$. \\
|
||||
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||||
(\textit{passo induttivo}) \,Si assume che valga la tesi se $a$ è
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||||
prodotto di $r-1$ irriducibili.
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||||
Si consideri $p_1$: poiché $p_1$ divide $a$, $p_1$ divide anche
|
||||
$q_1q_2 \cdots q_s$. Dal momento che $E$, in quanto
|
||||
anello euclideo, è anche un dominio, dal \textit{Teorema \ref{th:irriducibili_primi}}, $p_1$ è anche primo,
|
||||
e quindi $p_1 \mid q_1$ o $p_1 \mid q_2 \cdots q_s$. \\
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||||
|
||||
Se $p_1 \nmid q_1$ si reitera il procedimento su $q_2 \cdots q_s$, trovando in
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||||
un numero finito di passi un $q_j$ tale per cui $p_1 \mid q_j$. Allora si procede
|
||||
la dimostrazione scambiando $q_1$ e $q_j$. \\
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||||
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||||
Poiché $q_1$ è irriducibile, $p_1$ e $q_1$ sono associati, ossia $q_1 = kp_1$ con
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||||
$k \in E^*$. Allora $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s = kp_1 \cdots q_s$, quindi,
|
||||
dal momento che $p_1 \neq 0$ ed $E$ è un dominio:
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\[p_1(p_2 \cdots p_r - kq_2 \cdots q_s)=0 \implies p_2 \cdots p_r = kq_2 \cdots q_s .\]
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||||
Tuttavia il primo membro è un prodotto $r-1$ irriducibili, pertanto $r=s$ ed
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||||
esiste un $\sigma \in S_{r-1}$ che associa ad ogni irriducibile $p_i$ un suo
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||||
associato $q_i$. Allora si estende $\sigma$ a $S_r$ mappando $p_1$ a $q_1$,
|
||||
verificando la tesi.
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\end{proof}
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\section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
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\subsection{I numeri interi: $\ZZ$}
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Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
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l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
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euclideo -- è l'anello dei numeri interi. \\
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In questo dominio la funzione grado è canonicamente il valore assoluto:
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\[g : \ZZ \setminus \{0\} \to \NN, \, k \mapsto \left|k\right|.\]
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\vskip 0.1in
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||||
Infatti, chiaramente $|a| \leq |ab|\, \forall a$, $b \in \ZZ \setminus \{0\}$. Inoltre
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esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq + r$, con $r=0 \,\lor\,
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||||
\left|r\right| < \left|q\right|$. \\
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||||
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||||
Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema
|
||||
fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
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\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
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\subsection{I campi: $\KK$}
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Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
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per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
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allora $a = ab^{-1}b$. \\
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Si definisce quindi la funzione grado come la funzione nulla:
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\[g : \KK^* \to \NN, \, a \mapsto 0.\]
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\vskip 0.1in
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Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
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||||
poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
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necessario verificare nessun'altra proprietà.
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||||
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||||
\subsection{I polinomi di un campo: $\KK[x]$}
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I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
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||||
nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
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||||
terminologia, la funzione grado in questo dominio coincide
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proprio con il grado del polinomio, ossia si definisce come:
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||||
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\[g : \KK[x] \setminus \{0\} \to \NN, \, f(x) \mapsto \deg f.\]
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\vskip 0.1in
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||||
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||||
Si verifica facilmente che $g(a(x)) \leq g(a(x)b(x)) \, \forall a(x)$, $b(x) \in \KK[x] \setminus \{0\}$, mentre la divisione euclidea -- come negli interi -- ci permette
|
||||
di concludere che effettivamente $\KK[x]$ soddisfa tutti gli assiomi di un anello
|
||||
euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli unici anelli euclidei in cui resti
|
||||
e quozienti sono unici, includendo la scelta di segno (vd.
|
||||
\cite{10.2307/2315810}).}.
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||||
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\begin{example}
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||||
Sia $\alpha \in \KK$ e sia $\varphi_\alpha : \KK[x] \to \KK, \, f(x) \mapsto f(\alpha)$
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||||
la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui
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||||
nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché
|
||||
$\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$
|
||||
è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si desume così che
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||||
$\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
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||||
\end{example}
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\subsection{Gli interi di Gauss: $\ZZ[i]$}
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Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
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\[\ZZ[i] = \{a+bi \mid a, b \in \ZZ\}.\]
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||||
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\vskip 0.1in
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||||
\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{scope}
|
||||
\clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
|
||||
\draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,4} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + \x, -3) -- (3 + \x, 3);
|
||||
}
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||||
\foreach \y in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 7 + \y) -- (7, -7 + \y);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.5, 0.5) node[align=center, below=2pt]{$ib$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 2.5) node[above=0.5pt]{$bq$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[below, right]{$a$};
|
||||
|
||||
\draw[densely dotted] (0.5, 2.5) -- (1, 2.5) node[below=4pt, left=2.5pt]{$r$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Gauss.}
|
||||
\label{fig:z_i}
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||||
\end{wrapfigure}
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||||
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||||
La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia:
|
||||
\[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\]
|
||||
|
||||
Il vantaggio di quest'ultima definizione è l'enfasi sul collegamento tra la funzione grado
|
||||
di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$ e in $\ZZ[i]$
|
||||
sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
|
||||
di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
$\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
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||||
\end{theorem}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Si verifica la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$,
|
||||
allora $\left|a\right| \geq 1 \,\land\, \left|b\right| \geq 1$. Poiché
|
||||
$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$\footnote{Questa interessante proprietà del modulo è alla base dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2.$}, si verifica facilmente che
|
||||
$\left|ab\right| \geq \left|a\right|$, ossia che $g(ab) \geq g(a)$. \\
|
||||
|
||||
Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che
|
||||
$\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$.
|
||||
Come si visualizza facilmente nella \textit{Figura \ref{fig:z_i}},
|
||||
tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
|
||||
sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\
|
||||
|
||||
Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale
|
||||
sicuramente la seguente disuguaglianza, che lega il modulo di $r$ alla diagonale di
|
||||
ogni quadrato:
|
||||
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||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}.\]
|
||||
|
||||
Pertanto vale la seconda e ultima proprietà della funzione grado:
|
||||
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\subsection{Gli interi di Eisenstein: $\ZZ[\omega]$}
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||||
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||||
Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
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||||
interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
|
||||
primitiva dell'unità in senso antiorario, ossia:
|
||||
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||||
\[\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.\]
|
||||
|
||||
In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione
|
||||
$z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che
|
||||
$\omega^2 = \overline{\omega}$.
|
||||
|
||||
\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
|
||||
\draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,4} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + 0.87*\x, -3) -- (3 + 0.87*\x, 3);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\foreach \y in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 1.8756443470179 + 0.65*\y) -- (7, -1.8756443470179 + 0.65*\y);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\foreach \x in {-4,...,5} {
|
||||
\draw[ultra thin, loosely dashed] (-7 + 0.6289*\x, 28.5025773880714) -- (7+ 0.65*\x, -28.5025773880714);
|
||||
}
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
|
||||
\draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.6830127018922, 0.1830127018922) node[align=center, below=2pt]{$\omega b$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.71494, 2.41094) node[below=2pt, left=4pt]{$bq$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1.1, 2.7) node[below, right]{$a$};
|
||||
|
||||
\draw[densely dotted] (0.71494, 2.41094) -- (1.1, 2.7) node[above=3pt, left=2.5pt]{$r$};
|
||||
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
|
||||
\draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
|
||||
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Eisenstein.}
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||||
\label{fig:z_omega}
|
||||
\end{wrapfigure}
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora
|
||||
con il quadrato del modulo del numero complesso. Si definisce quindi:
|
||||
|
||||
\[g : \ZZ[\omega] \setminus \{0\}, \, a+b\omega \mapsto \left|a+b\omega\right|^2.\]
|
||||
|
||||
Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:
|
||||
|
||||
\[ \left|a+b\omega\right|^2 = \left|\left(a-\frac{b}{2}\right) + \frac{b\sqrt{3}}{2}i\right|^2 =\] \\
|
||||
|
||||
\[= \left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} = a^2 - ab + b^2.\] \\
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
$\ZZ[\omega]$ è un anello euclideo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sulla scia della dimostrazione presentata per $\ZZ[i]$, si verifica facilmente
|
||||
la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[\omega]$, allora
|
||||
$\left|a\right| \geq 1$ e $\left|b\right| \geq 1$. Poiché dalle proprietà
|
||||
dei numeri complessi vale ancora $\left|a\right| \left|b\right| \geq \left|a\right|$,
|
||||
la proprietà $g(ab) \geq g(a)$ è già verificata. \\
|
||||
|
||||
Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per
|
||||
$\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che
|
||||
ha per basi $b$ e $\omega b$ (come in $\textit{Figura \ref{fig:z_omega}}$), pertanto
|
||||
esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\
|
||||
|
||||
Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente
|
||||
inquadrato in uno dei triangoli del piano, per cui vale la seguente disuguaglianza:
|
||||
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right|.\]
|
||||
|
||||
Dunque la tesi è verificata:
|
||||
|
||||
\[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Riferimenti bibliografici}
|
||||
|
||||
\printbibliography[heading=none]
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
@book{di2013algebra,
|
||||
title={Algebra},
|
||||
author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
|
||||
isbn={9788867410958},
|
||||
series={Didattica e Ricerca. Manuali},
|
||||
year={2013},
|
||||
publisher={Pisa University Press}
|
||||
},
|
||||
@article{10.2307/2315810,
|
||||
ISSN = {00029890, 19300972},
|
||||
URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
|
||||
author = {M. A. Jodeit},
|
||||
journal = {The American Mathematical Monthly},
|
||||
number = {7},
|
||||
pages = {835--836},
|
||||
publisher = {Mathematical Association of America},
|
||||
title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
|
||||
volume = {74},
|
||||
year = {1967}
|
||||
}
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||||
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,709 @@
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\newcommand{\FF}{\mathbb{F}_2}
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\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
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\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
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\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
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\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
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|
||||
\newcommand{\ZZom}{\mathbb{Z}[\omega]}
|
||||
\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
|
||||
\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
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||||
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||||
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
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\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
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\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
|
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\newcommand{\nsg}{\mathrel{\unlhd}}
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\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
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\newcommand{\hatpi}{\hat{\pi}}
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||||
\newcommand{\hatpip}{\hat{\pi}_p}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{corollary}{Corollario}[section]
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\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
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\newtheorem{example}{Esempio}[section]
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\newtheorem{exercise}{Esercizio}[section]
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\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
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\newtheorem*{note}{Osservazione}
|
||||
\newtheorem{proposition}{Proposizione}[section]
|
||||
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
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\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
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\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
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\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
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\setlength\parindent{0pt}
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||||
\title{Proprietà fondamentali di $\ZZi$, \\ $\ZZx$, $\ZZpx$ e $\QQx$}
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||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
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||||
\date{\today}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\tableofcontents
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|
||||
\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in $\ZZi$}
|
||||
|
||||
Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
|
||||
funzione grado:
|
||||
|
||||
\[ g : \ZZi \setminuszero \to \ZZ,\, a+bi \mapsto \norm{a+bi}^2.\]
|
||||
|
||||
A partire da questo preconcetto è possibile dimostrare un teorema
|
||||
importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
|
||||
che discende direttamente come corollario di un teorema più
|
||||
generale riguardante $\ZZi$.
|
||||
|
||||
\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in $\ZZi$}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:riducibile_due_quadrati}
|
||||
Sia $p$ un numero primo riducibile in $\ZZi$, allora $p$
|
||||
può essere scritto come somma di due quadrati in $\ZZ$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $p$ è riducibile in $\ZZi$, allora esistono $a+bi$ e
|
||||
$c+di$ appartenenti a $\ZZi \setminus \ZZi^*$ tali che $p=(a+bi)(c+di)$. \\
|
||||
|
||||
Impiegando le proprietà dell'operazione di coniugio si
|
||||
ottiene la seguente equazione:
|
||||
|
||||
\[ \overline{p}=p=(a-bi)(c-di) \implies p^2=p \overline{p} = (a^2+b^2)(c^2+d^2). \]
|
||||
|
||||
Dal momento che $a+bi$ e $c+di$ non sono invertibili,
|
||||
i valori della funzione grado calcolati in essi sono strettamente
|
||||
maggiori del valore assunto nell'unità, ovverosia:
|
||||
|
||||
\[ a^2+b^2>1, \qquad c^2+d^2>1. \]
|
||||
|
||||
Allora devono per forza valere le seguenti equazioni:
|
||||
|
||||
\[ p=a^2+b^2, \qquad p=c^2+d^2, \]
|
||||
|
||||
da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{lem:quadrato_mod_4}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
esiste un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Teorema di Wilson}, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
|
||||
Attraverso varie manipolazioni algebriche si ottiene:
|
||||
|
||||
\[-1 \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2} \cdots (p-1) \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdots (-1) \equiv\]
|
||||
|
||||
\[ \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \equiv
|
||||
\left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \pmod p,
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
da cui con $x = \left( \frac{p-1}{2} \right)!$ si verifica la
|
||||
tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:primo_1_mod_4_riducibile}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è riducibile in $\ZZi$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Lemma \ref{lem:quadrato_mod_4}}, si ha che esiste
|
||||
un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$. Se $p$ fosse irriducibile,
|
||||
dacché $\ZZi$ è un PID in quanto euclideo, $p$ sarebbe anche un
|
||||
primo di $\ZZi$. Dal momento che $x^2+1=(x+i)(x-i)$, $p$ dovrebbe
|
||||
dividere almeno uno di questi due fattori. \\
|
||||
|
||||
Senza perdità di generalità, si ponga che $p \mid (x+i)$. Allora
|
||||
$\exists a+bi \in \ZZi \mid x+i=(a+bi)p$. Uguagliando le parti
|
||||
immaginarie si ottiene $bp=1$, che non ammette soluzioni, \Lightning{}. Pertanto $p$ è riducibile.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}[\textit{Teorema di Natale di Fermat}]
|
||||
\label{th:teorema_natale}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è somma di due quadrati in $\ZZ$.
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}},
|
||||
$p$ è riducibile in $\ZZi$. In quanto riducibile in $\ZZi$, per
|
||||
il \textit{Lemma \ref{lem:riducibile_due_quadrati}}, $p$ è allora
|
||||
somma di due quadrati.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}
|
||||
Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv -1 \pmod4$. Allora
|
||||
$p$ è irriducibile in $\ZZi$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $p$ fosse riducibile in
|
||||
$\ZZi$, per il \nameref{th:teorema_natale} esisterebbero $a$ e $b$
|
||||
in $\ZZ$ tali che $p=a^2+b^2$. Dal momento che $p$ è dispari,
|
||||
possiamo supporre, senza perdità di generalità, che
|
||||
$a$ sia pari e che $b$ sia dispari. Pertanto $a^2 \equiv 0 \pmod 4$ e $b^2 \equiv 1 \pmod 4$, dacché sono uno pari e l'altro dispari\footnote{Infatti, $0^2 \equiv 0
|
||||
\pmod4$, $1^2 \equiv 1 \pmod4$, $2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod 4$,
|
||||
$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 4$.}. Tuttavia la congruenza
|
||||
$a^2+b^2 \equiv 1 \equiv -1 \pmod4$ non è mai soddisfatta,
|
||||
\Lightning{}. Pertanto $p$ può essere solo irriducibile.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Si osserva che $2=(1+i)(1-i)$. Dal momento che $\norm{1+i}^2=
|
||||
\norm{1-i}^2=2\neq1$, si deduce che nessuno dei due fattori
|
||||
è invertibile. Pertanto $2$ non è irriducibile.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\label{prop:irriducibili_zz_zzi}
|
||||
Gli unici primi $p \in \ZZ$ irriducibili in $\ZZi$ sono i primi $p$ tali
|
||||
che $p \equiv -1 \pmod4$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Per l'osservazione precedente, $2$ non è irriducibile in $\ZZi$,
|
||||
così come i primi congrui a $1$ in modulo $4$,
|
||||
per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}}. Al
|
||||
contrario i primi $p$ congrui a $-1$ in modulo $4$ sono
|
||||
irriducibili, per il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
$z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un $k \in \ZZ$ tale che $k \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$)\; Sia $z \in \ZZi$ irriducibile. Chiaramente
|
||||
$z \mid z \overline{z} = g(z)$. Dacché $\ZZ$ è un UFD,
|
||||
$g(z)$ può decomporsi in un prodotto di primi $q_1q_2\cdots q_n$.
|
||||
Dal momento che $\ZZi$ è un PID, in quanto anello euclideo,
|
||||
$z$ deve dividere uno dei primi della fattorizzazione di
|
||||
$g(z)$. Si assuma che tale primo sia $q_i$. Allora esiste
|
||||
un $w \in \ZZi$ tale che $q_i=wz$. \\
|
||||
|
||||
Se $w \in \ZZi^*$, si
|
||||
deduce che $z$ è un associato di $q_i$. Dal momento che
|
||||
$z$ è irriducibile, $q_i$, che è suo associato, è a sua
|
||||
volta irriducibile. Allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:irriducibili_zz_zzi}}, $q_i \equiv -1 \pmod4$.
|
||||
\\
|
||||
|
||||
Altrimenti, se $w$ non è invertibile, si ha che $g(w)>g(1)$,
|
||||
ossia che $\norm{w}^2>1$. Inoltre in quanto irriducibile, anche
|
||||
$z$ non è invertibile, e quindi
|
||||
$g(z)>g(1) \implies \norm{z}^2>1$. Dalla proprietà
|
||||
moltiplicativa
|
||||
del modulo si ricava $q_i^2 = \norm{q_i}^2 = \norm{w}^2 \norm{z}^2$,
|
||||
da cui necessariamente consegue che:
|
||||
|
||||
\[ \norm{w}^2=q_i, \quad \norm{z}^2=q_i, \]
|
||||
|
||||
attraverso cui si verifica l'implicazione. \\
|
||||
|
||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $k \in \ZZ$ e $k \equiv -1 \pmod4$, per
|
||||
il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $k$ è
|
||||
irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\
|
||||
|
||||
Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga
|
||||
$z=ab$ con $a$ e $b \in \ZZi$. Per la proprietà moltiplicativa
|
||||
del modulo, $p = \norm{z}^2 = \norm{ab}^2 = \norm{a}^2\norm{b}^2$.
|
||||
Tuttavia questo implica che uno tra $\norm{a}^2$ e $\norm{b}^2$
|
||||
sia pari a $1$, ossia che uno tra $a$ e $b$ sia invertibile,
|
||||
dacché $g(1)=1$. Pertanto $z$ è in ogni caso irriducibile.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Infine si enuncia un'ultima identità inerente all'aritmetica, ma
|
||||
strettamente collegata a $\ZZi$.
|
||||
|
||||
\subsection{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[\textit{Identità di Brahmagupta-Fibonacci}]
|
||||
\label{prop:fibonacci}
|
||||
Il prodotto di due somme di quadrati è ancora una
|
||||
somma di quadrati. In particolare:
|
||||
|
||||
\[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
La dimostrazione altro non è che una banale verifica
|
||||
algebrica. Ciononostante è possibile risalire a questa
|
||||
identità in via alternativa mediante l'uso
|
||||
del modulo dei numeri complessi. \\
|
||||
|
||||
Siano $z_1=a+bi$, $z_2=c+di \in \CC$. Allora, per le proprietà
|
||||
del modulo dei numeri complessi:
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:modulo_z}
|
||||
\norm{z_1}\norm{z_2}=\norm{z_1z_2}.
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\end{equation}
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Computando il prodotto tra $z_1$ e $z_2$ si ottiene:
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\[ z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i, \]
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da cui a sua volta si ricava:
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\[ \norm{z_1z_2} = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}, \]
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assieme a:
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\[ \norm{z_1}=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \norm{z_2}=\sqrt{c^2+d^2}. \]
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Infine, da \eqref{eq:modulo_z}, elevando al quadrato, si deduce l'identità
|
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presentata:
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\begin{multline*}
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\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2} \implies (a^2+b^2)(c^2+d^2)= \\ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
|
||||
\end{multline*}
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||||
\end{proof}
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\begin{example}
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Si consideri $65=5 \cdot 13$. Dal momento che sia $5$
|
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che $13$ sono congrui a $1$ in modulo $4$, sappiamo
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già si possono scrivere entrambi come somme di due
|
||||
quadrati. Allora, dall'\nameref{prop:fibonacci},
|
||||
anche $65$ è somma di due quadrati. \\
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||||
Infatti $5=2^2+1^2$ e $13=3^2+2^2$. Pertanto
|
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$65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$.
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||||
\end{example}
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||||
\section{Irriducibilità in $\ZZx$ e in $\QQx$}
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\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in $\ZZpx$}
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Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
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alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
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$p$ primo. Questo metodo presenta un vantaggio da non
|
||||
sottovalutare: in $\ZZp$ per ogni grado $n$ esiste un
|
||||
numero finito di polinomi monici\footnote{Si prendono in
|
||||
considerazione solo i polinomi monici dal momento che vale
|
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l'equivalenza degli associati: se $a$ divide $b$, allora
|
||||
tutti gli associati di $a$ dividono $b$. $\ZZp$ è infatti
|
||||
un campo, e quindi $\ZZpx$ è un anello euclideo.} -- in particolare, $p^n$ --
|
||||
e quindi per un polinomio di grado $d$ è sufficiente controllare
|
||||
che questo non sia prodotto di tali polinomi monici per
|
||||
$1 \leq n < d$. \\
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|
||||
In modo preliminare, si definisce un omomorfismo fondamentale.
|
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\begin{definition}
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||||
Sia il seguente l'\textbf{omomorfismo di proiezione} da
|
||||
$\ZZ$ in $\ZZp$:
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||||
\[ \hatpip : \ZZx \to \ZZpx,\, a_n x^n + \ldots + a_0 \mapsto [a_n]_p \, x^n + \ldots + [a_0]_p. \]
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{note}
|
||||
Si dimostra facilmente che $\hatpi$ è un omomorfismo di anelli.
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||||
Innanzitutto, $\hatpi(1) = [1]_p$. Vale chiaramente la linearità:
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\begin{multline*}
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||||
\hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) + \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = [a_n]_p \, x^n + \ldots + [b_n]_p \, x^n + \ldots = \\
|
||||
= [a_n+b_n]_p \, x^n + \ldots = \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0 + b_n x^n + \ldots + b_0).
|
||||
\end{multline*}
|
||||
|
||||
Infine vale anche la moltiplicatività:
|
||||
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||||
\begin{multline*}
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||||
\hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = ([a_n]_p \, x^n + \ldots)([b_n]_p \, x^n + \ldots) = \\
|
||||
= \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j]_p \, [b_k]_p \, x^i
|
||||
= \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j b_k]_p \, x^i
|
||||
= \hatpip\left(\sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} a_j b_k x^i\right) = \\
|
||||
=\hatpip\left((a_n x^n + \ldots + a_0)(b_n x^n + \ldots + b_0)\right).
|
||||
\end{multline*}
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
Prima di enunciare un teorema che si rivelerà
|
||||
importante nel determinare l'irriducibilità di un
|
||||
polinomio in $\ZZx$, si enuncia una definizione che
|
||||
verrà ripresa anche in seguito
|
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|
||||
\begin{definition}
|
||||
Un polinomio $a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ si dice
|
||||
\textbf{primitivo} se $\MCD(a_n, \ldots, a_0)=1$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{theorem}
|
||||
\label{th:proiezione_irriducibilità}
|
||||
Sia $p$ un primo. Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots \in \ZZx$
|
||||
primitivo. Se $p \nmid a_n$ e
|
||||
$\hatpip(f(x))$ è irriducibile in $\ZZpx$, allora anche $f(x)$ lo
|
||||
è in $\ZZx$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $f(x) =
|
||||
a_nx^n + \ldots \in \ZZ[x]$ primitivo e riducibile, con
|
||||
$p \nmid a_n$. Dal momento che $f(x)$ è riducibile, esistono
|
||||
$g(x)$, $h(x)$ non invertibili tali che $f(x)=g(x)h(x)$. \\
|
||||
|
||||
Si dimostra che $\deg g(x) \geq 1$. Se infatti fosse nullo,
|
||||
$g(x)$ dovrebbe o essere uguale a $\pm 1$ -- assurdo, dal
|
||||
momento che $g(x)$ non è invertibile, \Lightning{} -- o
|
||||
essere una costante non invertibile. Tuttavia, nell'ultimo
|
||||
caso, risulterebbe che $f(x)$ non è primitivo, poiché
|
||||
$g(x)$ dividerebbe ogni coefficiente del polinomio.
|
||||
Analogamente anche $\deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Si consideri ora $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$.
|
||||
Dal momento che $p \nmid a_n$, il grado di $f(x)$ rimane costante
|
||||
sotto l'operazione di omomorfismo, ossia $\deg \hatpip(f(x)) =
|
||||
\deg f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, poiché nessuno dei fattori di $f(x)$ è nullo, $\deg f(x) = \deg g(x) +
|
||||
\deg h(x)$. Da questa considerazione si deduce che anche i
|
||||
gradi di $g(x)$ e $h(x)$ non devono calare, altrimenti si
|
||||
avrebbe che $\deg \hatpip(f(x)) < \deg f(x)$, \Lightning{}.
|
||||
Allora $\deg \hatpip(g(x)) = \deg g(x) \geq 1$,
|
||||
$\deg \hatpip(h(x)) = \deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Poiché $\deg \hatpip(g(x))$ e $\deg \hatpip(h(x))$ sono
|
||||
dunque entrambi non nulli, $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$
|
||||
non sono invertibili\footnote{Si ricorda che $\ZZpx$
|
||||
è un anello euclideo. Pertanto, non avere lo stesso grado
|
||||
dell'unità equivale a non essere invertibili.}. Quindi
|
||||
$f(x)$ è prodotto di non invertibili, ed è dunque riducibile.
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Criterio di Eisenstein}]
|
||||
\label{th:eisenstein}
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||||
Sia $p$ un primo.
|
||||
Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ primitivo tale che:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[ (1)]
|
||||
\item $p \nmid a_n$,
|
||||
\item $p \mid a_i$, $\forall i \neq n$,
|
||||
\item $p^2 \nmid a_0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si ponga $f(x)$ riducibile e sia pertanto $f(x)=g(x)h(x)$ con
|
||||
$g(x)$ e $h(x)$ non invertibili. Analogamente a come visto
|
||||
per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, si
|
||||
desume che $\deg g(x)$, $\deg h(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Si applica l'omomorfismo di proiezione in $\ZZpx$:
|
||||
|
||||
\[ \hatpip(f(x))=\underbrace{[a_n]_p}_{\neq 0} x_n, \]
|
||||
|
||||
da cui si deduce che $\deg \hatpip(f(x)) = \deg f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$ e
|
||||
che $\ZZpx$, in quanto campo, è un dominio,
|
||||
necessariamente sia $\hatpip(g(x))$ che $\hatpip(h(x))$
|
||||
sono dei monomi. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, sempre in modo analogo a come visto per il \textit{Teorema
|
||||
\ref{th:proiezione_irriducibilità}}, sia $\deg \hatpip(g(x))$
|
||||
che $\deg \hatpip(h(x))$ sono maggiori o uguali ad $1$. \\
|
||||
|
||||
Combinando questo risultato col fatto che questi due fattori
|
||||
sono monomi, si desume che
|
||||
$\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$ sono monomi di grado positivo.
|
||||
Quindi $p$ deve dividere entrambi i termini noti di $g(x)$ e
|
||||
$h(x)$, e in particolare $p^2$ deve dividere il loro prodotto,
|
||||
ossia $a_0$. Tuttavia questo è un assurdo, \Lightning{}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Si consideri $x^k-2$, per $k \geq 1$.
|
||||
Per il \nameref{th:eisenstein},
|
||||
considerando come primo $p=2$, si verifica che
|
||||
$x^k-2$ è sempre irriducibile. Pertanto, per ogni
|
||||
grado di un polinomio esiste almeno un irriducibile --
|
||||
a differenza di come invece avviene in $\RRx$ o in $\CCx$.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Sia $f(x) \in \ZZx$ primitivo e sia $a \in \ZZ$. Allora $f(x)$ è
|
||||
irriducibile se e solo se $f(x+a)$ è irriducibile.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Si dimostra una sola implicazione, dal momento che l'implicazione
|
||||
contraria consegue dalle stesse considerazioni poste
|
||||
studiando prima $f(x+a)$ e poi $f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Sia $f(x)=a(x)b(x)$ riducibile, con $a(x)$, $b(x) \in \ZZx$ non
|
||||
invertibili. Come già visto per il \textit{Teorema
|
||||
\ref{th:proiezione_irriducibilità}}, $\deg a(x)$, $\deg b(x) \geq 1$. \\
|
||||
|
||||
Allora chiaramente $f(x+a)=g(x+a)h(x+a)$, con $\deg g(x+a) =
|
||||
\deg g(x) \geq 1$, $\deg h(x+a) = \deg h(x) \geq 1$. Pertanto
|
||||
$f(x+a)$ continua a essere riducibile, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Si consideri $f(x) = x^{p-1}+\ldots+x^2+x+1 \in \ZZx$, dove
|
||||
tutti i coefficienti del polinomio sono $1$. Si verifica che:
|
||||
|
||||
\[ f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x = p+\binom{p}{2}x+\ldots+x^{p-1}. \]
|
||||
|
||||
Allora, per il \nameref{th:eisenstein} con $p$, $f(x+1)$ è
|
||||
irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Alcuni irriducibili di $\ZZ_2[x]$}
|
||||
|
||||
Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
|
||||
un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
|
||||
computazionalmente da analizzare, dacché $\ZZ_2$ consta
|
||||
di soli due elementi. Pertanto si computano adesso gli
|
||||
irriducibili di $\ZZ_2[x]$ fino al quarto grado incluso, a meno
|
||||
di associati. \\
|
||||
|
||||
Sicuramente $x$ e $x+1$ sono irriducibili, dal momento che sono di
|
||||
primo grado. I polinomi di secondo grado devono dunque essere
|
||||
prodotto di questi polinomi, e pertanto devono avere o $0$ o
|
||||
$1$ come radice: si verifica quindi che $x^2+x+1$ è l'unico
|
||||
polinomio di secondo grado irriducibile. \\
|
||||
|
||||
Per il terzo grado vale ancora lo stesso principio, per cui
|
||||
$x^3+x^2+1$ e $x^3+x+1$ sono gli unici irriducibili di tale grado.
|
||||
Infine, per il quarto grado, i polinomi riducibili soddisfano
|
||||
una qualsiasi delle seguenti proprietà:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $0$ e $1$ sono radici del polinomio,
|
||||
\item il polinomio è prodotto di due polinomi irriducibili di
|
||||
secondo grado.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Si escludono pertanto dagli irriducibili i polinomi non omogenei --
|
||||
che hanno sicuramente $0$ come radice --, e i polinomi con $1$ come
|
||||
radice, ossia $x^4+x^3+x+1$,\ \
|
||||
$x^4+x^3+x^2+1$, e $x^4+x^2+x+1$. Si esclude anche
|
||||
$(x^2+x+1)^2 = x^4+x^2+1$. Pertanto gli unici irriducibili di
|
||||
grado quattro sono $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$. \\
|
||||
|
||||
Tutti questi irriducibili sono raccolti nella seguente tabella:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (grado 1) $x$, $x+1$,
|
||||
\item (grado 2) $x^2+x+1$,
|
||||
\item (grado 3) $x^3+x^2+1$, $x^3+x+1$,
|
||||
\item (grado 4) $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Il polinomio $51x^3+11x^2+1 \in \ZZx$ è primitivo dal momento
|
||||
che $\MCD(51, 11, 1)=1$. Inoltre, poiché $\hatpi_2(51x^3+11x^2+1)=
|
||||
x^3+x+1$ è irriducibile, si deduce che anche $51x^3+11x^2+1$ lo
|
||||
è per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}
|
||||
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||||
Si enunciano in questa sezione i teoremi più importanti per
|
||||
lo studio dell'irriducibilità dei polinomi in $\QQx$ e
|
||||
in $\ZZx$, a partire dai due teoremi più importanti: il
|
||||
classico \nameref{th:radici_razionali} e il \nameref{th:lemma_gauss},
|
||||
che si pone da ponte tra l'analisi dell'irriducibilità in $\ZZx$ e
|
||||
quella in $\QQx$.
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Teorema delle radici razionali}]
|
||||
\label{th:radici_razionali}
|
||||
Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$. Abbia $f(x)$
|
||||
una radice razionale. Allora, detta tale radice $\frac{p}{q}$, già ridotta ai minimi termini, questa è tale che:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[ (i.)]
|
||||
\item $p \mid a_0$,
|
||||
\item $q \mid a_n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $\frac{p}{q}$ è radice, $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$, e
|
||||
quindi si ricava che:
|
||||
|
||||
\[ a_n \left( \frac{p}{q} \right)^n + \ldots + a_0 = 0 \implies
|
||||
a_n p^n = -q( \ldots + a_0 q^{n-1}). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Quindi $q \mid a_n p^n$. Dal momento che $\MCD(p, q)=1$, si
|
||||
deduce che $q \mid a_n$. \\
|
||||
|
||||
Analogamente si ricava che:
|
||||
|
||||
\[ a_0 q^n = -p(a_n p^{n-1} + \ldots). \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Pertanto, per lo stesso motivo espresso in precedenza,
|
||||
$p \mid a_0$, da cui la tesi.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Lemma di Gauss}]
|
||||
\label{th:lemma_gauss}
|
||||
Il prodotto di due polinomi primitivi in $\ZZx$ è anch'esso primitivo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siano $g(x) = a_m x^m + \ldots + a_0$ e $h(x) = b^n x^n + \ldots + b_0$ due polinomi primitivi in $\ZZx$. Si assuma che $f(x)=g(x)h(x)$
|
||||
non sia primitivo. Allora esiste un $p$ primo che divide tutti i
|
||||
coefficienti di $f(x)$. \\
|
||||
|
||||
Siano $a_s$ e $b_t$ i più piccoli coefficienti non divisibili
|
||||
da $p$ dei rispettivi polinomi. Questi sicuramente esistono,
|
||||
altrimenti $p$ dividerebbe tutti i coefficienti, e quindi
|
||||
o $g(x)$ o $h(x)$ non sarebbe primitivo, \Lightning{}. \\
|
||||
|
||||
Si consideri il coefficiente di $x^{s+t}$ di $f(x)$:
|
||||
|
||||
\[c_{s+t} = \sum_{j+k=s+t} a_j b_k = \underbrace{a_0 b_{s+t} + a_1 b_{s+t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p} + a_s b_t + \underbrace{a_{s+1}b_{t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p},\]
|
||||
|
||||
dal momento che $p \mid c_{s+t}$, si deduce che $p$ deve dividere
|
||||
anche $a_sb_t$, ossia uno tra $a_s$ e $b_t$, che è assurdo, \Lightning{}. Quindi $f(x)$ è primitivo.
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[\textit{Secondo lemma di Gauss}]
|
||||
\label{th:lemma_gauss_2}
|
||||
Sia $f(x) \in \ZZx$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$
|
||||
se e solo se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$ ed è primitivo.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
|
||||
|
||||
($\implies$)\; Si dimostra l'implicazione contronominalmente,
|
||||
ossia mostrando che se $f(x)$ non è primitivo o se è
|
||||
riducibile in $\QQx$, allora $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. \\
|
||||
|
||||
Se $f(x)$ non è primitivo, allora
|
||||
$f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. Sia quindi $f(x)$ primitivo
|
||||
e riducibile in $\QQx$, con $f(x)=g(x)h(x)$,
|
||||
$g(x)$, $h(x) \in \QQx \setminus \QQx^*$. \\
|
||||
|
||||
Si descrivano $g(x)$ e $h(x)$ nel seguente modo:
|
||||
|
||||
\[ g(x)=\frac{p_m}{q_m} x^m + \ldots + \frac{p_0}{q_0}, \quad \MCD(p_i, q_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq m, \]
|
||||
|
||||
\[ h(x)=\frac{s_n}{t_n} x^n + \ldots + \frac{s_0}{t_0}, \quad
|
||||
\MCD(s_i, t_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq n. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Si definiscano inoltre le seguenti costanti:
|
||||
|
||||
\[ \alpha = \frac{\mcm(q_m, \ldots, q_0)}{\MCD(p_m, \ldots, p_0)}, \quad \beta = \frac{\mcm(t_n, \ldots, t_0)}{\MCD(s_n, \ldots, s_0)}. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Si verifica che sia $\hat{g}(x)=\alpha g(x)$ che
|
||||
$\hat{h}(x)=\beta h(x)$ appartengono a $\ZZx$ e che entrambi
|
||||
sono primitivi. Pertanto $\hat{g}(x) \hat{h}(x) \in \ZZx$. \\
|
||||
|
||||
Si descriva $f(x)$ nel seguente modo:
|
||||
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||||
\[ f(x)=a_k x^k + \ldots + a_0, \quad \MCD(a_k,\ldots,a_0)=1. \]
|
||||
|
||||
\vskip 0.1in
|
||||
|
||||
Sia $\alpha \beta = \frac{p}{q}$ con $\MCD(p,q)=1$, allora:
|
||||
|
||||
\[\hat{g}(x) \hat{h}(x) = \alpha \beta f(x) = \frac{p}{q} (a_k x^k + \ldots + a_0), \]
|
||||
|
||||
da cui, per far sì che $\hat{g}(x) \hat{h}(x)$ appartenga
|
||||
a $\ZZx$, $q$ deve necessariamente dividere tutti i
|
||||
coefficienti di $f(x)$. Tuttavia $f(x)$ è primitivo, e quindi
|
||||
$q=\pm 1$. Pertanto $\alpha \beta = \pm p \in \ZZ$. \\
|
||||
|
||||
Infine, per il \nameref{th:lemma_gauss}, $\alpha \beta f(x)$
|
||||
è primitivo, da cui $\alpha \beta = \pm 1$. Quindi
|
||||
$f(x) = \pm \hat{g}(x) \hat{h}(x)$ è riducibile. \\
|
||||
|
||||
($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$
|
||||
ed è primitivo, sicuramente $f(x)$ è irriducibile anche in
|
||||
$\ZZx$. Infatti, se esiste una fattorizzazione in
|
||||
irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante
|
||||
moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi
|
||||
esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@ -0,0 +1,735 @@
|
||||
{
|
||||
"cells": [
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"# Algoritmo di rappresentazione dei polinomi simmetrici negli $e_i$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Lo scopo di questo notebook è implementare l'algoritmo impiegato nella dimostrazione del _Teorema fondamentale dei polinomi simmetrici_, che, dato un campo $F$, asserisce il seguente isomorfismo:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$\\operatorname{Sym}[X_n] \\cong F[e_1, \\ldots, e_n],$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"dove $X_n$ è l'insieme $\\{x_1, \\ldots, x_n\\}$.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Innanzitutto, si sceglie un $n \\in \\mathbb{N}^+$, che rappresenta il numero di variabili di cui è composto il polinomio simmetrico,\n",
|
||||
"e si crea l'anello di polinomi $\\mathbb{Q}[x_1, \\ldots, x_n]$, nel quale vale il _degree lexicographic order_ (**deglex**). Vengono\n",
|
||||
"infine create delle variabili simboliche a rappresentare i polinomi simmetrici elementari."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 1,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"name": "stdout",
|
||||
"output_type": "stream",
|
||||
"text": [
|
||||
"Defining x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\n"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}\\left(e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}\\right)</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}\\left(e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}\\right)\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"(e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 1,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"%display latex\n",
|
||||
"n = 5\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"P = PolynomialRing(QQ, \",\".join(f\"x_{i}\" for i in range(1, n+1)), order='deglex')\n",
|
||||
"P.inject_variables()\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"var(\",\".join(f\"e_{i}\" for i in range(n+1)))"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definisce il valore che deve assumere la funzione $e(d)$, che rappresenta il polinomio simmetrico $e_d$, nel\n",
|
||||
"seguente modo:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$e(d) = \\begin{cases}1 & \\text{se }d=0, \\\\ \\displaystyle \\sum_{1\\leq i_1 < i_2 < \\cdots < i_d \\leq n} \\underbrace{x_{i_1} \\cdots x_{i_d}}_{d\\text{ volte}} & \\text{altrimenti.} \\end{cases}$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 2,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"from functools import reduce\n",
|
||||
"from itertools import combinations\n",
|
||||
"from operator import mul\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"def e(d: Integer):\n",
|
||||
" if d == 0:\n",
|
||||
" return 1\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" return sum(reduce(mul, [P(f\"x_{j}\") for j in i], 1) for i in combinations(range(1, n+1), d))"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definisce una funzione $\\beta(\\operatorname{exp\\_lt})$ che prende in ingresso una tupla ordinata $\\operatorname{exp\\_lt} \\in \\mathbb{N}^n$ e restituisce una tupla dello stesso tipo definita nel seguente modo:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$\\beta(\\operatorname{exp\\_lt})_i = \\begin{cases} \\operatorname{exp\\_lt}_i - \\operatorname{exp\\_lt}_{i+1} & \\text{se }1 \\leq i < n, \\\\ \\operatorname{exp\\_lt}_i & \\text{altrimenti.} \\end{cases}$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 3,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"def beta(exp_lt):\n",
|
||||
" return [e - exp_lt[i+1] if i != n-1 else e for i, e in enumerate(exp_lt)]"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definiscono due funzioni analoghe, dette $\\operatorname{e\\_prod}$ e $\\operatorname{e\\_prod\\_value}$. La seconda restituisce lo stesso polinomio di $\\operatorname{e\\_prod}$ sostituendo ai simboli $e_i$ i corrispettivi valori $e(i)$. Pertanto si definisce solo il valore della prima funzione.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"Tale funzione $\\operatorname{e\\_prod}$ prende in ingresso una tupla $b \\in \\mathbb{N}^n$ e restituisce $e^b = {e_1}^{b_1} {e_2}^{b_2} \\cdots {e_n}^{b_n}$."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 4,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"def e_prod(b):\n",
|
||||
" return reduce(mul, [eval(f\"e_{i+1}\")^k for i, k in enumerate(b)], 1)\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"def e_prod_value(b):\n",
|
||||
" return reduce(mul, [e(i+1)^k for i, k in enumerate(b)], 1)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definisce infine la funzione $\\operatorname{combination}(\\operatorname{poly}(x))$, che prende in ingresso un polinomio simmetrico $\\operatorname{poly}(x)$ e ne restituisce la rappresentazione in $F[e_1, \\ldots, e_n]$, secondo il seguente algoritmo.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - se $\\operatorname{poly}(x)$ è $0$ o ha grado nullo, la sua rappresentazione in $F[e_1, \\ldots, e_n]$ è già $\\operatorname{poly}(x)$, e quindi la funzione restituisce il polinomio in ingresso senza modificarlo,\n",
|
||||
" - altrimenti, si considera, secondo il _deglex_, il _leading term_ di $\\operatorname{poly}(x)$, detto $\\operatorname{lt}$:\n",
|
||||
" - detta $\\alpha$ la tupla ordinata degli esponenti di $\\operatorname{lt}$, si calcola $\\beta(\\alpha)$, detto $b$,\n",
|
||||
" - detto $c$ il coefficiente razionale di $\\operatorname{lt}$, si restituisce la rappresentazione simbolica $c \\cdot \\operatorname{e\\_prod(b)}$, a cui si aggiunge ricorsivamente la rappresentazione del polinomio $\\operatorname{poly(x)} -\\, c \\cdot \\operatorname{e\\_prod\\_value(b)}$, ottenuta reiterando l'algoritmo su di esso."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 5,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"def combination(poly):\n",
|
||||
" if isinstance(poly, Integer) or isinstance(poly, Rational) or poly == 0 or poly.degree() == 0:\n",
|
||||
" return poly\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" lt = sorted(list(poly), reverse=True)[0]\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" try:\n",
|
||||
" b = beta(lt[1].exponents()[0])\n",
|
||||
" return lt[0] * e_prod(b) + combination(poly - lt[0] * e_prod_value(b))\n",
|
||||
" except (AttributeError, TypeError):\n",
|
||||
" raise TypeError(\"The given polynomial is not of symmetric kind\")"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si sceglie inoltre un polinomio $\\operatorname{poly}(x)$ che _deve_ essere simmetrico -- qualora non fosse tale, l'algoritmo non terminerà con successo (se terminasse con successo, il polinomio sarebbe combinazione di polinomi simmetrici, e sarebbe dunque anch'esso simmetrico, ↯)."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 6,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} x_{4}^{2} x_{5}^{2} - 2 x_{1}^{3} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2}^{3} x_{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3}^{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}^{3} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}^{3} + x_{1}^{4} + 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{3}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{5}^{2} + x_{2}^{4} + 2 x_{2}^{2} x_{3}^{2} + 2 x_{2}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{2}^{2} x_{5}^{2} + x_{3}^{4} + 2 x_{3}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{3}^{2} x_{5}^{2} + x_{4}^{4} + 2 x_{4}^{2} x_{5}^{2} + x_{5}^{4} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} x_{4}^{2} x_{5}^{2} - 2 x_{1}^{3} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2}^{3} x_{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3}^{3} x_{4} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}^{3} x_{5} - 2 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}^{3} + x_{1}^{4} + 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{3}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{5}^{2} + x_{2}^{4} + 2 x_{2}^{2} x_{3}^{2} + 2 x_{2}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{2}^{2} x_{5}^{2} + x_{3}^{4} + 2 x_{3}^{2} x_{4}^{2} + 2 x_{3}^{2} x_{5}^{2} + x_{4}^{4} + 2 x_{4}^{2} x_{5}^{2} + x_{5}^{4} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"x_1^2*x_2^2*x_3^2*x_4^2*x_5^2 - 2*x_1^3*x_2*x_3*x_4*x_5 - 2*x_1*x_2^3*x_3*x_4*x_5 - 2*x_1*x_2*x_3^3*x_4*x_5 - 2*x_1*x_2*x_3*x_4^3*x_5 - 2*x_1*x_2*x_3*x_4*x_5^3 + x_1^4 + 2*x_1^2*x_2^2 + 2*x_1^2*x_3^2 + 2*x_1^2*x_4^2 + 2*x_1^2*x_5^2 + x_2^4 + 2*x_2^2*x_3^2 + 2*x_2^2*x_4^2 + 2*x_2^2*x_5^2 + x_3^4 + 2*x_3^2*x_4^2 + 2*x_3^2*x_5^2 + x_4^4 + 2*x_4^2*x_5^2 + x_5^4 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 6,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"# Il polinomio deve essere simmetrico...\n",
|
||||
"poly = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 - x_1*x_2*x_3*x_4*x_5)^2\n",
|
||||
"poly"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si calcola adesso la rappresentazione di $\\operatorname{poly}(x)$ in funzione dei polinomi simmetrici elementari secondo l'implementazione di $\\operatorname{combination}$:"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 7,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{4} - 4 \\, e_{1}^{2} e_{2} - 2 \\, e_{1}^{2} e_{5} + 4 \\, e_{2}^{2} + 4 \\, e_{2} e_{5} + e_{5}^{2} + e_{1}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{4} - 4 \\, e_{1}^{2} e_{2} - 2 \\, e_{1}^{2} e_{5} + 4 \\, e_{2}^{2} + 4 \\, e_{2} e_{5} + e_{5}^{2} + e_{1}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"e_1^4 - 4*e_1^2*e_2 - 2*e_1^2*e_5 + 4*e_2^2 + 4*e_2*e_5 + e_5^2 + e_1"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 7,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"combination(poly)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"***"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Data una somma di potenze simmetrica, è possibile implementare un algoritmo di rappresentazione negli $e_i$ secondo le [identità di Newton-Girard](https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Identit%C3%A0_di_Newton&oldid=127634236#Enunciato_in_forma_relativa_ai_polinomi_simmetrici_elementari). Si definisce allora la funzione $\\operatorname{newton\\_girard}(k)$, che prende in ingresso un $k \\in \\mathbb{N}$ e restituisce la rappresentazione di $\\sum_{i=1}^n {x_i}^k$ nel seguente modo:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$\\operatorname{newton\\_girard}(k) = \\begin{cases} n & \\text{se } k = 0, \\\\ (-1)^{k+1} \\cdot (k e_{k} + \\sum_{i=1}^{k-1} (-1)^i \\operatorname{newton\\_girard}(i) \\, e_{k-1}) & \\text{altrimenti}, \\end{cases}$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"dove si pone $e_i = 0$ per ogni $i > n$.\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"La funzione è implementata con l'ausilio di un sistema di _caching_, affinché non vengano ricalcolati i valori già calcolati."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 8,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"from functools import lru_cache\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"@lru_cache(maxsize=None)\n",
|
||||
"def newton_girard(k): \n",
|
||||
" if k == 0:\n",
|
||||
" return n\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" return ((-1)**(k+1) * ((k * eval(f\"e_{k}\") if k <= n else 0) +\n",
|
||||
" sum((-1)**i * newton_girard(i) * eval(f\"e_{k - i}\") for i in range(max(1, k-n), k)))).expand()"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definisce infine la funzione $\\operatorname{sum\\_of\\_powers}(k)$, che, dato in ingresso un $k \\in \\mathbb{N}$, restituisce la rappresentazione di $\\sum_{i=1}^n (x_i)^k$ secondo la funzione $\\operatorname{combination}$ già definita."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 9,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"def sum_of_powers(k):\n",
|
||||
" return combination(sum(eval(f\"x_{i}\")^k for i in range(1, n+1)))"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si sceglie infine un $k \\in \\mathbb{N}$ al quale elevare tutti le variabili della somma."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 10,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"k = 8"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si computa la rappresentazione di $\\sum_{i=1}^n (x_i)^k$ prima secondo $\\operatorname{newton\\_girard}$, e poi secondo $\\operatorname{sum\\_of\\_powers}$, e si verifica che siano uguali."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 11,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{8} - 8 \\, e_{1}^{6} e_{2} + 20 \\, e_{1}^{4} e_{2}^{2} + 8 \\, e_{1}^{5} e_{3} - 16 \\, e_{1}^{2} e_{2}^{3} - 32 \\, e_{1}^{3} e_{2} e_{3} - 8 \\, e_{1}^{4} e_{4} + 2 \\, e_{2}^{4} + 24 \\, e_{1} e_{2}^{2} e_{3} + 12 \\, e_{1}^{2} e_{3}^{2} + 24 \\, e_{1}^{2} e_{2} e_{4} + 8 \\, e_{1}^{3} e_{5} - 8 \\, e_{2} e_{3}^{2} - 8 \\, e_{2}^{2} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{3} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{2} e_{5} + 4 \\, e_{4}^{2} + 8 \\, e_{3} e_{5}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{8} - 8 \\, e_{1}^{6} e_{2} + 20 \\, e_{1}^{4} e_{2}^{2} + 8 \\, e_{1}^{5} e_{3} - 16 \\, e_{1}^{2} e_{2}^{3} - 32 \\, e_{1}^{3} e_{2} e_{3} - 8 \\, e_{1}^{4} e_{4} + 2 \\, e_{2}^{4} + 24 \\, e_{1} e_{2}^{2} e_{3} + 12 \\, e_{1}^{2} e_{3}^{2} + 24 \\, e_{1}^{2} e_{2} e_{4} + 8 \\, e_{1}^{3} e_{5} - 8 \\, e_{2} e_{3}^{2} - 8 \\, e_{2}^{2} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{3} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{2} e_{5} + 4 \\, e_{4}^{2} + 8 \\, e_{3} e_{5}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"e_1^8 - 8*e_1^6*e_2 + 20*e_1^4*e_2^2 + 8*e_1^5*e_3 - 16*e_1^2*e_2^3 - 32*e_1^3*e_2*e_3 - 8*e_1^4*e_4 + 2*e_2^4 + 24*e_1*e_2^2*e_3 + 12*e_1^2*e_3^2 + 24*e_1^2*e_2*e_4 + 8*e_1^3*e_5 - 8*e_2*e_3^2 - 8*e_2^2*e_4 - 16*e_1*e_3*e_4 - 16*e_1*e_2*e_5 + 4*e_4^2 + 8*e_3*e_5"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 11,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"a = newton_girard(k)\n",
|
||||
"a"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 12,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{8} - 8 \\, e_{1}^{6} e_{2} + 20 \\, e_{1}^{4} e_{2}^{2} + 8 \\, e_{1}^{5} e_{3} - 16 \\, e_{1}^{2} e_{2}^{3} - 32 \\, e_{1}^{3} e_{2} e_{3} - 8 \\, e_{1}^{4} e_{4} + 2 \\, e_{2}^{4} + 24 \\, e_{1} e_{2}^{2} e_{3} + 12 \\, e_{1}^{2} e_{3}^{2} + 24 \\, e_{1}^{2} e_{2} e_{4} + 8 \\, e_{1}^{3} e_{5} - 8 \\, e_{2} e_{3}^{2} - 8 \\, e_{2}^{2} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{3} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{2} e_{5} + 4 \\, e_{4}^{2} + 8 \\, e_{3} e_{5}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}e_{1}^{8} - 8 \\, e_{1}^{6} e_{2} + 20 \\, e_{1}^{4} e_{2}^{2} + 8 \\, e_{1}^{5} e_{3} - 16 \\, e_{1}^{2} e_{2}^{3} - 32 \\, e_{1}^{3} e_{2} e_{3} - 8 \\, e_{1}^{4} e_{4} + 2 \\, e_{2}^{4} + 24 \\, e_{1} e_{2}^{2} e_{3} + 12 \\, e_{1}^{2} e_{3}^{2} + 24 \\, e_{1}^{2} e_{2} e_{4} + 8 \\, e_{1}^{3} e_{5} - 8 \\, e_{2} e_{3}^{2} - 8 \\, e_{2}^{2} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{3} e_{4} - 16 \\, e_{1} e_{2} e_{5} + 4 \\, e_{4}^{2} + 8 \\, e_{3} e_{5}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"e_1^8 - 8*e_1^6*e_2 + 20*e_1^4*e_2^2 + 8*e_1^5*e_3 - 16*e_1^2*e_2^3 - 32*e_1^3*e_2*e_3 - 8*e_1^4*e_4 + 2*e_2^4 + 24*e_1*e_2^2*e_3 + 12*e_1^2*e_3^2 + 24*e_1^2*e_2*e_4 + 8*e_1^3*e_5 - 8*e_2*e_3^2 - 8*e_2^2*e_4 - 16*e_1*e_3*e_4 - 16*e_1*e_2*e_5 + 4*e_4^2 + 8*e_3*e_5"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 12,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"b = sum_of_powers(k)\n",
|
||||
"b"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 13,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}0</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}0\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"0"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 13,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"a - b"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"***"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Sia ora:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} \\ldots + a_0,$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"con radici $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$. Allora si definisce **discriminante** di $f$ la seguente produttoria:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$\\Delta(f) = \\displaystyle \\prod_{1 \\leq i < j \\leq n} (x_i - x_j)^2.$$\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"In particolare, vale la seguente proprietà:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$\\exists\\, i \\neq j \\mid x_i = x_j \\iff \\Delta(f) = 0.$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si verifica facilmente che $\\Delta(f)$ è un polinomio simmetrico. Poiché ogni permutazione è una composizione di trasposizioni, è sufficiente verificare che invertendo due radici $x_i$ e $x_j$ il discriminante rimanga invariato:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" - i fattori che contengono solo uno tra $x_i$ e $x_j$ mantengono la somma della base invariata o al più cambiano di segno, e dunque, elevando al quadrato, rimangono invariati,\n",
|
||||
" - il fattore che contiene sia $x_i$ che $x_j$ cambia la propria base di segno, ma rimane invariato elevando al quadrato.\n",
|
||||
" \n",
|
||||
"Poiché $\\Delta(f)$ è un polinomio simmetrico nelle variabili $x_1$, ..., $x_n$, per il _Teorema fondamentale dei polinomi simmetrici_, si scrive in modo unico in funzione dei polinomi simmetrici elementari $e_i(x_1, \\ldots, x_n)$. Tuttavia tali polinomi simmetrici elementari altro non sono che i coefficienti di $f(x)$, a meno del segno. In particolare vale che:\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"$$e_i(x_1, \\ldots, x_n) = (-1)^{i} a_{n-i}, \\quad \\text{per } 0 \\leq i \\leq n.$$"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si definiscono quindi i simboli $a_0$, ..., $a_n$ e si costruisce una funzione $\\Delta(n)$ che restituisce il discriminante di un generico polinomio di $n$-esimo grado dato in ingresso in funzione degli $a_i$ mediante $\\operatorname{combination}$."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 14,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"var(\",\".join(f\"a_{i}\" for i in range(n+1)))\n",
|
||||
"\n",
|
||||
"def delta(n):\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" f = reduce(mul, (eval(f\"(x_{i}-x_{j})\")^2 for i, j in combinations(range(1, n+1), 2)), 1)\n",
|
||||
" c = combination(f)\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" for i in range(1, n+1):\n",
|
||||
" if i % 2:\n",
|
||||
" c = eval(f\"c.substitute(e_{i}=-a_{n-i})\")\n",
|
||||
" else:\n",
|
||||
" c = eval(f\"c.substitute(e_{i}=a_{n-i})\")\n",
|
||||
"\n",
|
||||
" return c"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Dunque, per l'$n$ scelto in partenza, il discriminante del generico polinomio di $n$-esimo grado è il seguente:"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 15,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{0} a_{2}^{3} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{1}^{3} a_{3}^{3} a_{4}^{2} + 18 \\, a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}^{3} a_{4}^{2} - 27 \\, a_{0}^{2} a_{3}^{4} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{3} a_{4}^{3} + 16 \\, a_{0} a_{2}^{4} a_{4}^{3} + 18 \\, a_{1}^{3} a_{2} a_{3} a_{4}^{3} - 80 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{2} a_{3} a_{4}^{3} - 6 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{3} + 144 \\, a_{0}^{2} a_{2} a_{3}^{2} a_{4}^{3} - 27 \\, a_{1}^{4} a_{4}^{4} + 144 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{4}^{4} - 128 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{4}^{4} - 192 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3} a_{4}^{4} + 256 \\, a_{0}^{3} a_{4}^{5} - 4 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{3} + 16 \\, a_{0} a_{2}^{3} a_{3}^{3} + 16 \\, a_{1}^{3} a_{3}^{4} - 72 \\, a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}^{4} + 108 \\, a_{0}^{2} a_{3}^{5} + 18 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{3} a_{3} a_{4} - 72 \\, a_{0} a_{2}^{4} a_{3} a_{4} - 80 \\, a_{1}^{3} a_{2} a_{3}^{2} a_{4} + 356 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4} + 24 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{3}^{3} a_{4} - 630 \\, a_{0}^{2} a_{2} a_{3}^{3} a_{4} - 6 \\, a_{1}^{3} a_{2}^{2} a_{4}^{2} + 24 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{3} a_{4}^{2} + 144 \\, a_{1}^{4} a_{3} a_{4}^{2} - 746 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{3} a_{4}^{2} + 560 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{3} a_{4}^{2} + 1020 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 36 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{4}^{3} + 160 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2} a_{4}^{3} - 1600 \\, a_{0}^{3} a_{3} a_{4}^{3} - 27 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{4} + 108 \\, a_{0} a_{2}^{5} + 144 \\, a_{1}^{3} a_{2}^{2} a_{3} - 630 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{3} a_{3} - 128 \\, a_{1}^{4} a_{3}^{2} + 560 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{3}^{2} + 825 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} - 900 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3}^{3} - 192 \\, a_{1}^{4} a_{2} a_{4} + 1020 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{4} - 900 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{3} a_{4} + 160 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{3} a_{4} - 2050 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + 2250 \\, a_{0}^{3} a_{3}^{2} a_{4} - 50 \\, a_{0}^{2} a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 2000 \\, a_{0}^{3} a_{2} a_{4}^{2} + 256 \\, a_{1}^{5} - 1600 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{2} + 2250 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2}^{2} + 2000 \\, a_{0}^{2} a_{1}^{2} a_{3} - 3750 \\, a_{0}^{3} a_{2} a_{3} - 2500 \\, a_{0}^{3} a_{1} a_{4} + 3125 \\, a_{0}^{4}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{0} a_{2}^{3} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{1}^{3} a_{3}^{3} a_{4}^{2} + 18 \\, a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}^{3} a_{4}^{2} - 27 \\, a_{0}^{2} a_{3}^{4} a_{4}^{2} - 4 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{3} a_{4}^{3} + 16 \\, a_{0} a_{2}^{4} a_{4}^{3} + 18 \\, a_{1}^{3} a_{2} a_{3} a_{4}^{3} - 80 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{2} a_{3} a_{4}^{3} - 6 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{3}^{2} a_{4}^{3} + 144 \\, a_{0}^{2} a_{2} a_{3}^{2} a_{4}^{3} - 27 \\, a_{1}^{4} a_{4}^{4} + 144 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{4}^{4} - 128 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{4}^{4} - 192 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3} a_{4}^{4} + 256 \\, a_{0}^{3} a_{4}^{5} - 4 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{3} + 16 \\, a_{0} a_{2}^{3} a_{3}^{3} + 16 \\, a_{1}^{3} a_{3}^{4} - 72 \\, a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}^{4} + 108 \\, a_{0}^{2} a_{3}^{5} + 18 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{3} a_{3} a_{4} - 72 \\, a_{0} a_{2}^{4} a_{3} a_{4} - 80 \\, a_{1}^{3} a_{2} a_{3}^{2} a_{4} + 356 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4} + 24 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{3}^{3} a_{4} - 630 \\, a_{0}^{2} a_{2} a_{3}^{3} a_{4} - 6 \\, a_{1}^{3} a_{2}^{2} a_{4}^{2} + 24 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{3} a_{4}^{2} + 144 \\, a_{1}^{4} a_{3} a_{4}^{2} - 746 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{3} a_{4}^{2} + 560 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{3} a_{4}^{2} + 1020 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3}^{2} a_{4}^{2} - 36 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{4}^{3} + 160 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2} a_{4}^{3} - 1600 \\, a_{0}^{3} a_{3} a_{4}^{3} - 27 \\, a_{1}^{2} a_{2}^{4} + 108 \\, a_{0} a_{2}^{5} + 144 \\, a_{1}^{3} a_{2}^{2} a_{3} - 630 \\, a_{0} a_{1} a_{2}^{3} a_{3} - 128 \\, a_{1}^{4} a_{3}^{2} + 560 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2} a_{3}^{2} + 825 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{2} a_{3}^{2} - 900 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{3}^{3} - 192 \\, a_{1}^{4} a_{2} a_{4} + 1020 \\, a_{0} a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{4} - 900 \\, a_{0}^{2} a_{2}^{3} a_{4} + 160 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{3} a_{4} - 2050 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + 2250 \\, a_{0}^{3} a_{3}^{2} a_{4} - 50 \\, a_{0}^{2} a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 2000 \\, a_{0}^{3} a_{2} a_{4}^{2} + 256 \\, a_{1}^{5} - 1600 \\, a_{0} a_{1}^{3} a_{2} + 2250 \\, a_{0}^{2} a_{1} a_{2}^{2} + 2000 \\, a_{0}^{2} a_{1}^{2} a_{3} - 3750 \\, a_{0}^{3} a_{2} a_{3} - 2500 \\, a_{0}^{3} a_{1} a_{4} + 3125 \\, a_{0}^{4}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"a_1^2*a_2^2*a_3^2*a_4^2 - 4*a_0*a_2^3*a_3^2*a_4^2 - 4*a_1^3*a_3^3*a_4^2 + 18*a_0*a_1*a_2*a_3^3*a_4^2 - 27*a_0^2*a_3^4*a_4^2 - 4*a_1^2*a_2^3*a_4^3 + 16*a_0*a_2^4*a_4^3 + 18*a_1^3*a_2*a_3*a_4^3 - 80*a_0*a_1*a_2^2*a_3*a_4^3 - 6*a_0*a_1^2*a_3^2*a_4^3 + 144*a_0^2*a_2*a_3^2*a_4^3 - 27*a_1^4*a_4^4 + 144*a_0*a_1^2*a_2*a_4^4 - 128*a_0^2*a_2^2*a_4^4 - 192*a_0^2*a_1*a_3*a_4^4 + 256*a_0^3*a_4^5 - 4*a_1^2*a_2^2*a_3^3 + 16*a_0*a_2^3*a_3^3 + 16*a_1^3*a_3^4 - 72*a_0*a_1*a_2*a_3^4 + 108*a_0^2*a_3^5 + 18*a_1^2*a_2^3*a_3*a_4 - 72*a_0*a_2^4*a_3*a_4 - 80*a_1^3*a_2*a_3^2*a_4 + 356*a_0*a_1*a_2^2*a_3^2*a_4 + 24*a_0*a_1^2*a_3^3*a_4 - 630*a_0^2*a_2*a_3^3*a_4 - 6*a_1^3*a_2^2*a_4^2 + 24*a_0*a_1*a_2^3*a_4^2 + 144*a_1^4*a_3*a_4^2 - 746*a_0*a_1^2*a_2*a_3*a_4^2 + 560*a_0^2*a_2^2*a_3*a_4^2 + 1020*a_0^2*a_1*a_3^2*a_4^2 - 36*a_0*a_1^3*a_4^3 + 160*a_0^2*a_1*a_2*a_4^3 - 1600*a_0^3*a_3*a_4^3 - 27*a_1^2*a_2^4 + 108*a_0*a_2^5 + 144*a_1^3*a_2^2*a_3 - 630*a_0*a_1*a_2^3*a_3 - 128*a_1^4*a_3^2 + 560*a_0*a_1^2*a_2*a_3^2 + 825*a_0^2*a_2^2*a_3^2 - 900*a_0^2*a_1*a_3^3 - 192*a_1^4*a_2*a_4 + 1020*a_0*a_1^2*a_2^2*a_4 - 900*a_0^2*a_2^3*a_4 + 160*a_0*a_1^3*a_3*a_4 - 2050*a_0^2*a_1*a_2*a_3*a_4 + 2250*a_0^3*a_3^2*a_4 - 50*a_0^2*a_1^2*a_4^2 + 2000*a_0^3*a_2*a_4^2 + 256*a_1^5 - 1600*a_0*a_1^3*a_2 + 2250*a_0^2*a_1*a_2^2 + 2000*a_0^2*a_1^2*a_3 - 3750*a_0^3*a_2*a_3 - 2500*a_0^3*a_1*a_4 + 3125*a_0^4"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 15,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"delta(n)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Infine si costruisce la funzione $\\operatorname{evaluate\\_delta}$ che, dato in ingresso un polinomio $f(x)$ di $n$-esimo grado, restituisce il valore di $\\Delta(f)$, sostituendo agli $a_i$ generici di $\\operatorname{delta}(n)$ i valori dei coefficienti di $f$."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 16,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [],
|
||||
"source": [
|
||||
"def evaluate_delta(f):\n",
|
||||
" d = delta(n)\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" for i, a in enumerate(f.list()):\n",
|
||||
" d = eval(f\"d.substitute(a_{i}=a)\")\n",
|
||||
" \n",
|
||||
" return d"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Si verifica adesso che per un polinomio con radici multiple il valore di $\\operatorname{evaluate\\_delta}$ è precisamente zero:"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 17,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}{\\left(x - 2\\right)}^{2} {\\left(x - 3\\right)} {\\left(x - 4\\right)} {\\left(x - 5\\right)}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}{\\left(x - 2\\right)}^{2} {\\left(x - 3\\right)} {\\left(x - 4\\right)} {\\left(x - 5\\right)}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"(x - 2)^2*(x - 3)*(x - 4)*(x - 5)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 17,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"f = (x-2)^2*(x-3)*(x-4)*(x-5)\n",
|
||||
"f"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 18,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x^{5} - 16 \\, x^{4} + 99 \\, x^{3} - 296 \\, x^{2} + 428 \\, x - 240</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x^{5} - 16 \\, x^{4} + 99 \\, x^{3} - 296 \\, x^{2} + 428 \\, x - 240\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"x^5 - 16*x^4 + 99*x^3 - 296*x^2 + 428*x - 240"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 18,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"f.expand()"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 19,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}0</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}0\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"0"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 19,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"evaluate_delta(f)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"Infine, si fa lo stesso con un polinomio con radici distinte, per verificare che $\\operatorname{evaluate\\_delta}$ è strettamente diverso da zero."
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 20,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}{\\left(x + 2\\right)} {\\left(x + i\\right)} {\\left(x - i\\right)} {\\left(x - 1\\right)} {\\left(x - 2\\right)}</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}{\\left(x + 2\\right)} {\\left(x + i\\right)} {\\left(x - i\\right)} {\\left(x - 1\\right)} {\\left(x - 2\\right)}\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"(x + 2)*(x + I)*(x - I)*(x - 1)*(x - 2)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 20,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"g = (x+2)*(x+I)*(x-I)*(x-1)*(x-2)\n",
|
||||
"g"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 21,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x^{5} - x^{4} - 3 \\, x^{3} + 3 \\, x^{2} - 4 \\, x + 4</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x^{5} - x^{4} - 3 \\, x^{3} + 3 \\, x^{2} - 4 \\, x + 4\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"x^5 - x^4 - 3*x^3 + 3*x^2 - 4*x + 4"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 21,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"g.expand()"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "code",
|
||||
"execution_count": 22,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"outputs": [
|
||||
{
|
||||
"data": {
|
||||
"text/html": [
|
||||
"<html><script type=\"math/tex; mode=display\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}-1440000</script></html>"
|
||||
],
|
||||
"text/latex": [
|
||||
"\\begin{math}\n",
|
||||
"\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}-1440000\n",
|
||||
"\\end{math}"
|
||||
],
|
||||
"text/plain": [
|
||||
"-1440000"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
"execution_count": 22,
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"output_type": "execute_result"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"source": [
|
||||
"evaluate_delta(g)"
|
||||
]
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"cell_type": "markdown",
|
||||
"metadata": {},
|
||||
"source": [
|
||||
"***\n",
|
||||
"(c) 2022, [~videtta](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/)"
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"metadata": {
|
||||
"celltoolbar": "Edit Metadata",
|
||||
"kernelspec": {
|
||||
"display_name": "SageMath 9.2",
|
||||
"language": "sage",
|
||||
"name": "sagemath"
|
||||
},
|
||||
"language_info": {
|
||||
"codemirror_mode": {
|
||||
"name": "ipython",
|
||||
"version": 3
|
||||
},
|
||||
"file_extension": ".py",
|
||||
"mimetype": "text/x-python",
|
||||
"name": "python",
|
||||
"nbconvert_exporter": "python",
|
||||
"pygments_lexer": "ipython3",
|
||||
"version": "3.7.7"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"nbformat": 4,
|
||||
"nbformat_minor": 4
|
||||
}
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,231 @@
|
||||
\documentclass[a4paper]{article}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[italian]{babel}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsopn}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{marvosym}
|
||||
|
||||
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
|
||||
|
||||
\title{$V$ e $\dual V$ a confronto}
|
||||
\author{Gabriel Antonio Videtta}
|
||||
\date{\today}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Imm}{Im}
|
||||
|
||||
\setlength\parindent{0pt}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
|
||||
\newcommand{\FF}{\mathbb{F}_2}
|
||||
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
|
||||
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
|
||||
\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
|
||||
\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)}
|
||||
|
||||
\newcommand{\MM}[2]{\mathcal{M}_{#1 \times #2}\left(\KK\right)}
|
||||
\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}\left(\KK\right)}
|
||||
\newcommand{\Mbb}[3]{\mathcal{M}^{#1}_{#2} \left( #3 \right)}
|
||||
\newcommand{\Mb}[2]{\mathcal{M}^{#1}_{#2}}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}{Definizione}[section]
|
||||
|
||||
\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
|
||||
|
||||
\newtheorem{example}{Esempio}[section]
|
||||
\newtheorem{exercise}{Esercizio}[section]
|
||||
\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
|
||||
\newtheorem{proposition}{Proposizione}[section]
|
||||
\newtheorem{corollary}{Corollario}[section]
|
||||
|
||||
\tableofcontents
|
||||
|
||||
\section{Premessa e motivazione}
|
||||
|
||||
Lo studio delle applicazioni lineari è riconosciuto come uno
|
||||
degli aspetti fondamentali della geometria contemporanea. Non è
|
||||
infatti una mera coincidenza che nella maggior parte delle
|
||||
applicazioni impiegate nello studio dei sistemi lineari si
|
||||
riconoscano proprietà che sono proprie delle applicazioni lineari. \\
|
||||
|
||||
Uno dei primi esempi importanti di applicazione lineare è
|
||||
quello della funzione traccia $\tr : \M{n} \to \KK$, che
|
||||
associa a una matrice quadrata la somma degli elementi della
|
||||
diagonale principale. Un altro esempio è quello del determinante
|
||||
$\det : \left(\KK^{n}\right)^n \to \KK$, un'applicazione che generalizza
|
||||
il concetto di linearità a più argomenti. Si parla infatti in
|
||||
questo caso di un'applicazione multilineare. \\
|
||||
|
||||
In ogni caso, queste due importanti applicazioni sono
|
||||
accomunate dallo spazio di arrivo, il campo $\KK$, sul
|
||||
quale si fonda lo spazio di partenza. Per approfondire lo
|
||||
studio di questo tipo di applicazioni, si introduce
|
||||
pertanto il concetto di \textbf{spazio duale}.
|
||||
|
||||
\section{Lo spazio duale e le sue proprietà}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Si dice \textbf{spazio duale} di uno spazio vettoriale $V$
|
||||
lo spazio delle applicazioni lineari $\LL{V}{\KK}$, indicato con $\dual V$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\subsection{Il caso finito}
|
||||
|
||||
Prima di dedurre la dimensione e una base ``naturale'' di
|
||||
$\dual V$, introduciamo il seguente teorema, che mette
|
||||
in correlazione due spazi apparentemente scollegati.
|
||||
|
||||
\vskip 10pt
|
||||
|
||||
\begin{theorem} Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita su $\KK$, e siano $\dim V = n \in \NN$, $\dim W = m \in \NN$. Allora $\LL{V}{W} \cong \MM{m}{n}$.
|
||||
\label{isom}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siano $\BB = \left(\vec v_1, \, \dots, \, \vec v_n\right)$ e
|
||||
$\BB' = \left(\vec w_1, \, \dots, \, \vec w_m\right)$
|
||||
basi ordinate rispettivamente di $V$ e di $W$. \\
|
||||
|
||||
Si considera l'applicazione lineare
|
||||
$\Mb{\BB}{\BB'} : \LL{V}{W} \to \MM{m}{n}$, che
|
||||
associa ad ogni applicazione lineare la sua matrice di
|
||||
cambiamento di base. \\
|
||||
|
||||
Tale applicazione è iniettiva, dal momento che l'unica
|
||||
applicazione a cui è associata la matrice nulla è l'applicazione
|
||||
che associa ad ogni vettore lo zero di $W$. \\
|
||||
|
||||
Inoltre, $\Mb{\BB}{\BB'}$ è surgettiva, poiché data una
|
||||
matrice $\mathbf{m} \in \MM{m}{n}$ si può costruire l'applicazione
|
||||
$\phi : V \to W$ t.c. $\left[ \phi \left( v_i \right) \right]_{\BB'} = \mathbf{m}^i \; \forall \, i \in \NN \mid 1 \leq i \leq n$. \\
|
||||
|
||||
Dal momento che $\Mb{\BB}{\BB'}$ è sia iniettiva che
|
||||
surgettiva, tale applicazione è bigettiva, e quindi
|
||||
un isomorfismo.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\vskip 10pt
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\KK$.
|
||||
Allora $\dim V = \dim \dual V$.
|
||||
\label{isom2}
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dal \textit{Teorema \ref{isom}} si deduce che
|
||||
$\dim \dual V = \dim \LL{V}{\KK} = \dim \KK \cdot \dim V =
|
||||
\dim V$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\vskip 10pt
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\KK$.
|
||||
Allora $V \cong \dual V$.
|
||||
\label{isom3}
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Poiché $V$ è di dimensione finita, la dimostrazione segue dal
|
||||
\textit{Corollario \ref{isom2}}, dal momento che
|
||||
$\dim V = \dim \dual V \iff V \cong \dual V$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Dimostrazione alternativa.]
|
||||
Sia $\dim V = n \in N$ e sia $\BB = \left(\vec v_1, \, \dots, \, \vec v_n\right)$ una base ordinata di $V$. \\
|
||||
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Si costruisce un'applicazione $\phi : V \to \dual V$ che,
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detto $\vec v = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i \, \vec v_i$ con
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$\alpha_i \in \KK \; \forall \, i \in \NN \mid 1 \leq i \leq n$, sia tale che:
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\[\phi(\vec v) = \sum_{i=0}^{n} \alpha_i \, \vec v_i^{*}\]
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con $\vec v_i^{*}$ costruito nel seguente modo\footnote{Si sarebbe potuto
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semplificare la grafia introducendo la notazione del \textit{delta di Dirac}, ossia $\delta_{ij}$. Si è
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tuttavia preferito esplicitare la definizione del funzionale.}:
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\[\vec v_{i}^*\left(\vec v_j\right) = \begin{cases}1 & \text{se } i = j \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]
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L'applicazione $\phi$ è chiaramente lineare. Poiché i vari
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$\vec v_i^{*}$ sono linearmente indipendenti, segue che
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$\Ker \phi = \{\vec 0\}$, e quindi che $\phi$ è iniettiva. \\
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Sia $\xi \in \dual V$. Allora $\xi \left( \vec v \right) =
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\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \xi(\vec v_i) =
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\sum_{i=1}^{n} \vec v_i^{*} \left( \vec v \right) \xi(\vec v_i) \, $. Quindi $\xi = \sum_{i=1}^n \xi(\vec v_i) \, \vec v_i^{*}$.
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Detto $\vec u = \sum_{i=1}^n \xi \left( \vec v_i \right) \vec v_i$, si verifica che $\phi \left( \vec u \right) = \xi$.
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Pertanto $\phi$ è surgettiva\footnote{Alternativamente, per il teorema del rango, $\dim V$ = $\dim \Imm \phi + \underbrace{\dim \Ker \phi}_{=\,0} = \dim \Imm \phi \implies \dim \Imm \phi = \dim V = \dim \dual V \implies \Imm \phi = \dual V$, ossia che $\phi$ è surgettiva.}. \\
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Poiché iniettiva e surgettiva, $\phi$ è bigettiva, e pertanto
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un isomorfismo.
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\end{proof}
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\vskip 10pt
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\begin{corollary} Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione
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finita su $\KK$, con $\dim V = n \in \NN$.
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L'insieme $\dual \BB = \left( \vec v_i^{*} \right)_{i=1\to n}$ è una base di $\dual V$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Dal \textit{Corollario \ref{isom3}} si desume che la dimensione
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di $\dual V$ è esattamente $n$. Poiché $\dual \BB$ è un insieme
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linearmente indipendente di $n$ elementi, si conclude
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che è una base di $\dual V$.
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\end{proof}
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\subsection{Il caso infinito}
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Le dimostrazioni presentate precdentemente non prendono in considerazione
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il caso degli spazi vettoriali di dimensione infinita;
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ciononostante vale in particolare un risultato correlato:
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\vskip 10pt
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\begin{theorem} Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\KK$.
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$\dim V = \infty \iff \dim \dual V = \infty$\footnote{Ciò
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tuttavia non implica che $V$ e $\dual V$ siano equipotenti se di dimensione infinita; al contrario, $| \dual V | > |V|$.}.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Se $\dual V$ è di dimensione infinita, anche $V$ deve esserlo
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necessariamente, altrimenti, per il \textit{Teorema \ref{isom}}
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dovrebbe esserlo anche $\dual V$. \\
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Sia allora $V$ di dimensione infinita e sia $A_i$ una famiglia
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di indici che enumeri $i$ elementi della base di $V$.
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Si consideri l'insieme linearmente indipendente $I_n = \{\vec v_{\alpha}^* \}_{\alpha \in A_n}$ con\footnote{Ancora una volta
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questa definizione ricalca il delta di Dirac.}:
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\[\vec v_{\alpha}^*\left(\vec v_{\beta}\right) = \begin{cases}1 & \text{se } \alpha = \beta \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]
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Si assuma l'esistenza di una base $\BB$ di $\dual V$ di
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cardinalità finita, e sia $| \BB | = n \in \NN$. Ogni insieme $P \subset V$ linearmente indipendente è t.c. $|P| \leq n$.
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Tuttavia $|I_{n+1}|=n+1>n$, \Lightning.
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\end{proof}
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\section{Esercizi}
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\begin{exercise}
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Si dimostri che l'insieme $I_n$ è linearmente indipendente in $\dual V$, dato $V$ spazio vettoriale di dimensione infinita.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}
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Dato $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita, si esibisca
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una base per $\dual {\left( \dual V \right)} = \LL{\LL{V}{ \KK}}{\KK}$, il cosiddetto \textbf{spazio biduale}.
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\end{exercise}
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\end{document}
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