|
|
|
|
|
# Spazi Metrici
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio metrico
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Norma
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Distanza discreta
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Distanze $p$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Embedding isometrico
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Isometria
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Palla aperta
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Continuità in un punto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Aperto metrico
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana
|
|
|
|
|
|
# Spazi topologici
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio topologico
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologia cofinita
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Chiuso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Finezza
|
|
|
|
|
|
## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche:egin{definition
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Limitatezza
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico ``è limitato"
|
|
|
|
|
|
## La categoria Top
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Funzione continua
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Omeomorfismo
|
|
|
|
|
|
## Chiusura e Parte interna
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Chiusura
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Parte interna
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Frontiera
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Insieme denso
|
|
|
|
|
|
## Basi e Prebasi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologia generata
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Base topologica
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Prebase topologica
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità
|
|
|
|
|
|
# Assiomi di Numerabilità e Intorni
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Intorni
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Intorno
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Continuità in un punto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto
|
|
|
|
|
|
## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] I-numerabilità
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili
|
|
|
|
|
|
## II-numerabilità e Separabilità
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] II-numerabilità
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Separabilità
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile
|
|
|
|
|
|
## Successioni
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Successione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Limite
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Chiuso per successioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Aperto per successioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Continuità per successioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni
|
|
|
|
|
|
# Topologia di sottospazio
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua
|
|
|
|
|
|
# Mappe aperte e chiuse
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Immersione topologica
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi
|
|
|
|
|
|
# Prodotti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Diagonale
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologia prodotto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Box topology
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico
|
|
|
|
|
|
## Proiezioni da un prodotto in un fattore
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte
|
|
|
|
|
|
## Immersioni dei fattori nel prodotto
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti
|
|
|
|
|
|
## Topologia della convergenza puntuale
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# Assiomi di separazione
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Assiomi di separazione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Regolari e Normali
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$
|
|
|
|
|
|
# Ricoprimenti fondamentali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Ricoprimento
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita
|
|
|
|
|
|
# Spazi connessi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Connessione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Cammino
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Giunzione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Connessione per archi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Insieme convesso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Intervallo
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi
|
|
|
|
|
|
## Componenti connesse
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Componente connessa
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia
|
|
|
|
|
|
### Locale connessione per archi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte
|
|
|
|
|
|
# Compattezza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio compatto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Alexander debole
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Alexander
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi
|
|
|
|
|
|
## Sottoinsiemi compatti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Funzione propria
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse
|
|
|
|
|
|
## Compattezza per prodotti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Tychonoff
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Wallace
|
|
|
|
|
|
## Compattificazione di Alexandroff
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Compattificazione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff
|
|
|
|
|
|
### Proiezione stereografica
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Proiezione stereografica
|
|
|
|
|
|
## Compattezza in spazi metrici
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Compattezza e assiomi di numerabilità
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità
|
|
|
|
|
|
### Limitatezza e Completezza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Successione di Cauchy
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio completo
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici
|
|
|
|
|
|
### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio
|
|
|
|
|
|
### Compattezza in $\R^n$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Heine-Borel
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Weierstrass
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$
|
|
|
|
|
|
# Topologia Quoziente
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Spazio quoziente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Topologia quoziente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente
|
|
|
|
|
|
## Passaggio a quoziente e Identificazioni
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Identificazione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni
|
|
|
|
|
|
## Insiemi saturi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Insieme saturo
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi
|
|
|
|
|
|
## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Collassamento
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Unione disgiunta
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Bouquet
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori
|
|
|
|
|
|
# Quozienti per azioni di gruppi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Azione
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Azione continua
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione
|
|
|
|
|
|
## Assiomi di Separazione e Azioni
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$
|
|
|
|
|
|
## Domini fondamentali
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Dominio fondamentale
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale
|
|
|
|
|
|
# Topologia dei Proiettivi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Caso Reale
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco
|
|
|
|
|
|
## Caso Complesso
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi
|
|
|
|
|
|
## Variet\`a topologiche
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Variet\`a topologica
|
|
|
|
|
|
# Appendice al capitolo 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Esempi e controesempi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Spazi topologici
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Assiomi di numerabilit\`a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Prodotti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Assiomi di separazione
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey
|
|
|
|
|
|
### Ricoprimenti
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Connessi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Compattezza
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Quozienti
|
|
|
|
|
|
|
