elenco argomenti G2
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Luca Lombardo
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# La categoria hTop
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* [ ] [definizione] Omotopia
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* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
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* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
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* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
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* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
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## Funtore delle componenti connesse per archi
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* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
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# Gruppo fondamentale
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## Omotopia di cammini
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* [ ] [definizione] Omotopia di cammini
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## Gruppo Fondamentale
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* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
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* [ ] [definizione] Semplicemente connesso
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## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
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* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
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## Funtorialità del gruppo fondamentale
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* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
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* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
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* [ ] [definizione] Omotopia puntata
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* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
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## Dipendenze del gruppo fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
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* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
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# Spazi contraibili e retratti
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## Spazi contraibili
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* [ ] [definizione] Spazio contraibile
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* [ ] [definizione] Insieme stellato
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* [ ] [definizione] Insieme Convesso
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* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
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## Retratti di Deformazione
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* [ ] [definizione] Retratto
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* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
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* [ ] [definizione] Retratto di deformazione
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# Rivestimenti
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## Omeomorfismi locali
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* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
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* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
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## Rivestimenti
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* [ ] [definizione] Rivestimento
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* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
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* [ ] [definizione] Fibra
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* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
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* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
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* [ ] [definizione] Rivestimento banale
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* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
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## Sollevamenti
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* [ ] [definizione] Sollevamento
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* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
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# Azione di Monodromia
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* [ ] [definizione] Azione di monodromia
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* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
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### Sollevamento di mappe qualsiasi
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* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
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## Applicazioni dell'azione di Monodromia
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
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* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
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# Teorema di Seifert-Van Kampen
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* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
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# Calcolo del Gruppo fondamentale
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## Gruppo fondamentale del prodotto
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
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## Prodotto libero e gruppi liberi
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* [ ] [definizione] Prodotto libero
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* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
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* [ ] [definizione] Gruppo libero
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
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## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
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## Prodotto amalgamato
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* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
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## Presentazioni di gruppi
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* [ ] [definizione] Presentazione
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
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* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
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## Rango
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* [ ] [definizione] Rango
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## Gruppi fondamentali di proiettivi
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* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
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* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
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## Gruppi fondamentali di superfici
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### Toro
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
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### Superfici con dato genere
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
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* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
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* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
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# Rivestimento Universale
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* [ ] [definizione] Rivestimento universale
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* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
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* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
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* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
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## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
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* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
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* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
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* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
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### Isomorfismi di rivestimenti
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
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## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
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* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
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* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
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* [ ] [definizione] Rivestimento regolare
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* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
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* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
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* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
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## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
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* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam
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# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
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* [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
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* [ ] [definizione] Derivate parziali
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* [ ] [definizione] Coniugio
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* [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
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* [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
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# Funzioni olomorfe
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* [ ] [definizione] Funzione olomorfa
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
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# Analitiche
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## Serie di potenze
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* [ ] [definizione] Serie di potenze
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* [ ] [definizione] Funzione analitica
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* [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
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* [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
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* [ ] [**teorema**] Serie derivata
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## Ordine di annullamento
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* [ ] [definizione] Ordine di annullamento
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* [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
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# Esponenziale e logaritmo complessi
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## Esponenziale complesso
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* [ ] [definizione] Esponenziale complesso
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
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## Logaritmo complesso
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* [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
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* [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
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* [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
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* [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
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* [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
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# 1-Forme complesse
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* [ ] [definizione] 1-forma continua
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* [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
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## Integrazione di 1-forme
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* [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
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* [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
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* [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
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* [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
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* [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
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* [ ] [definizione] Dominio
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
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## Primitive lungo curve e lungo omotopie
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* [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
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* [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
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* [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
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* [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
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## Forme chiuse da funzioni olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Gauss-Green
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
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* [ ] [**teorema**] Cauchy
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* [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
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# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
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* [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
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* [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
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* [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
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## Olomorfa implica analitica
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* [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
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### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
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* [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
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# Applicazioni
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## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
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* [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
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## Principio della media
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* [ ] [definizione] Propriet\`a della media
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* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
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* [ ] [**teorema**] Principio della media
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## Principio del massimo
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* [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
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* [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
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# Singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Corona
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## Serie di Laurent
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* [ ] [definizione] Serie di Laurent
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* [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
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* [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
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## Tipi di singolarit\`a
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* [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
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* [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
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* [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
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# Funzioni meromorfe e Residui
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* [ ] [definizione] Funzione meromorfa
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* [ ] [definizione] Residuo
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* [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
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* [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
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## Derivata Logaritmica
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* [ ] [definizione] Derivata logaritmica
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* [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
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* [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica
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@@ -0,0 +1,122 @@
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# Spazi proiettivi e nozioni introduttive
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## Spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
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* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
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## Trasformazioni Proiettive
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* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
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* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
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## Sottospazi proiettivi
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* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
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* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
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* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
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## Riferimenti proiettivi
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* [ ] [definizione] Punti indipendenti
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* [ ] [definizione] Posizione generale
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
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* [ ] [definizione] Base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
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* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
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## Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
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* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
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* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
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# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini
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## Carte affini
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* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
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* [ ] [**proposizione**] Parte affine
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
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# Approfondimento sulle proiettivit\`a
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## Prospettivit\`a
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* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
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## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
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## Trasformazioni lineari fratte
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* [ ] [definizione] Infinito
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* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
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# Dualit\`a
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
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* [ ] [definizione] Riferimento duale
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* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
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* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
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* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
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# Birapporto
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* [ ] [definizione] Birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
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# Coniche proiettive
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* [ ] [definizione] Conica proiettiva
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## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche
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* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
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## Parte affine e chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Parte affine
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* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
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* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
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## Tangenti
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### Intersezioni con rette e riducibilit\`a
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* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
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* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
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### Tangenti
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* [ ] [definizione] Retta tangente
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* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
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* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
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## Polarit\`a
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* [ ] [definizione] Retta polare
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* [ ] [definizione] Conica duale
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## Punti reali e punti complessi
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* [ ] [definizione] Complessificazione
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## Sistemi lineari di coniche
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
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* [ ] [definizione] Punto base
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@@ -0,0 +1,295 @@
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# Spazi Metrici
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* [ ] [definizione] Spazio metrico
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* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme
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* [ ] [definizione] Norma
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* [ ] [definizione] Distanza discreta
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* [ ] [definizione] Distanze $p$
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* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali
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* [ ] [definizione] Embedding isometrico
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* [ ] [definizione] Isometria
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* [ ] [definizione] Palla aperta
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [definizione] Aperto metrico
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue
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* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana
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# Spazi topologici
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* [ ] [definizione] Spazio topologico
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* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta
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* [ ] [definizione] Topologia cofinita
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* [ ] [definizione] Chiuso
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* [ ] [definizione] Finezza
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## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche:egin{definition
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* [ ] [definizione] Limitatezza
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* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico ``è limitato"
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## La categoria Top
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* [ ] [definizione] Funzione continua
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* [ ] [definizione] Omeomorfismo
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## Chiusura e Parte interna
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* [ ] [definizione] Chiusura
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* [ ] [definizione] Parte interna
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* [ ] [definizione] Frontiera
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* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura
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* [ ] [definizione] Insieme denso
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## Basi e Prebasi
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* [ ] [definizione] Topologia generata
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* [ ] [definizione] Base topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi
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* [ ] [definizione] Prebase topologica
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata
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* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità
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# Assiomi di Numerabilità e Intorni
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## Intorni
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* [ ] [definizione] Intorno
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto
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## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità
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* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni
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* [ ] [definizione] I-numerabilità
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili
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## II-numerabilità e Separabilità
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* [ ] [definizione] II-numerabilità
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* [ ] [definizione] Separabilità
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* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
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* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile
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## Successioni
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* [ ] [definizione] Successione
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* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente
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* [ ] [definizione] Limite
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* [ ] [definizione] Chiuso per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni
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* [ ] [definizione] Aperto per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni
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* [ ] [definizione] Continuità per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni
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# Topologia di sottospazio
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* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua
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# Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Immersione topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi
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# Prodotti
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* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano
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* [ ] [definizione] Diagonale
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* [ ] [definizione] Topologia prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto
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* [ ] [definizione] Box topology
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico
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## Proiezioni da un prodotto in un fattore
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* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto
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* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte
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## Immersioni dei fattori nel prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti
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## Topologia della convergenza puntuale
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# Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$
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||||
* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
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* [ ] [definizione] Regolari e Normali
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* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali
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* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn
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* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni
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* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$
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# Ricoprimenti fondamentali
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* [ ] [definizione] Ricoprimento
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* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale
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* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
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* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni
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* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita
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# Spazi connessi
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* [ ] [definizione] Connessione
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* [ ] [definizione] Cammino
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* [ ] [definizione] Giunzione
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* [ ] [definizione] Connessione per archi
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||||
* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso
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||||
* [ ] [definizione] Insieme convesso
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* [ ] [definizione] Intervallo
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||||
* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$
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||||
* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
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* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione
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||||
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso
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||||
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi
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||||
## Componenti connesse
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* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa
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||||
* [ ] [definizione] Componente connessa
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||||
* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi
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||||
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
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* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia
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### Locale connessione per archi
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* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
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||||
* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
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||||
* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
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||||
* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte
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# Compattezza
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* [ ] [definizione] Spazio compatto
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* [ ] [**teorema**] Alexander debole
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* [ ] [**teorema**] Alexander
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* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti
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||||
* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
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* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi
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## Sottoinsiemi compatti
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* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto
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* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi
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* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare
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* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale
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||||
* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse
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* [ ] [definizione] Funzione propria
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* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse
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## Compattezza per prodotti
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* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole
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||||
* [ ] [**teorema**] Tychonoff
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* [ ] [**teorema**] Wallace
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||||
## Compattificazione di Alexandroff
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||||
* [ ] [definizione] Compattificazione
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||||
* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff
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||||
* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione
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||||
* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff
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||||
### Proiezione stereografica
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||||
* [ ] [definizione] Proiezione stereografica
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||||
## Compattezza in spazi metrici
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### Compattezza e assiomi di numerabilità
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||||
* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale
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||||
* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of
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||||
* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
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||||
* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of
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||||
* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
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||||
* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità
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### Limitatezza e Completezza
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||||
* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati
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* [ ] [definizione] Successione di Cauchy
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||||
* [ ] [definizione] Spazio completo
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||||
* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
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||||
* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato
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||||
* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato
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* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile
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||||
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici
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||||
### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità
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||||
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||||
* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue
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||||
* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
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||||
* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua
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||||
* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor
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||||
* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio
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||||
### Compattezza in $\R^n$
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||||
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||||
* [ ] [**teorema**] Heine-Borel
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||||
* [ ] [**teorema**] Weierstrass
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||||
* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$
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||||
# Topologia Quoziente
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* [ ] [definizione] Spazio quoziente
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* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente
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* [ ] [definizione] Topologia quoziente
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||||
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente
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||||
## Passaggio a quoziente e Identificazioni
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* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
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||||
* [ ] [definizione] Identificazione
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* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
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||||
* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni
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||||
## Insiemi saturi
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||||
* [ ] [definizione] Insieme saturo
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||||
* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi
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||||
## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet
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* [ ] [definizione] Collassamento
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* [ ] [definizione] Unione disgiunta
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* [ ] [definizione] Bouquet
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* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet
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||||
* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse
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* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet
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||||
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori
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||||
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori
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||||
# Quozienti per azioni di gruppi
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||||
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||||
* [ ] [definizione] Azione
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* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore
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* [ ] [definizione] Azione continua
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* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione
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||||
## Assiomi di Separazione e Azioni
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||||
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* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
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||||
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$
|
||||
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
|
||||
* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$
|
||||
## Domini fondamentali
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||||
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||||
* [ ] [definizione] Dominio fondamentale
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||||
* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale
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# Topologia dei Proiettivi
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||||
## Caso Reale
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||||
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
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||||
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco
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||||
## Caso Complesso
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||||
* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi
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||||
## Variet\`a topologiche
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||||
* [ ] [definizione] Variet\`a topologica
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# Appendice al capitolo 2
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## Esempi e controesempi
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### Spazi topologici
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### Assiomi di numerabilit\`a
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### Prodotti
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### Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey
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### Ricoprimenti
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### Connessi
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### Compattezza
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### Quozienti
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+116
-42
@@ -2,47 +2,90 @@
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## Moti centrali
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||||
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||||
**Teoria:**
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||||
- [x] Definizione campo di forze centrale
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- [x] Integrabilità dei moti centrali
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||||
- [ ] Legge delle aree
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||||
- [ ] Formula di Binet
|
||||
- [ ] Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento)
|
||||
- [x] Problema dei due corpi
|
||||
- [x] Problema diretto di keplero
|
||||
- [x] Problema inverso di keplero
|
||||
|
||||
**Domande:**
|
||||
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||||
- [ ] Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
|
||||
- [ ] Problema diretto di keplero
|
||||
- [ ] Problema inverso di keplero
|
||||
- [ ] Problema dei due corpi
|
||||
- [ ] Formula di Binet
|
||||
- [ ] Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero
|
||||
- [ ] Definizione e proprietà dell'integrabilità dei moti centrali
|
||||
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||||
## Sistemi di riferimento in moto relativo
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||||
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||||
- [ ] Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi sistemi di riferimento
|
||||
- [ ] Potenziale delle forze apparenti
|
||||
- [ ] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
|
||||
- [ ] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
|
||||
- [ ] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare
|
||||
**Teoria:**
|
||||
|
||||
- [x] Formule di Poisson
|
||||
- [ ] Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità)
|
||||
- [x] Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso
|
||||
- [x] Equazioni del moto in riferimenti diversi
|
||||
|
||||
**Domande:**
|
||||
|
||||
- [x] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
|
||||
- [x] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
|
||||
- [x] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare
|
||||
|
||||
## Dinamica dei sistemi di N punti materiali
|
||||
|
||||
**Teoria:**
|
||||
|
||||
- [x] Baricentro
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||||
- [x] Teorema di König, versione per sistemi di N punti
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||||
- [x] Forze interne e forze esterne
|
||||
- [x] Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli
|
||||
- [x] Sistemi equivalenti di vettori applicati
|
||||
- [x] Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari
|
||||
- [x] Teorema dell'asse centrale
|
||||
|
||||
**Domande:**
|
||||
|
||||
- [ ] Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
|
||||
- [ ] Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà
|
||||
- [ ] Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale delle forze di tipo classico
|
||||
- [ ] Teorema di König, versione per sistemi di N punti
|
||||
- [ ] Le forze interne ammettono potenziale
|
||||
- [ ] Parlare dei sistemi equivalenti di vettori applicati
|
||||
- [ ] Sistemi di vettori applicati
|
||||
- [ ] Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità
|
||||
- [ ] Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
|
||||
- [ ] Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)
|
||||
|
||||
## Il corpo rigido
|
||||
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||||
- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
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||||
- [ ] Asse istantaneo di rotazione
|
||||
**Teoria:**
|
||||
|
||||
- [ ] Angoli di Eulero
|
||||
- [x] Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido
|
||||
- [ ] Velocità angolare e angoli di Eulero
|
||||
- [x] Asse istantaneo di rotazione
|
||||
- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
|
||||
- [ ] Teorema di Chasles
|
||||
- [x] Operatore di inerzia e prime proprietà
|
||||
- [x] Scomposizione dell'operatore di inerzia
|
||||
- [x] Teorema di Huygens-Steiner
|
||||
- [x] Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia
|
||||
|
||||
**Domande:**
|
||||
|
||||
- [ ] Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
|
||||
- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prima proprietà fino al teorema di scomposizione.
|
||||
- [ ] Huygens-Steiner e un esempio di applicazione
|
||||
- [ ] Huygens-Steiner: un esempio di applicazione
|
||||
- [ ] Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo
|
||||
- [ ] Cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
|
||||
- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
|
||||
|
||||
## Sistemi vincolati
|
||||
|
||||
**Teoria:**
|
||||
|
||||
- [ ] Studio del moto vincolato: base di Frenet
|
||||
- [ ] Varietà e spazi tangenti
|
||||
- [ ] Fibrato Tangente
|
||||
- [x] Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema
|
||||
- [x] Velocità lagrangiane e velocità virtuali
|
||||
- [x] Vicoli olonomi e analonomi
|
||||
|
||||
**Domande:**
|
||||
|
||||
- [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
|
||||
- [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
|
||||
- [ ] Vincoli ideali
|
||||
@@ -50,41 +93,72 @@
|
||||
|
||||
## Le equazioni cardinali della dinamica
|
||||
|
||||
- [ ] Equazioni di Eulero
|
||||
- [ ] Definizione di equilibrio stabile; come interpreti questa definizione per gli
|
||||
equilibri stabili della lagrangiana?
|
||||
- [ ] Equazioni cardinali della dinamica
|
||||
- [ ] Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati)
|
||||
**Teoria:**
|
||||
|
||||
- [x] Equazioni Cardinali
|
||||
- [x] Equazioni di Eulero
|
||||
- [x] Moti di Eulero-Poinsot
|
||||
- [x] Caso simmetria sferica ($I_1 = I_2 = I_3$)
|
||||
- [x] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$)
|
||||
- [ ] Caso generico ($I_1 > I_2 > I_3$)
|
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- [x] Definizione di equilibrio stabile ed instabile
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**Domande:**
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- [ ] Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana?
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- [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
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- [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
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- [ ] Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
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- [ ] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$), le varie proprietà
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- [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)
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## Equazioni di Lagrange
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- [ ] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert
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- [ ] energia potenziale generalizzata delle forze apparenti, lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
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- [ ] principio di d’Alembert e definizione di forze generalizzate. Calcolo di quest’ultime nel caso dell’asta ruotante
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- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano
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$Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze
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- [ ] Potenziali generalizzati
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**Teoria:**
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- [x] Vincoli ideali e principio di D’Alembert
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- [x] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert (prop. 60)
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- [x] Sistemi Lagrangiani (definizione)
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- [x] Forze conservative e Lagrangiana
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- [x] Energia potenziale generalizzata
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- [ ] Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti
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**Domande:**
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- [x] Forze generalizzate nel caso dell’asta ruotante, calcolarle.
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- [ ] lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
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- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze
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## Simmetrie ed integrali primi
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- [ ] Riduzione di Routh
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- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costante)
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- [ ] Integrale di Jacobi
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**Teoria:**
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- [x] Variabili Cicliche e Momento Coniugato
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- [x] Integrale di Jacobi è un integrale primo
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- [x] Riduzione di Routh
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- [ ] Trottola di Lagrange
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- [x] Teorema di Noether
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**Domande**
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- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costa- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
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nte)
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- [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
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- [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)
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## Equilibri e stabilità
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**Teoria:**
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- [x] Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12)
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- [x] Linearizzazione attorno ad un equilibrio
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- [x] Funzione di Lyapunov
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- [x] Lyapounov (enunciato del teorema)
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- [x] Teorema di Lagrange-Dirichlet
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- [x] Analisi della stabilità
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- [x] Piccole oscillazioni
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**Domande:**
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- [ ] Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
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- [ ] Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità
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- [ ] Equilibri, Lagrange-Dirichlet
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- [ ] Lyapounov (enunciato del teorema)
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- [ ] Dimostrare che l'integrale di Jacobi è un integrale primo
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- [ ] Piccole oscillazioni
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- [ ] Linearizzazione attorno ad un equilibrio
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Reference in New Issue
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