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Luca Lombardo 2 months ago
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# La categoria hTop
* [ ] [definizione] Omotopia
* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
## Funtore delle componenti connesse per archi
* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
# Gruppo fondamentale
## Omotopia di cammini
* [ ] [definizione] Omotopia di cammini
## Gruppo Fondamentale
* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
* [ ] [definizione] Semplicemente connesso
## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
## Funtorialità del gruppo fondamentale
* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
* [ ] [definizione] Omotopia puntata
* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
## Dipendenze del gruppo fondamentale
* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
# Spazi contraibili e retratti
## Spazi contraibili
* [ ] [definizione] Spazio contraibile
* [ ] [definizione] Insieme stellato
* [ ] [definizione] Insieme Convesso
* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
## Retratti di Deformazione
* [ ] [definizione] Retratto
* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
* [ ] [definizione] Retratto di deformazione
# Rivestimenti
## Omeomorfismi locali
* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
## Rivestimenti
* [ ] [definizione] Rivestimento
* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
* [ ] [definizione] Fibra
* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
* [ ] [definizione] Rivestimento banale
* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
## Sollevamenti
* [ ] [definizione] Sollevamento
* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
# Azione di Monodromia
* [ ] [definizione] Azione di monodromia
* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
### Sollevamento di mappe qualsiasi
* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
## Applicazioni dell'azione di Monodromia
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
# Teorema di Seifert-Van Kampen
* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
# Calcolo del Gruppo fondamentale
## Gruppo fondamentale del prodotto
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
## Prodotto libero e gruppi liberi
* [ ] [definizione] Prodotto libero
* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
* [ ] [definizione] Gruppo libero
* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
## Prodotto amalgamato
* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
## Presentazioni di gruppi
* [ ] [definizione] Presentazione
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
## Rango
* [ ] [definizione] Rango
## Gruppi fondamentali di proiettivi
* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
## Gruppi fondamentali di superfici
### Toro
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
### Superfici con dato genere
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
# Rivestimento Universale
* [ ] [definizione] Rivestimento universale
* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
### Isomorfismi di rivestimenti
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
* [ ] [definizione] Rivestimento regolare
* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam

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# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
* [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
* [ ] [definizione] Derivate parziali
* [ ] [definizione] Coniugio
* [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
* [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
# Funzioni olomorfe
* [ ] [definizione] Funzione olomorfa
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
* [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
# Analitiche
## Serie di potenze
* [ ] [definizione] Serie di potenze
* [ ] [definizione] Funzione analitica
* [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
* [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
* [ ] [**teorema**] Serie derivata
## Ordine di annullamento
* [ ] [definizione] Ordine di annullamento
* [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
# Esponenziale e logaritmo complessi
## Esponenziale complesso
* [ ] [definizione] Esponenziale complesso
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
## Logaritmo complesso
* [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
* [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
* [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
* [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
* [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
* [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
# 1-Forme complesse
* [ ] [definizione] 1-forma continua
* [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
## Integrazione di 1-forme
* [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
* [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
* [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
* [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
* [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
* [ ] [definizione] Dominio
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
## Primitive lungo curve e lungo omotopie
* [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
* [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
* [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
* [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
## Forme chiuse da funzioni olomorfe
* [ ] [**teorema**] Gauss-Green
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
* [ ] [**teorema**] Cauchy
* [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
* [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
* [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
* [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
## Olomorfa implica analitica
* [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
* [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
# Applicazioni
## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
* [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
## Principio della media
* [ ] [definizione] Propriet\`a della media
* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
* [ ] [**teorema**] Principio della media
## Principio del massimo
* [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
* [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
# Singolarit\`a
* [ ] [definizione] Singolarit\`a
* [ ] [definizione] Corona
## Serie di Laurent
* [ ] [definizione] Serie di Laurent
* [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
* [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
## Tipi di singolarit\`a
* [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
* [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
* [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
# Funzioni meromorfe e Residui
* [ ] [definizione] Funzione meromorfa
* [ ] [definizione] Residuo
* [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
* [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
## Derivata Logaritmica
* [ ] [definizione] Derivata logaritmica
* [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
* [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica

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# Spazi proiettivi e nozioni introduttive
## Spazio proiettivo
* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
## Trasformazioni Proiettive
* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
## Sottospazi proiettivi
* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
## Riferimenti proiettivi
* [ ] [definizione] Punti indipendenti
* [ ] [definizione] Posizione generale
* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
* [ ] [definizione] Base normalizzata
* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
## Coordinate omogenee
* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini
## Carte affini
* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
* [ ] [definizione] Carta affine
* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
* [ ] [definizione] Carta affine
* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
* [ ] [**proposizione**] Parte affine
* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
# Approfondimento sulle proiettivit\`a
## Prospettivit\`a
* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a
* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
## Trasformazioni lineari fratte
* [ ] [definizione] Infinito
* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
# Dualit\`a
* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
* [ ] [definizione] Riferimento duale
* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
# Birapporto
* [ ] [definizione] Birapporto
* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
# Coniche proiettive
* [ ] [definizione] Conica proiettiva
## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche
* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
## Parte affine e chiusura proiettiva
* [ ] [definizione] Parte affine
* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
## Tangenti
### Intersezioni con rette e riducibilit\`a
* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
### Tangenti
* [ ] [definizione] Retta tangente
* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
## Polarit\`a
* [ ] [definizione] Retta polare
* [ ] [definizione] Conica duale
## Punti reali e punti complessi
* [ ] [definizione] Complessificazione
## Sistemi lineari di coniche
* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
* [ ] [definizione] Punto base

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# Spazi Metrici
* [ ] [definizione] Spazio metrico
* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme
* [ ] [definizione] Norma
* [ ] [definizione] Distanza discreta
* [ ] [definizione] Distanze $p$
* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali
* [ ] [definizione] Embedding isometrico
* [ ] [definizione] Isometria
* [ ] [definizione] Palla aperta
* [ ] [definizione] Continuità in un punto
* [ ] [definizione] Aperto metrico
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue
* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana
# Spazi topologici
* [ ] [definizione] Spazio topologico
* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta
* [ ] [definizione] Topologia cofinita
* [ ] [definizione] Chiuso
* [ ] [definizione] Finezza
## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche:egin{definition
* [ ] [definizione] Limitatezza
* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico ``è limitato"
## La categoria Top
* [ ] [definizione] Funzione continua
* [ ] [definizione] Omeomorfismo
## Chiusura e Parte interna
* [ ] [definizione] Chiusura
* [ ] [definizione] Parte interna
* [ ] [definizione] Frontiera
* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura
* [ ] [definizione] Insieme denso
## Basi e Prebasi
* [ ] [definizione] Topologia generata
* [ ] [definizione] Base topologica
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi
* [ ] [definizione] Prebase topologica
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata
* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità
# Assiomi di Numerabilità e Intorni
## Intorni
* [ ] [definizione] Intorno
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
* [ ] [definizione] Continuità in un punto
* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto
## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità
* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni
* [ ] [definizione] I-numerabilità
* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili
## II-numerabilità e Separabilità
* [ ] [definizione] II-numerabilità
* [ ] [definizione] Separabilità
* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile
## Successioni
* [ ] [definizione] Successione
* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente
* [ ] [definizione] Limite
* [ ] [definizione] Chiuso per successioni
* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni
* [ ] [definizione] Aperto per successioni
* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni
* [ ] [definizione] Continuità per successioni
* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni
# Topologia di sottospazio
* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio
* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua
# Mappe aperte e chiuse
* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse
* [ ] [definizione] Immersione topologica
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi
# Prodotti
* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano
* [ ] [definizione] Diagonale
* [ ] [definizione] Topologia prodotto
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto
* [ ] [definizione] Box topology
* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso
* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico
* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico
## Proiezioni da un prodotto in un fattore
* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto
* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte
## Immersioni dei fattori nel prodotto
* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti
## Topologia della convergenza puntuale
# Assiomi di separazione
* [ ] [definizione] Assiomi di separazione
* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$
* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff
* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
* [ ] [definizione] Regolari e Normali
* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali
* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn
* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni
* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$
# Ricoprimenti fondamentali
* [ ] [definizione] Ricoprimento
* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale
* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni
* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita
# Spazi connessi
* [ ] [definizione] Connessione
* [ ] [definizione] Cammino
* [ ] [definizione] Giunzione
* [ ] [definizione] Connessione per archi
* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso
* [ ] [definizione] Insieme convesso
* [ ] [definizione] Intervallo
* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$
* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso
* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi
## Componenti connesse
* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa
* [ ] [definizione] Componente connessa
* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia
### Locale connessione per archi
* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte
# Compattezza
* [ ] [definizione] Spazio compatto
* [ ] [**teorema**] Alexander debole
* [ ] [**teorema**] Alexander
* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti
* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi
## Sottoinsiemi compatti
* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto
* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi
* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare
* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale
* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse
* [ ] [definizione] Funzione propria
* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse
## Compattezza per prodotti
* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole
* [ ] [**teorema**] Tychonoff
* [ ] [**teorema**] Wallace
## Compattificazione di Alexandroff
* [ ] [definizione] Compattificazione
* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff
* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione
* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff
### Proiezione stereografica
* [ ] [definizione] Proiezione stereografica
## Compattezza in spazi metrici
### Compattezza e assiomi di numerabilità
* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale
* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of
* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of
* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità
### Limitatezza e Completezza
* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati
* [ ] [definizione] Successione di Cauchy
* [ ] [definizione] Spazio completo
* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato
* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato
* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici
### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità
* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue
* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua
* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor
* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio
### Compattezza in $\R^n$
* [ ] [**teorema**] Heine-Borel
* [ ] [**teorema**] Weierstrass
* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$
# Topologia Quoziente
* [ ] [definizione] Spazio quoziente
* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente
* [ ] [definizione] Topologia quoziente
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente
## Passaggio a quoziente e Identificazioni
* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
* [ ] [definizione] Identificazione
* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni
## Insiemi saturi
* [ ] [definizione] Insieme saturo
* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$
* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi
## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet
* [ ] [definizione] Collassamento
* [ ] [definizione] Unione disgiunta
* [ ] [definizione] Bouquet
* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet
* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse
* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori
* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori
# Quozienti per azioni di gruppi
* [ ] [definizione] Azione
* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore
* [ ] [definizione] Azione continua
* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione
## Assiomi di Separazione e Azioni
* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$
* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$
## Domini fondamentali
* [ ] [definizione] Dominio fondamentale
* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale
# Topologia dei Proiettivi
## Caso Reale
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco
## Caso Complesso
* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi
## Variet\`a topologiche
* [ ] [definizione] Variet\`a topologica
# Appendice al capitolo 2
## Esempi e controesempi
### Spazi topologici
### Assiomi di numerabilit\`a
### Prodotti
### Assiomi di separazione
* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey
### Ricoprimenti
### Connessi
### Compattezza
### Quozienti

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## Moti centrali
**Teoria:**
- [x] Definizione campo di forze centrale
- [x] Integrabilità dei moti centrali
- [ ] Legge delle aree
- [ ] Formula di Binet
- [ ] Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento)
- [x] Problema dei due corpi
- [x] Problema diretto di keplero
- [x] Problema inverso di keplero
**Domande:**
- [ ] Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando unorbita è periodica?
- [ ] Problema diretto di keplero
- [ ] Problema inverso di keplero
- [ ] Problema dei due corpi
- [ ] Formula di Binet
- [ ] Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero
- [ ] Definizione e proprietà dell'integrabilità dei moti centrali
## Sistemi di riferimento in moto relativo
- [ ] Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi sistemi di riferimento
- [ ] Potenziale delle forze apparenti
- [ ] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
- [ ] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
- [ ] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare
**Teoria:**
- [x] Formule di Poisson
- [ ] Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità)
- [x] Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso
- [x] Equazioni del moto in riferimenti diversi
**Domande:**
- [x] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
- [x] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
- [x] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare
## Dinamica dei sistemi di N punti materiali
**Teoria:**
- [x] Baricentro
- [x] Teorema di König, versione per sistemi di N punti
- [x] Forze interne e forze esterne
- [x] Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli
- [x] Sistemi equivalenti di vettori applicati
- [x] Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari
- [x] Teorema dell'asse centrale
**Domande:**
- [ ] Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dellasse centrale
- [ ] Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà
- [ ] Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale delle forze di tipo classico
- [ ] Teorema di König, versione per sistemi di N punti
- [ ] Le forze interne ammettono potenziale
- [ ] Parlare dei sistemi equivalenti di vettori applicati
- [ ] Sistemi di vettori applicati
- [ ] Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità
- [ ] Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
- [ ] Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)
## Il corpo rigido
- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
- [ ] Asse istantaneo di rotazione
**Teoria:**
- [ ] Angoli di Eulero
- [x] Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido
- [ ] Velocità angolare e angoli di Eulero
- [x] Asse istantaneo di rotazione
- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
- [ ] Teorema di Chasles
- [x] Operatore di inerzia e prime proprietà
- [x] Scomposizione dell'operatore di inerzia
- [x] Teorema di Huygens-Steiner
- [x] Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia
**Domande:**
- [ ] Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
- [ ] Definizione di operatore di inerzia e prima proprietà fino al teorema di scomposizione.
- [ ] Huygens-Steiner e un esempio di applicazione
- [ ] Huygens-Steiner: un esempio di applicazione
- [ ] Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo
- [ ] Cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
## Sistemi vincolati
**Teoria:**
- [ ] Studio del moto vincolato: base di Frenet
- [ ] Varietà e spazi tangenti
- [ ] Fibrato Tangente
- [x] Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema
- [x] Velocità lagrangiane e velocità virtuali
- [x] Vicoli olonomi e analonomi
**Domande:**
- [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
- [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
- [ ] Vincoli ideali
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## Le equazioni cardinali della dinamica
- [ ] Equazioni di Eulero
- [ ] Definizione di equilibrio stabile; come interpreti questa definizione per gli
equilibri stabili della lagrangiana?
- [ ] Equazioni cardinali della dinamica
- [ ] Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati)
**Teoria:**
- [x] Equazioni Cardinali
- [x] Equazioni di Eulero
- [x] Moti di Eulero-Poinsot
- [x] Caso simmetria sferica ($I_1 = I_2 = I_3$)
- [x] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$)
- [ ] Caso generico ($I_1 > I_2 > I_3$)
- [x] Definizione di equilibrio stabile ed instabile
**Domande:**
- [ ] Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana?
- [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
- [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
- [ ] Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
- [ ] Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$), le varie proprietà
- [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)
## Equazioni di Lagrange
- [ ] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di DAlembert
- [ ] energia potenziale generalizzata delle forze apparenti, lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
- [ ] principio di dAlembert e definizione di forze generalizzate. Calcolo di questultime nel caso dellasta ruotante
- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un asta appesa allorigine di un piano
$Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno allasse $y$, e dare unidea di calcolo dellenergia potenziale di tali forze
- [ ] Potenziali generalizzati
**Teoria:**
- [x] Vincoli ideali e principio di DAlembert
- [x] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di DAlembert (prop. 60)
- [x] Sistemi Lagrangiani (definizione)
- [x] Forze conservative e Lagrangiana
- [x] Energia potenziale generalizzata
- [ ] Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti
**Domande:**
- [x] Forze generalizzate nel caso dellasta ruotante, calcolarle.
- [ ] lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
- [ ] Dire quali sono le forze in gioco di un asta appesa allorigine di un piano $Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno allasse $y$, e dare unidea di calcolo dellenergia potenziale di tali forze
## Simmetrie ed integrali primi
- [ ] Riduzione di Routh
- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, lesempio è il moto circolare che ha $\rho$ costante)
- [ ] Integrale di Jacobi
**Teoria:**
- [x] Variabili Cicliche e Momento Coniugato
- [x] Integrale di Jacobi è un integrale primo
- [x] Riduzione di Routh
- [ ] Trottola di Lagrange
- [x] Teorema di Noether
**Domande**
- [ ] Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, lesempio è il moto circolare che ha $\rho$ costa- [ ] Campo delle velocità di un corpo rigido
nte)
- [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
- [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)
## Equilibri e stabilità
**Teoria:**
- [x] Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12)
- [x] Linearizzazione attorno ad un equilibrio
- [x] Funzione di Lyapunov
- [x] Lyapounov (enunciato del teorema)
- [x] Teorema di Lagrange-Dirichlet
- [x] Analisi della stabilità
- [x] Piccole oscillazioni
**Domande:**
- [ ] Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
- [ ] Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità
- [ ] Equilibri, Lagrange-Dirichlet
- [ ] Lyapounov (enunciato del teorema)
- [ ] Dimostrare che l'integrale di Jacobi è un integrale primo
- [ ] Piccole oscillazioni
- [ ] Linearizzazione attorno ad un equilibrio

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