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11 KiB

Spazi Metrici

  • [definizione] Spazio metrico
  • [definizione] Distanza punto-insieme
  • [definizione] Norma
  • [definizione] Distanza discreta
  • [definizione] Distanze p
  • [definizione] Distanze p integrali
  • [definizione] Embedding isometrico
  • [definizione] Isometria
  • [definizione] Palla aperta
  • [definizione] Continuità in un punto
  • [definizione] Aperto metrico
  • [teorema] Caratterizzazione delle continue
  • [definizione] Mappa Lipschitziana

Spazi topologici

  • [definizione] Spazio topologico
  • [definizione] Topologie discreta e indiscreta
  • [definizione] Topologia cofinita
  • [definizione] Chiuso
  • [definizione] Finezza

Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche:egin{definition

  • [definizione] Limitatezza
  • [proposizione] Ogni spazio metrico ``è limitato"

La categoria Top

  • [definizione] Funzione continua
  • [definizione] Omeomorfismo

Chiusura e Parte interna

  • [definizione] Chiusura
  • [definizione] Parte interna
  • [definizione] Frontiera
  • [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
  • [proposizione] Caratterizzazione della chiusura
  • [definizione] Insieme denso

Basi e Prebasi

  • [definizione] Topologia generata
  • [definizione] Base topologica
  • [proposizione] Caratterizzazione delle basi
  • [definizione] Prebase topologica
  • [teorema] Caratterizzazione della topologia generata
  • [proposizione] Criterio per continuità

Assiomi di Numerabilità e Intorni

Intorni

  • [definizione] Intorno
  • [proposizione] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
  • [definizione] Continuità in un punto
  • [proposizione] Continua equivale a continua in ogni punto

Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità

  • [definizione] Sistema fondamentale di intorni
  • [definizione] I-numerabilità
  • [proposizione] Gli spazi metrici sono I-numerabili

II-numerabilità e Separabilità

  • [definizione] II-numerabilità
  • [definizione] Separabilità
  • [teorema] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
  • [proposizione] II-numerabile implica I-numerabile

Successioni

  • [definizione] Successione
  • [definizione] Definitivamente e Frequentemente
  • [definizione] Limite
  • [definizione] Chiuso per successioni
  • [proposizione] Chiusura e Chiusura per successioni
  • [definizione] Aperto per successioni
  • [proposizione] Parte interna e Parte interna per successioni
  • [definizione] Continuità per successioni
  • [proposizione] Continuità e Continuità per successioni

Topologia di sottospazio

  • [definizione] Topologia di sottospazio
  • [proposizione] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
  • [proposizione] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
  • [proposizione] Proprietà universale della topologia di sottospazio
  • [proposizione] Restrizione di continua è continua

Mappe aperte e chiuse

  • [definizione] Mappe aperte e chiuse
  • [definizione] Immersione topologica
  • [proposizione] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi

Prodotti

  • [definizione] Prodotto cartesiano
  • [definizione] Diagonale
  • [definizione] Topologia prodotto
  • [proposizione] Caratterizzazione della topologia prodotto
  • [definizione] Box topology
  • [proposizione] Prodotto di chiusi è chiuso
  • [proposizione] Prodotto finito di metrici è metrico
  • [proposizione] Prodotto numerabile di metrici è metrico

Proiezioni da un prodotto in un fattore

  • [teorema] Proprietà universale del prodotto
  • [teorema] Le proiezioni sono aperte

Immersioni dei fattori nel prodotto

  • [proposizione] Immersioni dei fattori nei prodotti

Topologia della convergenza puntuale

Assiomi di separazione

  • [definizione] Assiomi di separazione
  • [proposizione] Gli spazi metrici sono Hausdorff
  • [proposizione] Caratterizzazione degli spazi T_1
  • [proposizione] Caratterizzazione degli spazi T_2
  • [teorema] Unicità del limite per Hausdorff
  • [proposizione] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
  • [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
  • [definizione] Regolari e Normali
  • [proposizione] Spazi metrici sono normali
  • [proposizione] Lemma di Urysohn
  • [proposizione] Ereditarietà per sottospazi di T_3 e T_4
  • [proposizione] Caratterizzazione di T_3 con intorni
  • [proposizione] Prodotti di T_3 sono T_3

Ricoprimenti fondamentali

  • [definizione] Ricoprimento
  • [definizione] Ricoprimento fondamentale
  • [teorema] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
  • [teorema] Incollamento delle funzioni
  • [definizione] Famiglia localmente finita

Spazi connessi

  • [definizione] Connessione
  • [definizione] Cammino
  • [definizione] Giunzione
  • [definizione] Connessione per archi
  • [teorema] Spazio connesso per archi è connesso
  • [definizione] Insieme convesso
  • [definizione] Intervallo
  • [teorema] Connessi su \R
  • [proposizione] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
  • [proposizione] Continue preservano connessione
  • [teorema] Prodotto finito di connessi è connesso
  • [teorema] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi

Componenti connesse

  • [proposizione] Unione di connessi che si intersecano è connessa
  • [definizione] Componente connessa
  • [definizione] Componenti connesse per archi
  • [proposizione] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
  • [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia

Locale connessione per archi

  • [proposizione] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
  • [teorema] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
  • [proposizione] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
  • [proposizione] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte

Compattezza

  • [definizione] Spazio compatto
  • [teorema] Alexander debole
  • [teorema] Alexander
  • [teorema] Continue mandano compatti in compatti
  • [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
  • [proposizione] Formulazione di compattezza con i chiusi

Sottoinsiemi compatti

  • [teorema] Un chiuso di un compatto è compatto
  • [teorema] Compatti in Hausdorff sono chiusi
  • [proposizione] Compatto Hausdorff è regolare
  • [teorema] Compatto Hausdorff è normale
  • [teorema] Continue da compatto a T_2 sono chiuse
  • [definizione] Funzione propria
  • [proposizione] Proprie a immagine in loc.cpt T_2 sono chiuse

Compattezza per prodotti

  • [teorema] Tychonoff debole
  • [teorema] Tychonoff
  • [teorema] Wallace

Compattificazione di Alexandroff

  • [definizione] Compattificazione
  • [definizione] Compattificazione di Alexandroff
  • [teorema] La compattificazione di Alexandroff `e una compattificazione
  • [teorema] Unicità della compattificazione di Alexandroff

Proiezione stereografica

  • [definizione] Proiezione stereografica

Compattezza in spazi metrici

Compattezza e assiomi di numerabilità

  • [definizione] Compattezza sequenziale
  • [definizione] Spazio Lindel"of
  • [proposizione] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
  • [proposizione] II-numerabile implica Lindel"of
  • [proposizione] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
  • [proposizione] Compattezza e Numerabilità

Limitatezza e Completezza

  • [proposizione] Compatti in metrico sono limitati
  • [definizione] Successione di Cauchy
  • [definizione] Spazio completo
  • [proposizione] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
  • [definizione] Spazio totalmente limitato
  • [proposizione] Totalmente limitato implica limitato
  • [proposizione] Totalmente limitato implica II-numerabile
  • [teorema] Caratterizzazione di compattezza per metrici

Numero di Lebesgue e Uniforme continuità

  • [definizione] Numero di Lebesgue
  • [teorema] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
  • [definizione] Funzione uniformemente continua
  • [teorema] Heine-Cantor
  • [teorema] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio

Compattezza in \R^n

  • [teorema] Heine-Borel
  • [teorema] Weierstrass
  • [teorema] Equivalenza delle norme su \R^n

Topologia Quoziente

  • [definizione] Spazio quoziente
  • [proposizione] Esistenza e unicit`a dello spazio quoziente
  • [definizione] Topologia quoziente
  • [teorema] Caratterizzazione della topologia quoziente

Passaggio a quoziente e Identificazioni

  • [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
  • [definizione] Identificazione
  • [teorema] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
  • [proposizione] Criterio sufficiente per definire identificazioni

Insiemi saturi

  • [definizione] Insieme saturo
  • [proposizione] Gli f-$saturi sono le preimmagini tramite $f
  • [proposizione] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi

Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet

  • [definizione] Collassamento
  • [definizione] Unione disgiunta
  • [definizione] Bouquet
  • [proposizione] I fattori si immergono nel bouquet
  • [proposizione] T_1 passa al bouquet e immersioni sono chiuse
  • [proposizione] T_2 passa al bouquet
  • [proposizione] Bouquet `e compatto se e solo se lo sono i fattori
  • [proposizione] Bouquet `e connesso se e solo se lo sono i fattori

Quozienti per azioni di gruppi

  • [definizione] Azione
  • [definizione] Orbita e stabilizzatore
  • [definizione] Azione continua
  • [proposizione] Proiezioni per quozienti per azione

Assiomi di Separazione e Azioni

  • [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
  • [teorema] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su T_2
  • [teorema] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
  • [teorema] Criterio sufficiente per quoziente per azione T_2

Domini fondamentali

  • [definizione] Dominio fondamentale
  • [teorema] Localmente compatto con dominio fondamentale

Topologia dei Proiettivi

Caso Reale

  • [teorema] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
  • [teorema] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco

Caso Complesso

  • [proposizione] Le carte affini sono omeomorfismi

Variet`a topologiche

  • [definizione] Variet`a topologica

Appendice al capitolo 2

Esempi e controesempi

Spazi topologici

Assiomi di numerabilit`a

Prodotti

Assiomi di separazione

  • [definizione] Retta di Sorgenfrey

Ricoprimenti

Connessi

Compattezza

Quozienti