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# DOMANDE ORALI MECCANICA RAZIONALE

## Moti centrali

- [ ]  Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
- [ ]  Problema diretto di keplero
- [ ]  Problema inverso di keplero
- [ ]  Problema dei due corpi
- [ ]  Formula di Binet
- [ ]  Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero
- [ ]  Definizione e proprietà dell'integrabilità dei moti centrali

## Sistemi di riferimento in moto relativo

- [ ] Definizione di velocità angolare, formule di Poisson, derivata in diversi sistemi di riferimento
- [ ] Potenziale delle forze apparenti
- [ ] Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
- [ ] Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
- [ ] Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare

## Dinamica dei sistemi di N punti materiali

- [ ] Equazioni di Eulero
- [ ]  Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
- [ ]  Definizione di forze interne di tipo classico e prime proprietà
- [ ]  Forze conservative e energia potenziale; forze interne di tipo classico; i sistemi di forze di tipo classico hanno risultante nulla; energia potenziale delle forze di tipo classico
- [ ]  Teorema di König, versione per sistemi di N punti
- [ ]  Le forze interne ammettono potenziale
- [ ]  Parlare dei sistemi equivalenti di vettori applicati
- [ ]  Sistemi di vettori applicati
- [ ]  Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
- [ ]  Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)

## Il corpo rigido

- [ ] Moto per inerzia (una panoramica di tutti i risultati)
- [ ]  Definizione di operatore di inerzia e prime proprietà, cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
- [ ]  Asse istantaneo di rotazione
- [ ]  Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
- [ ]  Definizione di operatore di inerzia e prima proprietà fino al teorema di scomposizione.
- [ ]  Huygens-Steiner e un esempio di applicazione
- [ ]  Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo
- [ ]  Cosa sono i momenti principali di inerzia e in cosa è utile per lo studio del moto di un corpo rigido
- [ ]  Campo delle velocità di un corpo rigido

## Sistemi vincolati

- [ ] Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
- [ ] In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
- [ ] Vincoli ideali
- [ ] Dimostrare che il vincolo di rigidità di un corpo rigido è un vincolo olonomo e ideale

## Le equazioni cardinali della dinamica

- [ ] Definizione di equilibrio stabile; come interpreti questa definizione per gli
equilibri stabili della lagrangiana?
- [ ] Equazioni cardinali della dinamica
- [ ] Equazioni di Eulero
- [ ] Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
- [ ] Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
- [ ]  Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
- [ ]  Caso simmetria giroscopica ($I_1 = I_2 \neq I_3$), le varie proprietà
- [ ] Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)


## Equazioni di Lagrange

- [ ] Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert
- [ ] energia potenziale generalizzata delle forze apparenti, lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
- [ ]  principio di d’Alembert e definizione di forze generalizzate. Calcolo di quest’ultime nel caso dell’asta ruotante
- [ ]  Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano
$Oxy$ (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse $y$, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze
- [ ] Potenziali generalizzati

## Simmetrie ed integrali primi

- [ ] Riduzione di Routh
- [ ]  Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha $\rho$ costante)
- [ ] Integrale di Jacobi
- [ ] Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
- [ ] Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)

## Equilibri e stabilità

- [ ]  Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
- [ ]  Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità
- [ ]  Equilibri, Lagrange-Dirichlet
- [ ]  Lyapounov (enunciato del teorema)
- [ ]  Dimostrare che l'integrale di Jacobi è un integrale primo
- [ ]  Piccole oscillazioni
- [ ]  Linearizzazione attorno ad un equilibrio