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Luca Lombardo
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# Elenco argomenti di Geometria 2
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* [Geometria Proiettiva](proiettiva.md)
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* [Topologia Generale](topologia.md)
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* [Topologia Algebrica](algebrica.md)
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* [Analisi Complessa](complessa.md)
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* [Domande Orali](orali-g2)
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> Prese dall'elenco di [Francesco Minnoci](https://bachoseven.com/maths/orali-g2/))
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# La categoria hTop
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- [ ] [definizione] Omotopia
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- [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
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- [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
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- [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
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- [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
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## Funtore delle componenti connesse per archi
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- [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
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# Gruppo fondamentale
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## Omotopia di cammini
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- [ ] [definizione] Omotopia di cammini
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## Gruppo Fondamentale
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- [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
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- [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
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- [ ] [definizione] Semplicemente connesso
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## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
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- [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
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- [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
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- [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
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## Funtorialità del gruppo fondamentale
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- [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
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- [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
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- [ ] [definizione] Omotopia puntata
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- [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
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## Dipendenze del gruppo fondamentale
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- [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
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- [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
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# Spazi contraibili e retratti
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## Spazi contraibili
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- [ ] [definizione] Spazio contraibile
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- [ ] [definizione] Insieme stellato
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- [ ] [definizione] Insieme Convesso
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- [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
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## Retratti di Deformazione
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- [ ] [definizione] Retratto
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- [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
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- [ ] [definizione] Retratto di deformazione
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# Rivestimenti
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## Omeomorfismi locali
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- [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
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- [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
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## Rivestimenti
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- [ ] [definizione] Rivestimento
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- [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
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- [ ] [definizione] Fibra
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- [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
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- [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
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- [ ] [definizione] Rivestimento banale
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- [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
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## Sollevamenti
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- [ ] [definizione] Sollevamento
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- [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
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# Azione di Monodromia
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- [ ] [definizione] Azione di monodromia
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- [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
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### Sollevamento di mappe qualsiasi
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- [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
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## Applicazioni dell'azione di Monodromia
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
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- [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
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# Teorema di Seifert-Van Kampen
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- [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
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# Calcolo del Gruppo fondamentale
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## Gruppo fondamentale del prodotto
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
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## Prodotto libero e gruppi liberi
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- [ ] [definizione] Prodotto libero
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- [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
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- [ ] [definizione] Gruppo libero
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- [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
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## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
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## Prodotto amalgamato
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- [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
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## Presentazioni di gruppi
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- [ ] [definizione] Presentazione
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
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- [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
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## Rango
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- [ ] [definizione] Rango
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## Gruppi fondamentali di proiettivi
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- [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
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- [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
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## Gruppi fondamentali di superfici
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### Toro
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
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### Superfici con dato genere
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
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- [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
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- [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
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# Rivestimento Universale
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- [ ] [definizione] Rivestimento universale
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- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
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- [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
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- [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
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## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
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- [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
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- [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
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- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
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### Isomorfismi di rivestimenti
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- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
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- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
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## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
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- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
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- [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
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- [ ] [definizione] Rivestimento regolare
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- [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
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- [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
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- [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
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- [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
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## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
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- [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam
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# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
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- [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
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- [ ] [definizione] Derivate parziali
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- [ ] [definizione] Coniugio
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- [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
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- [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
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# Funzioni olomorfe
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- [ ] [definizione] Funzione olomorfa
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- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
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- [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
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# Analitiche
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## Serie di potenze
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- [ ] [definizione] Serie di potenze
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- [ ] [definizione] Funzione analitica
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- [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
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- [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
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- [ ] [**teorema**] Serie derivata
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## Ordine di annullamento
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- [ ] [definizione] Ordine di annullamento
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- [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
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# Esponenziale e logaritmo complessi
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## Esponenziale complesso
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- [ ] [definizione] Esponenziale complesso
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
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## Logaritmo complesso
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- [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
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- [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
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- [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
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- [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
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- [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
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- [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
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# 1-Forme complesse
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- [ ] [definizione] 1-forma continua
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- [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
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## Integrazione di 1-forme
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- [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
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- [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
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- [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
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- [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
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- [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
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- [ ] [definizione] Dominio
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- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
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## Primitive lungo curve e lungo omotopie
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- [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
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- [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
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- [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
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- [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
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- [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
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## Forme chiuse da funzioni olomorfe
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- [ ] [**teorema**] Gauss-Green
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- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
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- [ ] [**teorema**] Cauchy
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- [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
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# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
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- [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
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- [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
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- [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
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## Olomorfa implica analitica
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- [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
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### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
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- [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
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# Applicazioni
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## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
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- [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
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## Principio della media
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- [ ] [definizione] Propriet\`a della media
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- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
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- [ ] [**teorema**] Principio della media
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## Principio del massimo
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- [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
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- [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
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# Singolarità
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- [ ] [definizione] Singolarit\`a
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- [ ] [definizione] Corona
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## Serie di Laurent
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- [ ] [definizione] Serie di Laurent
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- [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
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- [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
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## Tipi di singolarit\`a
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- [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
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- [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
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- [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
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# Funzioni meromorfe e Residui
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- [ ] [definizione] Funzione meromorfa
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- [ ] [definizione] Residuo
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- [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
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- [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
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## Derivata Logaritmica
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- [ ] [definizione] Derivata logaritmica
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- [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
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- [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica
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+138
@@ -0,0 +1,138 @@
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# Domande Orali di Geometria 2
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## Proiettiva
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- [ ] Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
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- [ ] Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità
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- [ ] Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
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- [ ] Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
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- [ ] Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
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- [ ] Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre
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- [ ] Principio di dualità
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- [ ] Cosa è un sistema lineare di coniche
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- [ ] Parlare di rette polari e coniche duali
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- [ ] Se ho un punto che passa per una sola retta polare rispetto ad una conica non genere cosa sai dire su P?
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## Topologia
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- [ ] Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile
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- [ ] controesempio quando il prodotto é più che numerabile
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- [ ] Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
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- [ ] Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
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- [ ] CPA $\implies$ connesso
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- [ ] $[0,1]$ connesso
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- [ ] Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
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- [ ] Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
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- [ ] Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
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- [ ] Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
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- [ ] Esempio di un connesso non connesso per archi
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- [ ] $Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
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- [ ] Determinare chiusura dell'insieme $\\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\\{0\\} \times (]0,1[ \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
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- [ ] Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
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- [ ] In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi
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- [ ] Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
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- [ ] $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?
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- [ ] Prodotto di due spazi compatti è compatto
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- [ ] Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
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- [ ] Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi
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- [ ] connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi
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- [ ] la connessione per archi è relazione di equivalenza
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- [ ] Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
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- [ ] Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
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- [ ] Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
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- [ ] Compattezza in spazi metrici.
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||||
- [ ] $X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$.
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- [ ] Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica?
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||||
È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
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||||
- [ ] Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
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- [ ] X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
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- [ ] Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti.
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- [ ] Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente...
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Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
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- [ ] Spazio delle matrici $n\times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?\*
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- [ ] spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione
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## Algebrica
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- [ ] Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
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- [ ] Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
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- [ ] $\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
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- [ ] Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2 \setminus\{0\}$ su $(\mathbb{R}_2 \setminus\{0\})/G$.
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- [ ] Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
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- [ ] Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
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- [ ] Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$
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- [ ] Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
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- [ ] O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
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- [ ] Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
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- [ ] Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale
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- [ ] Parlami delle azione propriamente discontinue, facendo esempi, e dimmi come sono legate nella teoria dei rivestimenti
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- [ ] Definizione di automorfismo di un rivestimento e mostra che ha azione libera
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- [ ] Legame tra uno spazio contraibile e il retratto di deformazione
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- [ ] Uno spazio che si retrae per deformazione ad un suo punto è contraibile, non vale il viceversa. Fai esempio (pettine infinito)
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- [ ] Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
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- [ ] Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
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- [ ] Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
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- [ ] Calcolare n-proiettivo reale
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- [ ] Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
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- [ ] Esempio di rivestimento non regolare
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- [ ] Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
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- [ ] Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $\pi_1(E)$ è normale
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- [ ] Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
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- [ ] Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
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- [ ] Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
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- [ ] Automorfismi del disco
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- [ ] Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
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- [ ] Gruppo fondamentale del toro
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- [ ] Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
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- [ ] Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
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- [ ] Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
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- [ ] $\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
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- [ ] Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
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- [ ] Chi è il rivestimento universale del toro?
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- [ ] Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
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- [ ] Definizione di Rivestimento
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- [ ] Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
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- [ ] Teorema fondamentale dell’Algebra.
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- [ ] Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).
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||||
- [ ] $\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
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- [ ] Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
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- [ ] Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?
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## Complessa
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- [ ] Zeri di funzioni olomorfe
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- [ ] Teorema di Rouché.
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- [ ] Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
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- [ ] Olomorfa $\implies$analitica
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- [ ] Definizione funzione olomorfa.
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- [ ] Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
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- [ ] Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
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- [ ] Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
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- [ ] Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
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- [ ] definizioni funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe.
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- [ ] Dimostrazione teorema di Weiestrass
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- [ ] Liouville
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- [ ] Definizione indice di avvolgimento.
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- [ ] Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
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- [ ] Olomorfa $\implies$ Analitica
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- [ ] Principio del massimo modulo
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- [ ] Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
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- [ ] Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
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- [ ] Olomorfa sse analitica
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- [ ] $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
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- [ ] Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a\cdot f(z)/z$?
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- [ ] $f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
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- [ ] Derivata logaritmica
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- [ ] Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue
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- [ ] accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
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- [ ] Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
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- [ ] Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
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- [ ] Equazione di Cauchy-Riemann.
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- [ ] Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
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- [ ] Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
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- [ ] Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
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- [ ] Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
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- [ ] Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
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- [ ] Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
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- [ ] Teorema di Riemann-Weierstrass.
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- [ ] Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).
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@@ -0,0 +1,122 @@
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# Spazi proiettivi e nozioni introduttive
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## Spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Spazio Proiettivo
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* [ ] [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo standard
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## Trasformazioni Proiettive
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* [ ] [definizione] Trasformazione proiettiva
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* [ ] [definizione] Isomorfismo proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a
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## Sottospazi proiettivi
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* [ ] [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo
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* [ ] [definizione] Iperpiano proiettivo
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* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
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* [ ] [definizione] Sottospazio proiettivo generato
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* [ ] [**proposizione**] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
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* [ ] [**teorema**] Formula di Grassmann proiettiva
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## Riferimenti proiettivi
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* [ ] [definizione] Punti indipendenti
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* [ ] [definizione] Posizione generale
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo
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* [ ] [definizione] Base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a della base normalizzata
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* [ ] [**teorema**] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
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* [ ] [**teorema**] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
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## Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Riferimento proiettivo canonico
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* [ ] [definizione] Coordinate omogenee
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* [ ] [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
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* [ ] [definizione] Equazioni cartesiane proiettive
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# Spazi proiettivi estendono gli spazi affini
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## Carte affini
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* [ ] [definizione] Iperpiano coordinato
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
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* [ ] [definizione] Carta affine
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* [ ] [definizione] Punti propri e impropri
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* [ ] [**proposizione**] Parte affine
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Polinomio omogeneo
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
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* [ ] [**proposizione**] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele
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# Approfondimento sulle proiettivit\`a
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## Prospettivit\`a
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* [ ] [definizione] Prospettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Le prospettivit\`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle prospettivit\`a
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## Corrispondenza tra Affinit\`a e Proiettivit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Affinit\`a come proiettivit\`a
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## Trasformazioni lineari fratte
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* [ ] [definizione] Infinito
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* [ ] [definizione] Trasformazione lineare fratta
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# Dualit\`a
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* [ ] [definizione] Spazio proiettivo duale
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* [ ] [definizione] Riferimento duale
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* [ ] [definizione] Corrispondenza di dualit\`a
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* [ ] [**teorema**] Principio di dualit\`a
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di iperpiani
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* [ ] [definizione] Fascio di iperpiani
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* [ ] [definizione] Proiettivit\`a duale
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# Birapporto
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* [ ] [definizione] Birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Calcolo del birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Proiettivit\`a conservano birapporto
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* [ ] [**proposizione**] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Modulo/j-invariante
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# Coniche proiettive
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* [ ] [definizione] Conica proiettiva
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## Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche
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* [ ] [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit\`a
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* [ ] [definizione] Equivalenza proiettiva
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive complesse
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* [ ] [**teorema**] Classificazione delle coniche proiettive reali
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## Parte affine e chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Parte affine
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* [ ] [definizione] Chiusura proiettiva
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* [ ] [definizione] Punti all'infinito di una conica
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* [ ] [**proposizione**] Coniche per 5 punti
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## Tangenti
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### Intersezioni con rette e riducibilit\`a
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* [ ] [definizione] Componenti e riducibilit\`a
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* [ ] [**proposizione**] Numero di intersezioni tra coniche e rette
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* [ ] [**proposizione**] Non degenere se e solo se irriducible
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### Tangenti
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* [ ] [definizione] Retta tangente
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* [ ] [**proposizione**] Equazione della tangente
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* [ ] [definizione] Tangenti a conica degenere
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## Polarit\`a
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* [ ] [definizione] Retta polare
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* [ ] [definizione] Conica duale
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## Punti reali e punti complessi
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* [ ] [definizione] Complessificazione
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## Sistemi lineari di coniche
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* [ ] [definizione] Sistema lineare di coniche
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* [ ] [definizione] Punto base
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+295
@@ -0,0 +1,295 @@
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# Spazi Metrici
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* [ ] [definizione] Spazio metrico
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* [ ] [definizione] Distanza punto-insieme
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* [ ] [definizione] Norma
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* [ ] [definizione] Distanza discreta
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* [ ] [definizione] Distanze $p$
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* [ ] [definizione] Distanze $p$ integrali
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* [ ] [definizione] Embedding isometrico
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* [ ] [definizione] Isometria
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* [ ] [definizione] Palla aperta
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [definizione] Aperto metrico
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle continue
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* [ ] [definizione] Mappa Lipschitziana
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# Spazi topologici
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* [ ] [definizione] Spazio topologico
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* [ ] [definizione] Topologie discreta e indiscreta
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* [ ] [definizione] Topologia cofinita
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* [ ] [definizione] Chiuso
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* [ ] [definizione] Finezza
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* [ ]
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## Equivalenza topologica di distanze e limitatezza} Consideriamo nuovamente le topologie indotte da metriche
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* [ ] [definizione] Limitatezza
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* [ ] [**proposizione**] Ogni spazio metrico "è limitato"
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## La categoria Top
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* [ ] [definizione] Funzione continua
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* [ ] [definizione] Omeomorfismo
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## Chiusura e Parte interna
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* [ ] [definizione] Chiusura
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* [ ] [definizione] Parte interna
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* [ ] [definizione] Frontiera
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* [ ] [definizione] Punti aderenti e di accumulazione
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della chiusura
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* [ ] [definizione] Insieme denso
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## Basi e Prebasi
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* [ ] [definizione] Topologia generata
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* [ ] [definizione] Base topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle basi
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* [ ] [definizione] Prebase topologica
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia generata
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* [ ] [**proposizione**] Criterio per continuità
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# Assiomi di Numerabilità e Intorni
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## Intorni
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* [ ] [definizione] Intorno
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti/chiusi con intorni
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* [ ] [definizione] Continuità in un punto
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* [ ] [**proposizione**] Continua equivale a continua in ogni punto
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## Sistemi fondamentali di intorni e I-numerabilità
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* [ ] [definizione] Sistema fondamentale di intorni
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* [ ] [definizione] I-numerabilità
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono I-numerabili
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## II-numerabilità e Separabilità
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* [ ] [definizione] II-numerabilità
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* [ ] [definizione] Separabilità
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* [ ] [**teorema**] II-numerabile è separabile e in metrico coincidono
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* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica I-numerabile
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## Successioni
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* [ ] [definizione] Successione
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* [ ] [definizione] Definitivamente e Frequentemente
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* [ ] [definizione] Limite
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* [ ] [definizione] Chiuso per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Chiusura e Chiusura per successioni
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* [ ] [definizione] Aperto per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Parte interna e Parte interna per successioni
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* [ ] [definizione] Continuità per successioni
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* [ ] [**proposizione**] Continuità e Continuità per successioni
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# Topologia di sottospazio
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* [ ] [definizione] Topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Aperto di un aperto e Chiuso di un chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Proprietà universale della topologia di sottospazio
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* [ ] [**proposizione**] Restrizione di continua è continua
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# Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Mappe aperte e chiuse
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* [ ] [definizione] Immersione topologica
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle immersioni topologiche in aperti / chiusi
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# Prodotti
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* [ ] [definizione] Prodotto cartesiano
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* [ ] [definizione] Diagonale
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* [ ] [definizione] Topologia prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione della topologia prodotto
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* [ ] [definizione] Box topology
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto di chiusi è chiuso
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto finito di metrici è metrico
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* [ ] [**proposizione**] Prodotto numerabile di metrici è metrico
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## Proiezioni da un prodotto in un fattore
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* [ ] [**teorema**] Proprietà universale del prodotto
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* [ ] [**teorema**] Le proiezioni sono aperte
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## Immersioni dei fattori nel prodotto
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* [ ] [**proposizione**] Immersioni dei fattori nei prodotti
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## Topologia della convergenza puntuale
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# Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione
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* [ ] [**proposizione**] Gli spazi metrici sono Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_1$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione degli spazi $T_2$
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* [ ] [**teorema**] Unicità del limite per Hausdorff
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* [ ] [**proposizione**] Primi assiomi di separazione sono stabili per sottospazi, prodotti e raffinamenti
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* [ ] [definizione] Assiomi di separazione 3 e 4
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* [ ] [definizione] Regolari e Normali
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* [ ] [**proposizione**] Spazi metrici sono normali
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* [ ] [**proposizione**] Lemma di Urysohn
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* [ ] [**proposizione**] Ereditarietà per sottospazi di $T_3$ e $T_4$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di $T_3$ con intorni
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* [ ] [**proposizione**] Prodotti di $T_3$ sono $T_3$
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# Ricoprimenti fondamentali
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* [ ] [definizione] Ricoprimento
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* [ ] [definizione] Ricoprimento fondamentale
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* [ ] [**teorema**] I ricoprimenti aperti sono fondamentali
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* [ ] [**teorema**] Incollamento delle funzioni
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* [ ] [definizione] Famiglia localmente finita
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# Spazi connessi
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* [ ] [definizione] Connessione
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* [ ] [definizione] Cammino
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* [ ] [definizione] Giunzione
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* [ ] [definizione] Connessione per archi
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* [ ] [**teorema**] Spazio connesso per archi è connesso
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* [ ] [definizione] Insieme convesso
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* [ ] [definizione] Intervallo
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* [ ] [**teorema**] Connessi su $\R$
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* [ ] [**proposizione**] Se un denso è connesso, lo spazio è connesso
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* [ ] [**proposizione**] Continue preservano connessione
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* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi è connesso
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* [ ] [**teorema**] Prodotto finito di connessi per archi è connesso per archi
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## Componenti connesse
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* [ ] [**proposizione**] Unione di connessi che si intersecano è connessa
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* [ ] [definizione] Componente connessa
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* [ ] [definizione] Componenti connesse per archi
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione delle componenti connesse per archi
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* [ ] [definizione] Zero-esimo gruppo di omotopia
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### Locale connessione per archi
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* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi in localmente connesso per archi sono aperte e chiuse
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* [ ] [**teorema**] Connesso localmente connesso per archi è connesso per archi
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* [ ] [**proposizione**] Aperto in localmente connesso per archi è localmente connesso per archi
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* [ ] [**proposizione**] Componenti connesse per archi di aperto in localmente connesso per archi sono aperte
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# Compattezza
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* [ ] [definizione] Spazio compatto
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* [ ] [**teorema**] Alexander debole
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* [ ] [**teorema**] Alexander
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* [ ] [**teorema**] Continue mandano compatti in compatti
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* [ ] [definizione] Proprietà dell'intersezione finita
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* [ ] [**proposizione**] Formulazione di compattezza con i chiusi
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## Sottoinsiemi compatti
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* [ ] [**teorema**] Un chiuso di un compatto è compatto
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* [ ] [**teorema**] Compatti in Hausdorff sono chiusi
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* [ ] [**proposizione**] Compatto Hausdorff è regolare
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* [ ] [**teorema**] Compatto Hausdorff è normale
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* [ ] [**teorema**] Continue da compatto a $T_2$ sono chiuse
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* [ ] [definizione] Funzione propria
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* [ ] [**proposizione**] Proprie a immagine in loc.cpt $T_2$ sono chiuse
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## Compattezza per prodotti
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* [ ] [**teorema**] Tychonoff debole
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* [ ] [**teorema**] Tychonoff
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* [ ] [**teorema**] Wallace
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## Compattificazione di Alexandroff
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* [ ] [definizione] Compattificazione
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* [ ] [definizione] Compattificazione di Alexandroff
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* [ ] [**teorema**] La compattificazione di Alexandroff \`e una compattificazione
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* [ ] [**teorema**] Unicità della compattificazione di Alexandroff
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### Proiezione stereografica
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* [ ] [definizione] Proiezione stereografica
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## Compattezza in spazi metrici
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### Compattezza e assiomi di numerabilità
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* [ ] [definizione] Compattezza sequenziale
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* [ ] [definizione] Spazio Lindel\"of
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* [ ] [**proposizione**] I-numerabile compatto è sequenzialmente compatto
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* [ ] [**proposizione**] II-numerabile implica Lindel\"of
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* [ ] [**proposizione**] Compatto e sequenzialmente compatto coincidono in II-numerabile
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* [ ] [**proposizione**] Compattezza e Numerabilità
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### Limitatezza e Completezza
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* [ ] [**proposizione**] Compatti in metrico sono limitati
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* [ ] [definizione] Successione di Cauchy
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* [ ] [definizione] Spazio completo
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* [ ] [**proposizione**] Cauchy con sottosuccessione convergente è convergente
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* [ ] [definizione] Spazio totalmente limitato
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* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica limitato
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* [ ] [**proposizione**] Totalmente limitato implica II-numerabile
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di compattezza per metrici
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### Numero di Lebesgue e Uniforme continuità
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* [ ] [definizione] Numero di Lebesgue
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* [ ] [**teorema**] Ogni ricoprimento aperto in compatto ammette numero di Lebesgue
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* [ ] [definizione] Funzione uniformemente continua
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* [ ] [**teorema**] Heine-Cantor
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* [ ] [**teorema**] Estensione di uniformemente continua alla chiusura del dominio
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### Compattezza in $\R^n$
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* [ ] [**teorema**] Heine-Borel
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* [ ] [**teorema**] Weierstrass
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* [ ] [**teorema**] Equivalenza delle norme su $\R^n$
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# Topologia Quoziente
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* [ ] [definizione] Spazio quoziente
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* [ ] [**proposizione**] Esistenza e unicit\`a dello spazio quoziente
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* [ ] [definizione] Topologia quoziente
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione della topologia quoziente
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## Passaggio a quoziente e Identificazioni
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* [ ] [definizione] Funzioni ottenute per passaggio a quoziente
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* [ ] [definizione] Identificazione
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* [ ] [**teorema**] Identificazione induce omeomorfismo per quoziente
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* [ ] [**proposizione**] Criterio sufficiente per definire identificazioni
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## Insiemi saturi
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* [ ] [definizione] Insieme saturo
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* [ ] [**proposizione**] Gli $f-$saturi sono le preimmagini tramite $f$
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* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di aperti e chiusi saturi
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## Collassamento, Unione disgiunta e Bouquet
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* [ ] [definizione] Collassamento
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* [ ] [definizione] Unione disgiunta
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* [ ] [definizione] Bouquet
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* [ ] [**proposizione**] I fattori si immergono nel bouquet
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* [ ] [**proposizione**] $T_1$ passa al bouquet e immersioni sono chiuse
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* [ ] [**proposizione**] $T_2$ passa al bouquet
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* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e compatto se e solo se lo sono i fattori
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* [ ] [**proposizione**] Bouquet \`e connesso se e solo se lo sono i fattori
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# Quozienti per azioni di gruppi
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* [ ] [definizione] Azione
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* [ ] [definizione] Orbita e stabilizzatore
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* [ ] [definizione] Azione continua
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* [ ] [**proposizione**] Proiezioni per quozienti per azione
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## Assiomi di Separazione e Azioni
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* [ ] [definizione] Azioni vaganti, propriamente discontinue e proprie
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di azioni propriamente discontinue su $T_2$
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* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione azioni proprie su localmente compatti
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* [ ] [**teorema**] Criterio sufficiente per quoziente per azione $T_2$
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## Domini fondamentali
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* [ ] [definizione] Dominio fondamentale
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* [ ] [**teorema**] Localmente compatto con dominio fondamentale
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# Topologia dei Proiettivi
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## Caso Reale
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* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione antipodale di una sfera
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* [ ] [**teorema**] Proiettivi reali come identificazione sul bordo di disco
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## Caso Complesso
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* [ ] [**proposizione**] Le carte affini sono omeomorfismi
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## Variet\`a topologiche
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* [ ] [definizione] Variet\`a topologica
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# Appendice al capitolo 2
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## Esempi e controesempi
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### Spazi topologici
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### Assiomi di numerabilit\`a
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### Prodotti
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### Assiomi di separazione
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* [ ] [definizione] Retta di Sorgenfrey
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### Ricoprimenti
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### Connessi
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### Compattezza
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### Quozienti
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Reference in New Issue
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