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+Okay, ecco le domande suddivise per categoria, integrando quelle nuove con quelle esistenti e cercando di rimuovere duplicati evidenti o accorparli.
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 # Domande Orali di Geometria 2
 
-## Proiettiva
+## Geometria Proiettiva
 
-- [ ] Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
-- [ ] Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità
-- [ ] Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
-- [ ] Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
-- [ ] Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
-- [ ] Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre
-- [ ] Principio di dualità
-- [ ] Cosa è un sistema lineare di coniche
-- [ ] Parlare di rette polari e coniche duali
-- [ ] Se ho un punto che passa per una sola retta polare rispetto ad una conica non genere cosa sai dire su P?
+- [ ] Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive.
+- [ ] Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità.
+- [ ] Birapporto: definizione, invarianza per proiettività, comportamento scambiando punti.
+- [ ] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive (unicità della proiettività che manda $n+2$ punti in posizione generale in altri $n+2$ punti in posizione generale).
+- [ ] Prendiamo due triple di rette in $P^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre tramite una proiettività?
+- [ ] Principio di dualità in $P(V)$: definizione e bigezione tra sottospazi di $P(V)$ e $P(V^*)$.
+- [ ] Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva algebrica piana $C = V(F)$ di grado $d$ con una retta (che non sia componente di $C$)? (Teorema di Bezout, caso semplice).
+- [ ] Coniche in $P^2(\mathbb{C})$ (o $P^2(\mathbb{R})$): classificazione affine/proiettiva, forma canonica.
+- [ ] Tangenti a coniche in $P^2(\mathbb{C})$: definizione, casi degeneri e non degeneri.
+- [ ] Retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere: definizione e proprietà. Se un punto P sta sulla polare di Q, allora Q sta sulla polare di P. Se un punto P appartiene alla propria retta polare, cosa puoi dire? (P appartiene alla conica). Se un punto P ha un'unica retta polare, cosa puoi dire della conica? (Non degenere).
+- [ ] Coniche duali.
+- [ ] Definizione di fascio lineare di coniche.
+- [ ] Data una retta $r$ e un punto $P \in r$, dimostrare che l’insieme delle coniche in $P^2(\mathbb{C})$ che hanno $r$ come retta tangente in $P$ forma un sistema lineare (sottospazio proiettivo).
+- [ ] A cosa è omeomorfo $P^1(\mathbb{C})$? ($S^2$). E $P^1(\mathbb{R})$? ($S^1$).
 
-## Topologia
+## Topologia Generale
 
-- [ ] Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile
-- [ ] controesempio quando il prodotto é più che numerabile
-- [ ] Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
-- [ ] Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
-- [ ] CPA $\implies$ connesso
-- [ ] $[0,1]$ connesso
-- [ ] Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
-- [ ] Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
-- [ ] Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
-- [ ] Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
-- [ ] Esempio di un connesso non connesso per archi
-- [ ] $Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
-- [ ] Determinare chiusura dell'insieme $\\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\\{0\\} \times (]0,1[  \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
-- [ ] Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
-- [ ] In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi
-- [ ] Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
-- [ ] $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?
-- [ ] Prodotto di due spazi compatti è compatto
-- [ ] Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
-- [ ] Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi
-- [ ] connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi
-- [ ] la connessione per archi è relazione di equivalenza
-- [ ] Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
-- [ ] Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
-- [ ] Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
-- [ ] Compattezza in spazi metrici.
-- [ ] $X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$.
-- [ ] Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica?
-      È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
-- [ ] Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
-- [ ] X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
-- [ ] Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti.
-- [ ] Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente...
-      Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
-- [ ] Spazio delle matrici $n\times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?\*
-- [ ] spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione
+- [ ] Assiomi di separazione (T0, T1, T2, T3, T4, Regolare, Normale): definizioni, implicazioni (es. Metrico $\implies$ T4 $\implies$ T3 $\implies$ T2 $\implies$ T1). Fornire controesempi per le implicazioni non valide (es. T2 non implica T3, T3 non implica T4 se non T1).
+- [ ] Spazio metrico implica normale ($T_4$) e primo numerabile. Dimostrare una delle due.
+- [ ] Prodotto numerabile di spazi metrizzabili è metrizzabile. Fornire un controesempio se il prodotto è più che numerabile (es. $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ non è primo numerabile).
+- [ ] Spazi separabili: definizione, implicazioni (es. Metrico + Separabile $\implies$ Secondo Numerabile).
+- [ ] Un esempio di spazio T2 (Hausdorff) con un quoziente non T2. Un esempio di quoziente T2 ottenuto da un'azione di gruppo (libera e propriamente discontinua) su uno spazio T2.
+- [ ] Spazio delle matrici $n\times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $GL_n(\mathbb{R})$. Lo spazio quoziente è T1? È T2? (Non è T1 e quindi neanche T2 in generale, le orbite non sono chiuse eccetto casi particolari).
+- [ ] Connessione e connessione per archi: definizioni e relazione. CPA $\implies$ Connesso (dimostrazione). Fornire un esempio di spazio connesso ma non connesso per archi (es. seno del topologo $\overline{\sin(1/x)}$).
+- [ ] $X$ connesso + localmente connesso per archi $\implies$ $X$ connesso per archi.
+- [ ] Le componenti connesse per archi formano una partizione. La relazione "essere connessi per archi" è di equivalenza.
+- [ ] Dimostrare che $[0,1]$ è connesso.
+- [ ] Prodotto (arbitrario) di spazi connessi è connesso.
+- [ ] Se $Y$ è connesso e $Y \subseteq Z \subseteq \overline{Y}$, allora $Z$ è connesso.
+- [ ] In $\mathbb{R}^n$, connesso $\iff$ connesso per archi. Un aperto connesso di $\mathbb{R}^n$ è connesso per archi.
+- [ ] Compattezza: definizione (ricoprimenti aperti). Relazione con la compattezza per successioni: per quali spazi coincidono? (Es. Spazi metrici, spazi primo numerabili). Dimostrare che Compatto $\implies$ Compatto per successioni in spazi primo numerabili.
+- [ ] Caratterizzazione della compattezza negli spazi metrici: compatto $\iff$ completo e totalmente limitato. Dimostrare un'implicazione (es. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato).
+- [ ] Spazio metrico compatto $\implies$ limitato e chiuso (se sottospazio di uno spazio metrico). Fornire un controesempio a: metrico completo e limitato $\implies$ compatto (es. spazio metrico discreto infinito).
+- [ ] Sottospazio compatto di uno spazio $T_2$ (Hausdorff) è chiuso. Fornire un controesempio se lo spazio ambiente non è $T_2$.
+- [ ] Spazio $T_2$ e compatto $\implies$ $T_4$ (normale).
+- [ ] Prodotto di due (o finiti) spazi compatti è compatto (Teorema di Tychonoff per il caso finito). Se $X \times Y$ è compatto, sono $X$ e $Y$ compatti? (Sì, proiezioni sono continue). La compattezza si può testare su una base della topologia?
+- [ ] Definizione di topologia quoziente. Caratterizzazione degli aperti/chiusi/funzioni continue.
+- [ ] Esempio: $X = \mathbb{R}$, $x \sim y \iff (x-y) \in \mathbb{Q}$. Descrivere la topologia quoziente. (Topologia indiscreta).
+- [ ] Descrivere come ottenere $P^n(\mathbb{R})$ come quoziente di $S^n$ o di $D^n$.
+- [ ] Funzioni proprie: definizione. Quando una funzione propria è chiusa? (Se lo spazio di arrivo è $k$-spazio, o localmente compatto e T2).
+- [ ] La proiezione $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $\pi_1(x,y)=x$, è aperta? Chiusa? Propria? (Aperta sì, chiusa no, propria no).
+- [ ] Sia $X$ uno spazio normale ($T_4$), $C \subseteq X$ un sottoinsieme discreto e chiuso, $D \subseteq X$ un sottoinsieme denso. Dimostrare che $|\mathcal{P}(C)| \le |\mathcal{P}(D)|$.
+- [ ] Dato $X \subseteq \mathbb{R}$, definiamo il cono $C(X) = (X \times [0,1]) / (X \times \{0\})$ e $D(X) = \{tx + (1-t)(0,1) \mid t \in [0,1], x \in X\} \subseteq \mathbb{R}^2$. Trovare condizioni affinché $C(X)$ e $D(X)$ siano omeomorfi (es. $X$ compatto). Trovare un $X$ per cui non sono omeomorfi (es. $X=\mathbb{Z}$, $C(\mathbb{Z})$ non è primo numerabile al vertice).
+- [ ] Consideriamo la striscia chiusa $S = [0, 1] \times \mathbb{R}$ in $\mathbb{R}^2$ e quozientiamola con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Che spazio topologico si ottiene? È una varietà topologica? È compatto? È connesso? (Nastro di Möbius).
+- [ ] Descrivere la topologia su $X = [0, 1)$ con base: $(a, b)$ per $0<a<b<1$, e $[0, a)\cup(b, 1)$ per $0 < a < b < 1$.
+- [ ] Determinare chiusura e bordo in $\mathbb{R}^2$ degli insiemi $A=\{0\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ e $B=\{0\} \times (]0,1[ \cap \mathbb{Q})$.
 
-## Algebrica
+## Topologia Algebrica
 
-- [ ] Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
-- [ ] Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
-- [ ] $\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
-- [ ] Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2 \setminus\{0\}$ su $(\mathbb{R}_2 \setminus\{0\})/G$.
-- [ ] Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
-- [ ] Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
-- [ ] Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$
-- [ ] Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
-- [ ] O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
-- [ ] Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
-- [ ] Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale
-- [ ] Parlami delle azione propriamente discontinue, facendo esempi, e dimmi come sono legate nella teoria dei rivestimenti
-- [ ] Definizione di automorfismo di un rivestimento e mostra che ha azione libera
-- [ ] Legame tra uno spazio contraibile e il retratto di deformazione
-- [ ] Uno spazio che si retrae per deformazione ad un suo punto è contraibile, non vale il viceversa. Fai esempio (pettine infinito)
-- [ ] Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
-- [ ] Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
-- [ ] Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
-- [ ] Calcolare n-proiettivo reale
-- [ ] Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
-- [ ] Esempio di rivestimento non regolare
-- [ ] Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
-- [ ] Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $\pi_1(E)$ è normale
-- [ ] Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
-- [ ] Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
-- [ ] Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
-- [ ] Automorfismi del disco
-- [ ] Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
-- [ ] Gruppo fondamentale del toro
-- [ ] Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
-- [ ] Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
-- [ ] Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
-- [ ] $\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
-- [ ] Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
-- [ ] Chi è il rivestimento universale del toro?
-- [ ] Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
-- [ ] Definizione di Rivestimento
-- [ ] Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
-- [ ] Teorema fondamentale dell’Algebra.
-- [ ] Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).
-- [ ] $\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
-- [ ] Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
-- [ ] Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?
+- [ ] Gruppo fondamentale ($\pi_1(X, x_0)$): definizione (classi di omotopia di lacci), struttura di gruppo, indipendenza dal punto base (se $X$ è connesso per archi).
+- [ ] Omotopia di mappe: definizione. Se $f \simeq g: X \to Y$, relazione tra le mappe indotte $f_*, g_* : \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, f(x_0))$ (sono coniugate tramite l'isomorfismo indotto dal cammino tra $f(x_0)$ e $g(x_0)$).
+- [ ] Spazi contraibili: definizione. Uno spazio contraibile è semplicemente connesso ($\pi_1 = \{e\}$). Se $X$ è contraibile, ogni suo punto $x_0$ è un retratto per deformazione? (Sì). Viceversa, se $x_0$ è retratto per deformazione di $X$, $X$ è contraibile? (Sì). Esempio di spazio contraibile il cui punto base _non_ è un retratto forte per deformazione (pettine infinito contratto alla base).
+- [ ] Retrazione e retrazione per deformazione: definizioni. Proprietà indotte sui gruppi fondamentali (retrazione $\implies f_*$ suriettiva, $i_*$ iniettiva; retr. per deformazione $\implies f_*$ e $i_*$ sono isomorfismi inversi).
+- [ ] Conseguenze: Teorema del punto fisso di Brouwer (idea della dimostrazione tramite non esistenza di retrazione $D^n \to S^{n-1}$). La sfera $S^n$ non è contraibile. Non esiste retrazione $S^2 \to S^1$ (equatore). Il nastro di Möbius si retrae sul bordo $S^1$? (No, usare $\pi_1$ o omologia $H_1$).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$.
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(P^n(\mathbb{R}))$ ($n\ge 2$). ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(P^n(\mathbb{C}))$ ($n\ge 1$). ($\{e\}$, semplicemente connesso).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(T^n)$ (Toro $n$-dimensionale, $(S^1)^n$). ($\mathbb{Z}^n$).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(S^n)$ per $n \ge 2$. ($\{e\}$, semplicemente connesso).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(S^1 \vee S^1)$ (bouquet di due circonferenze). (Gruppo libero $F_2$).
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus \{\text{due rette}\})$ nei casi: incidenti, parallele, sghembe.
+- [ ] Calcolo di $\pi_1(X)$ dove $X = S^2 \cup \{\text{segmento tra polo nord e sud}\}$. (Van Kampen, $\mathbb{Z}$).
+- [ ] Calcolo $\pi_1(\mathbb{R}^2/G)$ dove $G$ è il gruppo di rotazioni di $2\pi/n$. ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).
+- [ ] Come costruire uno spazio con $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$? (Lens space $L(n,1)$ ottenuto quozientando $S^3 \subset \mathbb{C}^2$ per l'azione $(z_1, z_2) \mapsto (e^{2\pi i /n} z_1, e^{2\pi i k / n} z_2)$; oppure disco $D^2$ con identificazione $z \sim w$ sul bordo se $z^n=w^n$). Per quali $n$ quest'ultimo è una varietà? (Solo $n=2$, $P^2(\mathbb{R})$).
+- [ ] Rivestimenti: definizione. Proprietà di sollevamento unico dei cammini e delle omotopie.
+- [ ] Relazione tra rivestimenti connessi di $X$ (a meno di isomorfismo) e sottogruppi di $\pi_1(X, x_0)$ (a meno di coniugio). Corrispondenza tra rivestimenti puntati $(E, e_0)$ e sottogruppi $p_*(\pi_1(E, e_0))$.
+- [ ] Rivestimento universale: definizione, esistenza (condizione: $X$ connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso). Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio che non lo è (cono sul "pettine Hawaiano").
+- [ ] Automorfismi di un rivestimento $p: E \to X$ ($Aut(p)$): definizione. Azione sulla fibra $p^{-1}(x_0)$. L'azione è libera. Quando è transitiva?
+- [ ] Rivestimenti regolari (o normali): definizione (es. $p_*(\pi_1(E, e_0))$ è normale in $\pi_1(X, x_0)$). Caratterizzazioni equivalenti (es. $Aut(p)$ agisce transitivamente sulle fibre; per ogni laccio $\gamma$ in $X$, o tutti i suoi sollevamenti sono chiusi o nessuno lo è).
+- [ ] Relazione tra $Aut(p)$ e $\pi_1(X, x_0)/p_*(\pi_1(E, e_0))$ per rivestimenti regolari. Cosa succede se il rivestimento non è regolare? ($Aut(p) \cong N(H)/H$, dove $H=p_*(\pi_1(E, e_0))$ e $N(H)$ è il normalizzatore).
+- [ ] Esempi: Trovare un rivestimento regolare e uno non regolare del bouquet $S^1 \vee S^1$. Trovare il rivestimento associato al sottogruppo $\langle a \rangle$ di $\pi_1(S^1 \vee S^1) = \langle a, b \rangle$. E quello associato al normalizzato $N(\langle a \rangle)$. Trovare un rivestimento di grado 3 del bouquet.
+- [ ] Per quali interi $d$ esiste un rivestimento connesso di grado $d$ del toro $T^2$? Della bottiglia di Klein? Della superficie di genere 2? (Per ogni $d$ se $\pi_1$ è infinito, come in questi casi).
+- [ ] Se $p: E \to X$ è il rivestimento universale, e $S \subseteq X$ è un sottospazio "buono" (es. connesso per archi, localmente connesso per archi), $p^{-1}(S) \to S$ è un rivestimento? Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (Condizione sulla mappa $i_*: \pi_1(S) \to \pi_1(X)$).
+- [ ] Il toro $T^2$ si retrae sul toro meno un dischetto aperto? (Sì, è un retratto per deformazione).
+- [ ] Azioni propriamente discontinue di gruppi: definizione, legame con i rivestimenti (se l'azione è libera, $X \to X/G$ è un rivestimento regolare con $Aut(p) \cong G$).
 
-## Complessa
+## Analisi Complessa
 
-- [ ] Zeri di funzioni olomorfe
-- [ ] Teorema di Rouché.
-- [ ] Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
-- [ ] Olomorfa $\implies$analitica
-- [ ] Definizione funzione olomorfa.
-- [ ] Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
-- [ ] Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
-- [ ] Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
-- [ ] Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
-- [ ] definizioni funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe.
-- [ ] Dimostrazione teorema di Weiestrass
-- [ ] Liouville
-- [ ] Definizione indice di avvolgimento.
-- [ ] Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
-- [ ] Olomorfa $\implies$ Analitica
-- [ ] Principio del massimo modulo
-- [ ] Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
-- [ ] Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
-- [ ] Olomorfa sse analitica
-- [ ] $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
-- [ ] Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a\cdot f(z)/z$?
-- [ ] $f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
-- [ ] Derivata logaritmica
-- [ ] Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue
-- [ ] accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
-- [ ] Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
-- [ ] Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
-- [ ] Equazione di Cauchy-Riemann.
-- [ ] Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
-- [ ] Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
-- [ ] Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
-- [ ] Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
-- [ ] Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
-- [ ] Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
-- [ ] Teorema di Riemann-Weierstrass.
-- [ ] Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).
+- [ ] Funzione olomorfa: definizione (limite del rapporto incrementale). Equivalenza con $\mathbb{C}$-differenziabilità e con le equazioni di Cauchy-Riemann (per funzioni $C^1$). Esempio di funzione $\mathbb{R}$-differenziabile ma non $\mathbb{C}$-differenziabile ($\bar{z}$).
+- [ ] Olomorfa $\implies$ Analitica (sviluppabile localmente in serie di potenze). Idea della dimostrazione tramite Formula Integrale di Cauchy.
+- [ ] Formula Integrale di Cauchy (per la funzione e per le derivate). Conseguenze: Teorema di Morera, disuguaglianze di Cauchy.
+- [ ] Teorema di Liouville: enunciato e dimostrazione. Generalizzazione: se $|f(z)| \le C|z|^d$ per $|z|$ grande, allora $f$ è un polinomio di grado $\le d$.
+- [ ] Teorema Fondamentale dell'Algebra: dimostrazione tramite Liouville o tramite Principio dell'Argomento/Rouché.
+- [ ] Principio del massimo modulo (enunciato nelle varie forme). Principio del minimo modulo.
+- [ ] Zeri di funzioni olomorfe (non identicamente nulle) su un aperto connesso: sono isolati. Ordine (molteciplità) di uno zero.
+- [ ] Teorema di identità per funzioni olomorfe.
+- [ ] Singolarità isolate ($z_0$): classificazione (eliminabili, poli, essenziali).
+  - [ ] Singolarità eliminabili: caratterizzazione (Teorema di Riemann: $f$ limitata in un intorno forato di $z_0$). Come estendere la funzione.
+  - [ ] Poli: caratterizzazione ($\lim_{z\to z_0} |f(z)| = \infty$). Ordine del polo. Legame con gli zeri di $1/f$.
+  - [ ] Singolarità essenziali: caratterizzazione (Teorema di Casorati-Weierstrass: l'immagine di ogni intorno forato è densa in $\mathbb{C}$). Comportamento del limite. Esempio ($e^{1/z}$).
+- [ ] Sviluppo in serie di Laurent attorno a una singolarità isolata. Legame tra tipo di singolarità e serie di Laurent (parte principale).
+- [ ] Residuo di una funzione in una singolarità isolata: definizione e metodi di calcolo.
+- [ ] Teorema dei Residui: enunciato. Applicazioni al calcolo di integrali.
+- [ ] Principio dell'Argomento: enunciato (legame tra $\oint (f'/f) dz$ e numero di zeri/poli).
+- [ ] Teorema di Rouché: enunciato e applicazioni (es. dimostrazione TFA, localizzazione zeri).
+- [ ] Lemma sull'indice di avvolgimento: Se $\gamma, \psi$ sono curve chiuse in $\mathbb{C}$ con $\gamma(t) \in \mathbb{C}^*$ e $|\psi(t)| < |\gamma(t)|$, allora $Ind_0(\gamma+\psi) = Ind_0(\gamma)$.
+- [ ] Forme differenziali complesse. Una 1-forma $f(z)dz$ è chiusa $\iff$ $f$ è olomorfa. Una 1-forma $\omega$ è esatta su un dominio $\Omega$ $\iff \oint_\gamma \omega = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ in $\Omega$ omotopa a un punto (o per ogni curva chiusa se $\Omega$ è semplicemente connesso). Relazione tra forme chiuse ed esatte.
+- [ ] Logaritmo complesso: problemi di polidromia. Definizione di rami del logaritmo. Su quale dominio massimale si può definire un ramo olomorfo del logaritmo (es. $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$)? Su quale dominio massimale la forma $dz/z$ è esatta?
+- [ ] Teorema della mappa aperta. Teorema di invertibilità locale (se $f'(z_0) \ne 0$).
+- [ ] Automorfismi olomorfi del disco unitario $\mathbb{D}$ e di $\mathbb{C}$. Caratterizzare le funzioni olomorfe intere e bigettive ($f(z) = az+b, a \ne 0$).
+- [ ] Per quali $a \in \mathbb{C}$ esiste $f:\mathbb{C}^* \to \mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a \cdot f(z)/z$? (Equivale a $z f'(z) = a f(z)$, soluzione $f(z)=C z^a$. Serve che $z^a$ sia monodroma su $\mathbb{C}^*$, quindi $a \in \mathbb{Z}$).
+- [ ] Trovare una 1-forma $\omega$ su $\mathbb{C} \setminus \{-1, 1\}$ tale che $\oint_{\gamma_{-1}} \omega = 1$ e $\oint_{\gamma_{1}} \omega = -2$ (o condizioni simili). (Combinazione lineare di $dz/(z-1)$ e $dz/(z+1)$).