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Okay, ecco le domande suddivise per categoria, integrando quelle nuove con quelle esistenti e cercando di rimuovere duplicati evidenti o accorparli.

Domande Orali di Geometria 2

Geometria Proiettiva

• Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive.
• Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità.
• Birapporto: definizione, invarianza per proiettività, comportamento scambiando punti.
• Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive (unicità della proiettività che manda n+2 punti in posizione generale in altri n+2 punti in posizione generale).
• Prendiamo due triple di rette in P^2(\mathbb{C}), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre tramite una proiettività?
• Principio di dualità in P(V): definizione e bigezione tra sottospazi di P(V) e P(V^*).
• Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva algebrica piana C = V(F) di grado d con una retta (che non sia componente di C)? (Teorema di Bezout, caso semplice).
• Coniche in P^2(\mathbb{C}) (o P^2(\mathbb{R})): classificazione affine/proiettiva, forma canonica.
• Tangenti a coniche in P^2(\mathbb{C}): definizione, casi degeneri e non degeneri.
• Retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere: definizione e proprietà. Se un punto P sta sulla polare di Q, allora Q sta sulla polare di P. Se un punto P appartiene alla propria retta polare, cosa puoi dire? (P appartiene alla conica). Se un punto P ha un'unica retta polare, cosa puoi dire della conica? (Non degenere).
• Coniche duali.
• Definizione di fascio lineare di coniche.
• Data una retta r e un punto P \in r, dimostrare che l’insieme delle coniche in P^2(\mathbb{C}) che hanno r come retta tangente in P forma un sistema lineare (sottospazio proiettivo).
• A cosa è omeomorfo P^1(\mathbb{C})? (S^2). E P^1(\mathbb{R})? (S^1).

Topologia Generale

• Assiomi di separazione (T0, T1, T2, T3, T4, Regolare, Normale): definizioni, implicazioni (es. Metrico \implies T4 \implies T3 \implies T2 \implies T1). Fornire controesempi per le implicazioni non valide (es. T2 non implica T3, T3 non implica T4 se non T1).
• Spazio metrico implica normale (T_4) e primo numerabile. Dimostrare una delle due.
• Prodotto numerabile di spazi metrizzabili è metrizzabile. Fornire un controesempio se il prodotto è più che numerabile (es. \mathbb{R}^{\mathbb{R}} non è primo numerabile).
• Spazi separabili: definizione, implicazioni (es. Metrico + Separabile \implies Secondo Numerabile).
• Un esempio di spazio T2 (Hausdorff) con un quoziente non T2. Un esempio di quoziente T2 ottenuto da un'azione di gruppo (libera e propriamente discontinua) su uno spazio T2.
• Spazio delle matrici n\times n reali quozientate per azione di coniugio di GL_n(\mathbb{R}). Lo spazio quoziente è T1? È T2? (Non è T1 e quindi neanche T2 in generale, le orbite non sono chiuse eccetto casi particolari).
• Connessione e connessione per archi: definizioni e relazione. CPA \implies Connesso (dimostrazione). Fornire un esempio di spazio connesso ma non connesso per archi (es. seno del topologo \overline{\sin(1/x)}).
• X connesso + localmente connesso per archi \implies X connesso per archi.
• Le componenti connesse per archi formano una partizione. La relazione "essere connessi per archi" è di equivalenza.
• Dimostrare che [0,1] è connesso.
• Prodotto (arbitrario) di spazi connessi è connesso.
• Se Y è connesso e Y \subseteq Z \subseteq \overline{Y}, allora Z è connesso.
• In \mathbb{R}^n, connesso \iff connesso per archi. Un aperto connesso di \mathbb{R}^n è connesso per archi.
• Compattezza: definizione (ricoprimenti aperti). Relazione con la compattezza per successioni: per quali spazi coincidono? (Es. Spazi metrici, spazi primo numerabili). Dimostrare che Compatto \implies Compatto per successioni in spazi primo numerabili.
• Caratterizzazione della compattezza negli spazi metrici: compatto \iff completo e totalmente limitato. Dimostrare un'implicazione (es. Compatto per successioni \implies completo e totalmente limitato).
• Spazio metrico compatto \implies limitato e chiuso (se sottospazio di uno spazio metrico). Fornire un controesempio a: metrico completo e limitato \implies compatto (es. spazio metrico discreto infinito).
• Sottospazio compatto di uno spazio T_2 (Hausdorff) è chiuso. Fornire un controesempio se lo spazio ambiente non è T_2.
• Spazio T_2 e compatto \implies T_4 (normale).
• Prodotto di due (o finiti) spazi compatti è compatto (Teorema di Tychonoff per il caso finito). Se X \times Y è compatto, sono X e Y compatti? (Sì, proiezioni sono continue). La compattezza si può testare su una base della topologia?
• Definizione di topologia quoziente. Caratterizzazione degli aperti/chiusi/funzioni continue.
• Esempio: X = \mathbb{R}, x \sim y \iff (x-y) \in \mathbb{Q}. Descrivere la topologia quoziente. (Topologia indiscreta).
• Descrivere come ottenere P^n(\mathbb{R}) come quoziente di S^n o di D^n.
• Funzioni proprie: definizione. Quando una funzione propria è chiusa? (Se lo spazio di arrivo è k-spazio, o localmente compatto e T2).
• La proiezione \pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \pi_1(x,y)=x, è aperta? Chiusa? Propria? (Aperta sì, chiusa no, propria no).
• Sia X uno spazio normale (T_4), C \subseteq X un sottoinsieme discreto e chiuso, D \subseteq X un sottoinsieme denso. Dimostrare che |\mathcal{P}(C)| \le |\mathcal{P}(D)|.
• Dato X \subseteq \mathbb{R}, definiamo il cono C(X) = (X \times [0,1]) / (X \times \{0\}) e D(X) = \{tx + (1-t)(0,1) \mid t \in [0,1], x \in X\} \subseteq \mathbb{R}^2. Trovare condizioni affinché C(X) e D(X) siano omeomorfi (es. X compatto). Trovare un X per cui non sono omeomorfi (es. X=\mathbb{Z}, C(\mathbb{Z}) non è primo numerabile al vertice).
• Consideriamo la striscia chiusa S = [0, 1] \times \mathbb{R} in \mathbb{R}^2 e quozientiamola con la relazione (0, y) \sim (1, -y). Che spazio topologico si ottiene? È una varietà topologica? È compatto? È connesso? (Nastro di Möbius).
• Descrivere la topologia su X = [0, 1) con base: (a, b) per 0<a<b<1, e [0, a)\cup(b, 1) per 0 < a < b < 1.
• Determinare chiusura e bordo in \mathbb{R}^2 degli insiemi A=\{0\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q}) e B=\{0\} \times (]0,1[ \cap \mathbb{Q}).

Topologia Algebrica

• Gruppo fondamentale (\pi_1(X, x_0)): definizione (classi di omotopia di lacci), struttura di gruppo, indipendenza dal punto base (se X è connesso per archi).
• Omotopia di mappe: definizione. Se f \simeq g: X \to Y, relazione tra le mappe indotte f_*, g_* : \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, f(x_0)) (sono coniugate tramite l'isomorfismo indotto dal cammino tra f(x_0) e g(x_0)).
• Spazi contraibili: definizione. Uno spazio contraibile è semplicemente connesso (\pi_1 = \{e\}). Se X è contraibile, ogni suo punto x_0 è un retratto per deformazione? (Sì). Viceversa, se x_0 è retratto per deformazione di X, X è contraibile? (Sì). Esempio di spazio contraibile il cui punto base non è un retratto forte per deformazione (pettine infinito contratto alla base).
• Retrazione e retrazione per deformazione: definizioni. Proprietà indotte sui gruppi fondamentali (retrazione \implies f_* suriettiva, i_* iniettiva; retr. per deformazione \implies f_* e i_* sono isomorfismi inversi).
• Conseguenze: Teorema del punto fisso di Brouwer (idea della dimostrazione tramite non esistenza di retrazione D^n \to S^{n-1}). La sfera S^n non è contraibile. Non esiste retrazione S^2 \to S^1 (equatore). Il nastro di Möbius si retrae sul bordo S^1? (No, usare \pi_1 o omologia H_1).
• Calcolo di \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}.
• Calcolo di \pi_1(P^n(\mathbb{R})) (n\ge 2). (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).
• Calcolo di \pi_1(P^n(\mathbb{C})) (n\ge 1). (\{e\}, semplicemente connesso).
• Calcolo di \pi_1(T^n) (Toro n-dimensionale, (S^1)^n). (\mathbb{Z}^n).
• Calcolo di \pi_1(S^n) per n \ge 2. (\{e\}, semplicemente connesso).
• Calcolo di \pi_1(S^1 \vee S^1) (bouquet di due circonferenze). (Gruppo libero F_2).
• Calcolo di \pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus \{\text{due rette}\}) nei casi: incidenti, parallele, sghembe.
• Calcolo di \pi_1(X) dove X = S^2 \cup \{\text{segmento tra polo nord e sud}\}. (Van Kampen, \mathbb{Z}).
• Calcolo \pi_1(\mathbb{R}^2/G) dove G è il gruppo di rotazioni di 2\pi/n. (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).
• Come costruire uno spazio con \pi_1(X) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}? (Lens space L(n,1) ottenuto quozientando S^3 \subset \mathbb{C}^2 per l'azione (z_1, z_2) \mapsto (e^{2\pi i /n} z_1, e^{2\pi i k / n} z_2); oppure disco D^2 con identificazione z \sim w sul bordo se z^n=w^n). Per quali n quest'ultimo è una varietà? (Solo n=2, P^2(\mathbb{R})).
• Rivestimenti: definizione. Proprietà di sollevamento unico dei cammini e delle omotopie.
• Relazione tra rivestimenti connessi di X (a meno di isomorfismo) e sottogruppi di \pi_1(X, x_0) (a meno di coniugio). Corrispondenza tra rivestimenti puntati (E, e_0) e sottogruppi p_*(\pi_1(E, e_0)).
• Rivestimento universale: definizione, esistenza (condizione: X connesso, localmente connesso per archi e semilocalmente semplicemente connesso). Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio che non lo è (cono sul "pettine Hawaiano").
• Automorfismi di un rivestimento p: E \to X (Aut(p)): definizione. Azione sulla fibra p^{-1}(x_0). L'azione è libera. Quando è transitiva?
• Rivestimenti regolari (o normali): definizione (es. p_*(\pi_1(E, e_0)) è normale in \pi_1(X, x_0)). Caratterizzazioni equivalenti (es. Aut(p) agisce transitivamente sulle fibre; per ogni laccio \gamma in X, o tutti i suoi sollevamenti sono chiusi o nessuno lo è).
• Relazione tra Aut(p) e \pi_1(X, x_0)/p_*(\pi_1(E, e_0)) per rivestimenti regolari. Cosa succede se il rivestimento non è regolare? (Aut(p) \cong N(H)/H, dove H=p_*(\pi_1(E, e_0)) e N(H) è il normalizzatore).
• Esempi: Trovare un rivestimento regolare e uno non regolare del bouquet S^1 \vee S^1. Trovare il rivestimento associato al sottogruppo \langle a \rangle di \pi_1(S^1 \vee S^1) = \langle a, b \rangle. E quello associato al normalizzato N(\langle a \rangle). Trovare un rivestimento di grado 3 del bouquet.
• Per quali interi d esiste un rivestimento connesso di grado d del toro T^2? Della bottiglia di Klein? Della superficie di genere 2? (Per ogni d se \pi_1 è infinito, come in questi casi).
• Se p: E \to X è il rivestimento universale, e S \subseteq X è un sottospazio "buono" (es. connesso per archi, localmente connesso per archi), p^{-1}(S) \to S è un rivestimento? Quando p^{-1}(S) è connesso? (Condizione sulla mappa i_*: \pi_1(S) \to \pi_1(X)).
• Il toro T^2 si retrae sul toro meno un dischetto aperto? (Sì, è un retratto per deformazione).
• Azioni propriamente discontinue di gruppi: definizione, legame con i rivestimenti (se l'azione è libera, X \to X/G è un rivestimento regolare con Aut(p) \cong G).

Analisi Complessa

• Funzione olomorfa: definizione (limite del rapporto incrementale). Equivalenza con \mathbb{C}-differenziabilità e con le equazioni di Cauchy-Riemann (per funzioni C^1). Esempio di funzione \mathbb{R}-differenziabile ma non \mathbb{C}-differenziabile (\bar{z}).
• Olomorfa \implies Analitica (sviluppabile localmente in serie di potenze). Idea della dimostrazione tramite Formula Integrale di Cauchy.
• Formula Integrale di Cauchy (per la funzione e per le derivate). Conseguenze: Teorema di Morera, disuguaglianze di Cauchy.
• Teorema di Liouville: enunciato e dimostrazione. Generalizzazione: se |f(z)| \le C|z|^d per |z| grande, allora f è un polinomio di grado \le d.
• Teorema Fondamentale dell'Algebra: dimostrazione tramite Liouville o tramite Principio dell'Argomento/Rouché.
• Principio del massimo modulo (enunciato nelle varie forme). Principio del minimo modulo.
• Zeri di funzioni olomorfe (non identicamente nulle) su un aperto connesso: sono isolati. Ordine (molteciplità) di uno zero.
• Teorema di identità per funzioni olomorfe.
• Singolarità isolate (z_0): classificazione (eliminabili, poli, essenziali).
  • Singolarità eliminabili: caratterizzazione (Teorema di Riemann: f limitata in un intorno forato di z_0). Come estendere la funzione.
  • Poli: caratterizzazione (\lim_{z\to z_0} |f(z)| = \infty). Ordine del polo. Legame con gli zeri di 1/f.
  • Singolarità essenziali: caratterizzazione (Teorema di Casorati-Weierstrass: l'immagine di ogni intorno forato è densa in \mathbb{C}). Comportamento del limite. Esempio (e^{1/z}).
• Sviluppo in serie di Laurent attorno a una singolarità isolata. Legame tra tipo di singolarità e serie di Laurent (parte principale).
• Residuo di una funzione in una singolarità isolata: definizione e metodi di calcolo.
• Teorema dei Residui: enunciato. Applicazioni al calcolo di integrali.
• Principio dell'Argomento: enunciato (legame tra \oint (f'/f) dz e numero di zeri/poli).
• Teorema di Rouché: enunciato e applicazioni (es. dimostrazione TFA, localizzazione zeri).
• Lemma sull'indice di avvolgimento: Se \gamma, \psi sono curve chiuse in \mathbb{C} con \gamma(t) \in \mathbb{C}^* e |\psi(t)| < |\gamma(t)|, allora Ind_0(\gamma+\psi) = Ind_0(\gamma).
• Forme differenziali complesse. Una 1-forma f(z)dz è chiusa \iff f è olomorfa. Una 1-forma \omega è esatta su un dominio \Omega \iff \oint_\gamma \omega = 0 per ogni curva chiusa \gamma in \Omega omotopa a un punto (o per ogni curva chiusa se \Omega è semplicemente connesso). Relazione tra forme chiuse ed esatte.
• Logaritmo complesso: problemi di polidromia. Definizione di rami del logaritmo. Su quale dominio massimale si può definire un ramo olomorfo del logaritmo (es. \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0])? Su quale dominio massimale la forma dz/z è esatta?
• Teorema della mappa aperta. Teorema di invertibilità locale (se f'(z_0) \ne 0).
• Automorfismi olomorfi del disco unitario \mathbb{D} e di \mathbb{C}. Caratterizzare le funzioni olomorfe intere e bigettive (f(z) = az+b, a \ne 0).
• Per quali a \in \mathbb{C} esiste f:\mathbb{C}^* \to \mathbb{C} olomorfa non identicamente nulla con f'(z) = a \cdot f(z)/z? (Equivale a z f'(z) = a f(z), soluzione f(z)=C z^a. Serve che z^a sia monodroma su \mathbb{C}^*, quindi a \in \mathbb{Z}).
• Trovare una 1-forma \omega su \mathbb{C} \setminus \{-1, 1\} tale che \oint_{\gamma_{-1}} \omega = 1 e \oint_{\gamma_{1}} \omega = -2 (o condizioni simili). (Combinazione lineare di dz/(z-1) e dz/(z+1)).