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Domande Orali di Geometria 2

Proiettiva

• Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
• Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità
• Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
• Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in \mathbb{C} con una retta?
• Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
• Prendiamo due triple di rette in \mathbb{P}^2(\mathbb{C}), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre
• Principio di dualità
• Cosa è un sistema lineare di coniche
• Parlare di rette polari e coniche duali
• Se ho un punto che passa per una sola retta polare rispetto ad una conica non genere cosa sai dire su P?

Topologia

• Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile
• controesempio quando il prodotto é più che numerabile
• Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
• Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
• CPA \implies connesso
• [0,1] connesso
• Sottospazio compatto \implies chiuso. Quando e perché. Controesempio se X non è T2.
• Metrico compatto \implies limitato. Controesempio a metrico completo limitato \implies compatto
• Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni \implies completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
• Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
• Esempio di un connesso non connesso per archi
• Y connesso. Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z connesso
• Determinare chiusura dell'insieme \\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q}) in \mathbb{R}^2, e di \\{0\\} \times (]0,1[ \cap \mathbb{Q}) in \mathbb{R}^2, chi sono i bordi in \mathbb{R}^2 di questi insiemi?
• Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
• In \mathbb{R}^n connesso sse connesso per archi
• Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
• \pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} è aperta/chiusa/propria?
• Prodotto di due spazi compatti è compatto
• Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di X \times Y)
• Un aperto di \mathbb{R}^n connesso è connesso per archi
• connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi
• la connessione per archi è relazione di equivalenza
• Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
• Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile \iff normale \iff regolare \iff T2
• Come ottenere \mathbb{P}^n(\mathbb{R}) da D_n (dettagliata).
• Compattezza in spazi metrici.
• X = [0, 1), topologia di base: (a, b), con a > 0, e [0, a)\cup(b, 1), con 0 < a < b < 1.
• Consideriamo la striscia in \mathbb{R}_2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la relazione (0, y) \sim (1, -y). Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S_1) Un esempio di tale omeomorfismo? (t \mapsto e^{2πit}).
• Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi \implies Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
• X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
• Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti.
• Prendiamo X = \mathbb{R}, x \sim y sse (x-y) \in \mathbb{Q}: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
• Spazio delle matrici n\times n reali quozientate per azione di coniugio di \text{GL}_n(\mathbb{R}). Lo spazio ottenuto è T1, T2?*
• spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione

Algebrica

• Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
• Per quali d interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado d
• \mathbb{R}³ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il \pi_1?
• Il gruppo G delle rotazioni generato da quella di angolo 2\pi/7 che agisce su \mathbb{R}^2. Calcolare il gruppo fondamentale di \mathbb{R}^2/G e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di \mathbb{R}^2 \setminus\{0\} su (\mathbb{R}_2 \setminus\{0\})/G.
• Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
• Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
• Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su \mathbb{R} e su \mathbb{C}
• Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
• O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro \pi_1
• Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel \pi_1
• Relazione tra sottogruppi del \pi_1, rivestimenti e rivestimento universale
• Parlami delle azione propriamente discontinue, facendo esempi, e dimmi come sono legate nella teoria dei rivestimenti
• Definizione di automorfismo di un rivestimento e mostra che ha azione libera
• Legame tra uno spazio contraibile e il retratto di deformazione
• Uno spazio che si retrae per deformazione ad un suo punto è contraibile, non vale il viceversa. Fai esempio (pettine infinito)
• Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
• Contraibile \implies semplicemente connesso
• Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
• Calcolare n-proiettivo reale
• Spazi contraibili: definizione, se x_0 \in X contraibile allora x_0 ne è retratto per deformazione?
• Esempio di rivestimento non regolare
• Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
• Per un rivestimento dallo spazio E connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra \iff l'immersione del \pi_1(E) è normale
• Gruppo fondamentale di \mathbb{P}_n(\mathbb{C})
• Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
• Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
• Automorfismi del disco
• Dato S^1 \vee S^1 ed il suo \pi_1 generato da a,b, trova il rivestimento associato ai sottogruppi \langle a \rangle ed N(\langle a \rangle) (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da a)
• Gruppo fondamentale del toro
• Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
• Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
• Calcolare il \pi_1(S_1). (\cong\mathbb{Z})
• \pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R})) (discorso generale).
• Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
• Chi è il rivestimento universale del toro?
• Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale \frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}?
• Definizione di Rivestimento
• Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
• Teorema fondamentale dell’Algebra.
• Se p: E\to X rivestimento universale, è vero che p^{-1}(S) è un rivestimento di S \subseteq X? (risposta: sì). Quando p^{-1}(S) è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: i_* suriettiva, dove i è la mappa di inclusione).
• \mathbb{R}^3 meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il \pi_1?
• Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
• Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?

Complessa

• Zeri di funzioni olomorfe
• Teorema di Rouché.
• Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a D^2 è ancora vero il teorema?
• Olomorfa $\implies$analitica
• Definizione funzione olomorfa.
• Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
• Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
• Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
• Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
• definizioni funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe.
• Dimostrazione teorema di Weiestrass
• Liouville
• Definizione indice di avvolgimento.
• Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
• Olomorfa \implies Analitica
• Principio del massimo modulo
• Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
• Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
• Olomorfa sse analitica
• f(z)dz chiusa \iff f olomorfa
• Per quali a complessi esiste f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C} olomorfa non identicamente nulla con f'(z) = a\cdot f(z)/z?
• f olomorfa in U\setminus z e limitata in un intorno di z, cosa possiamo dire?
• Derivata logaritmica
• Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue
• accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
• Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
• Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
• Equazione di Cauchy-Riemann.
• Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( f(z) = \bar{z} )
• Data f : U \setminus{z_0} \to C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a \lim_{z\to z_0}{|f(z)|}?
• Esempio di funzione con una singolarità essenziale? (f(z) = e^{1/z})
• Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
• Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? Togliendo il segmento [0, 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
• Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto \implies identicamente nulla nell'aperto connesso.
• Teorema di Riemann-Weierstrass.
• Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo \leq k\cdot z^d con d fissato? (risposta a\cdot x^d con |a|\leq |k|).