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DOMANDE ORALI MECCANICA RAZIONALE

Moti centrali

Teoria:

• Definizione campo di forze centrale
• Integrabilità dei moti centrali
• Legge delle aree
• Formula di Binet
• Traiettoria del Moto (angolo di avanzamento)
• Problema dei due corpi
• Problema diretto di keplero
• Problema inverso di keplero

Domande:

• Moti centrali: fare la storia del potenziale efficace, mostrare che sono integrabili, quando un’orbita è periodica?
• Studio qualitativo del ritratto di fase del problema di Keplero

Sistemi di riferimento in moto relativo

Teoria:

• Formule di Poisson
• Velocità angolare (teorema di esistenza ed unicità)
• Derivata temporale di un vettore in un sistema di riferimento diverso
• Equazioni del moto in riferimenti diversi

Domande:

• Potenziale generalizzato della forza di Coriolis
• Velocità angolare di un corpo rigido ed esercizio sul calcolo di una velocità angolare (guida rotola senza strisciare e disco r.s.s. Sulla guida)
• Velocità angolare di un disco che rotola senza strisciare

Dinamica dei sistemi di N punti materiali

Teoria:

• Baricentro
• Teorema di König, versione per sistemi di N punti
• Forze interne e forze esterne
• Risultante e Momento Risultante delle forze interne sono nulli
• Sistemi equivalenti di vettori applicati
• Definizione di sistema di vettori equilibrato, equivalenti e operazioni elementari
• Teorema dell'asse centrale

Domande:

• Dimostrare che, se un sistema ha trinomio invariante è nullo e la risultante è non nulla, allora è equivalente al sistema composto dalla sola risultante applicata ad un punto dell’asse centrale
• Trinomio invariante, esempio: asse centrale per forze di gravità
• Asse centrale: esistenza ed unicità e ultima riduzione (quella del trinomio invariante)
• Dare un esempio in cui il trinomio invariante è nullo (moto piano)

Il corpo rigido

Teoria:

• Angoli di Eulero
• Formula fondamentale della cinematica del corpo rigido
• Velocità angolare e angoli di Eulero
• Asse istantaneo di rotazione
• Campo delle velocità di un corpo rigido
• Teorema di Chasles
• Operatore di inerzia e prime proprietà
• Scomposizione dell'operatore di inerzia
• Teorema di Huygens-Steiner
• Momenti principali di inerzia e direzioni principali di inerzia

Domande:

• Asse istantaneo di rotazione per un disco che rotola senza strisciare
• Huygens-Steiner: un esempio di applicazione
• Basi principali di un sistema di 8 punti disposti ai vertici di un cubo

Sistemi vincolati

Teoria:

• Studio del moto vincolato: base di Frenet
• Varietà e spazi tangenti
• Fibrato Tangente
• Varietà delle configurazioni e gradi di liberta del sistema
• Velocità lagrangiane e velocità virtuali
• Vicoli olonomi e analonomi

Domande:

• Discorsi generali sui vincoli, esempio di vincolo olonomo
• In presenza di vincoli olonomi cosa si può dire dell energia cinetica
• Vincoli ideali
• Dimostrare che il vincolo di rigidità di un corpo rigido è un vincolo olonomo e ideale

Le equazioni cardinali della dinamica

Teoria:

• Equazioni Cardinali
• Equazioni di Eulero
• Moti di Eulero-Poinsot
• Caso simmetria sferica (I_1 = I_2 = I_3)
• Caso simmetria giroscopica (I_1 = I_2 \neq I_3)
• Caso generico (I_1 > I_2 > I_3)
• Definizione di equilibrio stabile ed instabile

Domande:

• Come interpreti la definizione di equilibri stabili per gli equilibri stabili della lagrangiana?
• Scrivere le equazioni del moto di una bicicletta (con una coppia di forze applicata sulla ruota posteriore) che rotola senza strisciare lungo Ox e calcolarne le componenti tangenziali delle reazioni vincolari sui punti contatto.
• Dire qualitativamente quale equazione e quale polo è conveniente usare per calcolare le componenti tangenziali delle reazioni vincolari nel caso in cui la stessa bicicletta sia vincolata ad una guida circolare e spiegare perché
• Trovare gli equilibri di un sistema di 3 corpi soggetti all interazione gravitazionale (che si risolve con il teorema di Eulero sulle omogene enunciato)
• Coni di Poinsot. Cosa cambia se c'è la gravità? (trottola di lagrange)

Equazioni di Lagrange

Teoria:

• Vincoli ideali e principio di D’Alembert
• Equivalenza tra equazioni di Lagrange di prima specie ed eq. di D’Alembert (prop. 60)
• Sistemi Lagrangiani (definizione)
• Forze conservative e Lagrangiana
• Energia potenziale generalizzata
• Energia potenziale generalizzata delle forze apparenti

Domande:

• Forze generalizzate nel caso dell’asta ruotante, calcolarle.
• lagrangiana per il problema dei tre corpi in un riferimento rotante, perché è utile in questo riferimento
• Dire quali sono le forze in gioco di un’ asta appesa all’origine di un piano Oxy (con gravità) che ruota in modo uniforme intorno all’asse y, e dare un’idea di calcolo dell’energia potenziale di tali forze

Simmetrie ed integrali primi

Teoria:

• Variabili Cicliche e Momento Coniugato
• Integrale di Jacobi è un integrale primo
• Riduzione di Routh
• Trottola di Lagrange
• Teorema di Noether

Domande

• Se passando al sistema ridotto trovo una soluzione stazionaria, posso concludere che ho una soluzione stazionaria del sistema di partenza? (No, l’esempio è il moto circolare che ha \rho costa- Campo delle velocità di un corpo rigido nte)
• Lagrangiana ridotta. Che cosa puoi dire sulla stabilitá/instabilità del sistema di partenza se trovi un equilibrio stabile/instabile per la Lagrangiana di Routh?
• Teorema di Noether: premesse, enunciato, dimostrazione, applicazione nel caso con una variabile ciclica (ritrovare che il momento coniugato si conserva), applicazione nel caso dei moti centrali (invarianza per rotazione, ritrovare che il momento angolare si conserva)

Equilibri e stabilità

Teoria:

• Definizione di configurazioni di equilibrio (prima pagina cap. 12)
• Linearizzazione attorno ad un equilibrio
• Funzione di Lyapunov
• Lyapounov (enunciato del teorema)
• Teorema di Lagrange-Dirichlet
• Analisi della stabilità
• Piccole oscillazioni

Domande:

• Instabilità della seconda rotazione stazionaria tramite la linearizzazione (pseudo-esercizio)
• Modi normali di oscillazione cosa sono e scrivere il sistema linearizzato a cui ci si riduce per studiare la stabilità