domande-orali/geoemtria-2/proiettiva.md

Spazi proiettivi e nozioni introduttive

Spazio proiettivo

• [definizione] Spazio Proiettivo
• [definizione] Dimensione di uno spazio proiettivo
• [definizione] Punti, Rette e piani proiettivi
• [definizione] Spazio proiettivo standard

Trasformazioni Proiettive

• [definizione] Trasformazione proiettiva
• [definizione] Isomorfismo proiettivo
• [proposizione] Caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi
• [definizione] Proiettivit`a

Sottospazi proiettivi

• [definizione] Grassmanniana (NON DATA DURANTE IL CORSO)
• [definizione] Sottospazio proiettivo
• [definizione] Iperpiano proiettivo
• [proposizione] Corrispondenza tra sottospazi proiettivi e vettoriali
• [proposizione] Sottospazi proiettivi sono stabili per intersezione
• [definizione] Sottospazio proiettivo generato
• [proposizione] Traduzione tra somme di proiettivi e vettoriali
• [proposizione] Trasformazioni proiettive rispettano i generati
• [teorema] Formula di Grassmann proiettiva

Riferimenti proiettivi

• [definizione] Punti indipendenti
• [definizione] Posizione generale
• [definizione] Riferimento proiettivo
• [definizione] Base normalizzata
• [teorema] Esistenza e unicit`a della base normalizzata
• [teorema] Trasformazioni proiettive sono univocamente determinate dal valore su un riferimento
• [teorema] Teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive

Coordinate omogenee

• [definizione] Riferimento proiettivo canonico
• [definizione] Coordinate omogenee
• [definizione] Matrice associata a isomorfismo proiettivo
• [definizione] Equazioni cartesiane proiettive

Spazi proiettivi estendono gli spazi affini

Carte affini

• [definizione] Iperpiano coordinato
• [definizione] Carta affine
• [proposizione] Le carte affini sono ``isomorfe" all'affine
• [definizione] Carta affine
• [definizione] Punti propri e impropri
• [proposizione] Parte affine
• [proposizione] Chiusura proiettiva
• [definizione] Polinomio omogeneo
• [definizione] Punti all'infinito di sottospazi vettoriali
• [proposizione] Rette si incontrano all'infinito se e solo se sono parallele

Approfondimento sulle proiettivit`a

Prospettivit`a

• [definizione] Prospettivit`a
• [proposizione] Le prospettivit`a sono ben definite e sono trasformazioni proiettive
• [teorema] Caratterizzazione delle prospettivit`a

Corrispondenza tra Affinit`a e Proiettivit`a

• [proposizione] Affinit`a come proiettivit`a

Trasformazioni lineari fratte

• [definizione] Infinito
• [definizione] Trasformazione lineare fratta

Dualit`a

• [definizione] Spazio proiettivo duale
• [definizione] Riferimento duale
• [definizione] Corrispondenza di dualit`a
• [teorema] Principio di dualit`a
• [definizione] Sistema lineare di iperpiani
• [definizione] Fascio di iperpiani
• [definizione] Proiettivit`a duale

Birapporto

• [definizione] Birapporto
• [proposizione] Calcolo del birapporto
• [proposizione] Proiettivit`a conservano birapporto
• [proposizione] Criterio del birapporto per l'esistenza di proiettivit`a
• [definizione] Modulo/j-invariante

Coniche proiettive

• [definizione] Conica proiettiva

Equivalenza proiettiva e Classificazione delle coniche

• [definizione] Immagine di una conica tramite una proiettivit`a
• [definizione] Equivalenza proiettiva
• [teorema] Classificazione delle coniche proiettive complesse
• [teorema] Classificazione delle coniche proiettive reali

Parte affine e chiusura proiettiva

• [definizione] Parte affine
• [definizione] Chiusura proiettiva
• [definizione] Punti all'infinito di una conica
• [proposizione] Coniche per 5 punti

Tangenti

Intersezioni con rette e riducibilit`a

• [definizione] Componenti e riducibilit`a
• [proposizione] Numero di intersezioni tra coniche e rette
• [proposizione] Non degenere se e solo se irriducible

Tangenti

• [definizione] Retta tangente
• [proposizione] Equazione della tangente
• [definizione] Tangenti a conica degenere

Polarit`a

• [definizione] Retta polare
• [definizione] Conica duale

Punti reali e punti complessi

• [definizione] Complessificazione

Sistemi lineari di coniche

• [definizione] Sistema lineare di coniche
• [definizione] Punto base