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import TestGame.Metadata
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import Mathlib.Init.Set
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import Mathlib.Tactic.Tauto
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set_option tactic.hygienic false
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set_option autoImplicit false
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Game "TestGame"
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World "SetTheory"
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Level 1
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Title "Mengen"
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Introduction
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"
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In diesem Kapitel schauen wir uns Mengen an.
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Zuerst ein ganz wichtiger Punkt: Alle Mengen in Lean sind homogen. Das heisst,
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alle Elemente in einer Menge haben den gleichen Typ.
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Zum Beispiel `{1, 4, 6}` ist eine Menge von natürlichen Zahlen. Aber man kann keine
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Menge `{(2 : ℕ), {3, 1}, \"e\", (1 : ℂ)}` definieren, da die Elemente unterschiedliche Typen haben.
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Für einen Typen `{X : Type*}` definiert damit also `set X` der Type aller Mengen mit Elementen aus
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`X`. `set.univ` ist dann ganz `X` also Menge betrachtet, und es ist wichtig den Unterschied
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zu kennen: `(univ : set X)` und `(X : Typ*)` haben nicht den gleichen Typ und sind damit auch nicht
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austauschbar!
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Um zu beweisen, dass etwas in `univ` ist, kannst du verschiedenste deiner Taktiken anwenden,
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zum Beispiel `tauto`.
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"
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open Set
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Statement mem_univ
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"4 ist ein Element der Menge aller natürlichen Zahlen." {A : Type _} (x : A) :
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x ∈ (univ : Set A) := by
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trivial
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-- tauto
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Tactics tauto trivial
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