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import Adam.Metadata
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import Mathlib
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set_option tactic.hygienic false
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Game "Adam"
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World "Function"
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Level 5
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Title ""
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Introduction
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"
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Sofort hackt die ältere Gestalt nach:
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"
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open Set Function
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example (f : ℤ → ℤ) (h : StrictMono f) : Injective f := by
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apply StrictMono.injective
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assumption
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-- Odd.strictMono_pow
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Statement "" : Injective (fun (n : ℤ) ↦ n^3 + (n + 3)) := by
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apply StrictMono.injective
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apply StrictMono.add
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apply Odd.strictMono_pow
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trivial
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intro a b
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simp
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NewDefinition Injective
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NewLemma StrictMono.injective StrictMono.add Odd.strictMono_pow
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Hint : Injective fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Du**: Hmm, das ist etwas schwieriger…
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**Robo**: Aber ich hab einen Trick auf Lager:
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Das Lemma `StrictMono.injective` sagt, dass jede strikt monotone Funktion injektive ist,
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und ich habe das Gefühl Monotonie ist hier einfacher zu zeigen."
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HiddenHint : Injective fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Robo**: `apply` ist wonach du suchst."
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Hint : StrictMono fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Du**: Jetzt möchte ich strikte Monotonie von `n ^ 3` und `n + 3` separat zeigen,
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schliesslich scheint es mir als wär das zweite wieder einfach.
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**Robo**: Dafür hab ich `StrictMono.add` bereit!"
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Hint : StrictMono fun (x : ℤ) => x ^ 3 =>
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"**Du**: Hmm, darauf hab ich jetzt wenig Lust. Gibt's dafür auch was? Das gilt ja nur
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wenn der Exponent ungerade ist.
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**Robo**: Du könntest mal `Odd.strictMono_pow` versuchen…"
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HiddenHint : Odd 3 =>
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"**Du**: Ist das nicht ne Trivialität? Warte mal!"
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Hint : StrictMono fun (x : ℤ) => x + 3 =>
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"**Du**: Ha! Und dieser Teil funktioniert sicher gleich wie Injektivität vorhin!"
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Hint (a b : ℤ) : a ^ 3 + (a + 3) = b ^ 3 + (b + 3) → a = b =>
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"**Robo**: Ich glaube, dieser Weg ist zu steinig. Fang doch nochmals von vorne an!
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Hint (a b : ℤ) (h : a ^ 3 + (a + 3) = b ^ 3 + (b + 3)) : a = b =>
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"**Robo**: Ich glaube, dieser Weg ist zu steinig. Fang doch nochmals von vorne an!
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Conclusion "**Du**: Danke vielmals!
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Und damit lässt das Wesen mitten im Gang stehen, wo es weiter über Injektivität nachdenkt."
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