levels Function
This commit is contained in:
Jon Eugster
@@ -73,6 +73,34 @@ DefinitionDoc Odd
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Die Definition kann man mit `unfold odd at *` einsetzen.
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"
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DefinitionDoc Injective
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"
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`Injective f` ist als
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```
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∀ {a b : U}, a < b → f a < f b
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```
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definiert.
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"
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DefinitionDoc Surjective
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"
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"
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DefinitionDoc Bijective
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"
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"
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DefinitionDoc StrictMono
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"
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`StrictMono`
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```
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∀ {a b : U}, f a f b → a = b
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```
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"
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LemmaDoc not_odd as not_odd in "Nat"
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"`¬ (odd n) ↔ even n`"
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@@ -141,3 +169,12 @@ LemmaDoc if_pos as if_pos in "Logic"
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LemmaDoc if_neg as if_neg in "Logic"
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""
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LemmaDoc StrictMono.injective as StrictMono.injective in "Function"
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""
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LemmaDoc StrictMono.add as StrictMono.add in "Function"
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""
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LemmaDoc Odd.strictMono_pow as Odd.strictMono_pow in "Function"
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""
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@@ -3,6 +3,7 @@ import TestGame.Levels.Function.L02_Let
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import TestGame.Levels.Function.L03_Composition
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import TestGame.Levels.Function.L06_Piecewise
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import TestGame.Levels.Function.L07_Injective
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import TestGame.Levels.Function.L07'_Injective
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import TestGame.Levels.Function.L08_Injective
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import TestGame.Levels.Function.L09_Surjective
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import TestGame.Levels.Function.L10_Bijective
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@@ -171,6 +171,9 @@ geschrieben hast."
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Hint (x : ℚ) (h : ¬ 0 ≤ f x) : ¬ 0 ≤ f x =>
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"**Robo**: Dieses Goal ist entstanden, als du `rw [if_neg]` anstatt `rw [if_neg {h}]`
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geschrieben hast."
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#check Set.piecewise
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Conclusion
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"Zufrieden tauschen die beiden Wächter ihren Platz und geben so dabei den
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Durchgang frei."
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end LevelFunction4
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@@ -0,0 +1,79 @@
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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 6
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Title ""
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Introduction
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"
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Sofort hackt die ältere Gestalt nach:
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"
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open Set Function
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example (f : ℤ → ℤ) (h : StrictMono f) : Injective f := by
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apply StrictMono.injective
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assumption
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-- Odd.strictMono_pow
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Statement "" : Injective (fun (n : ℤ) ↦ n^3 + (n + 3)) := by
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apply StrictMono.injective
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apply StrictMono.add
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apply Odd.strictMono_pow
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trivial
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intro a b
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simp
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NewDefinitions Injective
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NewLemmas StrictMono.injective StrictMono.add Odd.strictMono_pow
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Hint : Injective fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Du**: Hmm, das ist etwas schwieriger…
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**Robo**: Aber ich hab einen Trick auf Lager:
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Das Lemma `StrictMono.injective` sagt, dass jede strikt monotone Funktion injektive ist,
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und ich habe das Gefühl Monotonie ist hier einfacher zu zeigen."
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HiddenHint : Injective fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Robo**: `apply` ist wonach du suchst."
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Hint : StrictMono fun (n : ℤ) => n ^ 3 + (n + 3) =>
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"**Du**: Jetzt möchte ich strikte Monotonie von `n ^ 3` und `n + 3` separat zeigen,
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schliesslich scheint es mir als wär das zweite wieder einfach.
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**Robo**: Dafür hab ich `StrictMono.add` bereit!"
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Hint : StrictMono fun (x : ℤ) => x ^ 3 =>
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"**Du**: Hmm, darauf hab ich jetzt wenig Lust. Gibt's dafür auch was? Das gilt ja nur
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wenn der Exponent ungerade ist.
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**Robo**: Du könntest mal `Odd.strictMono_pow` versuchen…"
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HiddenHint : Odd 3 =>
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"**Du**: Ist das nicht ne Trivialität? Warte mal!"
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Hint : StrictMono fun (x : ℤ) => x + 3 =>
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"**Du**: Ha! Und dieser Teil funktioniert sicher gleich wie Injektivität vorhin!"
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Hint (a b : ℤ) : a ^ 3 + (a + 3) = b ^ 3 + (b + 3) → a = b =>
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"**Robo**: Ich glaube, dieser Weg ist zu steinig. Fang doch nochmals von vorne an!
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"
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Hint (a b : ℤ) (h : a ^ 3 + (a + 3) = b ^ 3 + (b + 3)) : a = b =>
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"**Robo**: Ich glaube, dieser Weg ist zu steinig. Fang doch nochmals von vorne an!
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"
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Conclusion "**Du**: Danke vielmals!
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Und ihr läst das Wesen mit im Gang stehen weiter über Injectivität nachdenkend."
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@@ -9,16 +9,30 @@ Title ""
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Introduction
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"
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Ihr läuft durch verschiedenste Leere Gänge des Funktionentempels.
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**Du**: Wenn wir wüssten, dass nur ein möglicher Weg hierhin führt, könnten wir
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ausschliessen, dass wir im Kreis laufen.
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Plötzlich begegnet ihr einem älteren Wesen mit Fakel. Auf die Frage antwortet es mit
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"
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open Set Function
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def f3 : ℕ → ℕ := fun n ↦ if Even n then n^2 else n+1
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#eval (f3 + f3) 2
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example : ¬ f3.Injective := by
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unfold Injective
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push_neg
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use 2
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use 3
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Statement "" : Injective (fun (n : ℤ) ↦ n + 3) := by
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intro a b
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simp
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NewDefinitions Injective
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Hint : Injective (fun (n : ℤ) ↦ n + 3) =>
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"**Robo**: `Injective` ist als `∀ \{a b : U}, f a = f b → a = b`
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definiert, also kannst du mit `intro` anfangen.
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"
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Hint (a b : ℤ) : (fun n => n + 3) a = (fun n => n + 3) b → a = b =>
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"**Du**: Kann man das wohl vereinfachen?"
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Hint (a b : ℤ) (hab : (fun n => n + 3) a = (fun n => n + 3) b) : a = b =>
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"**Robot**: Jetzt musst du wohl `{hab}` vereinfachen."
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Conclusion "**Du** Woa das war ja einfach!"
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@@ -3,17 +3,74 @@ import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 6
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Level 7
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Title ""
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Title "Injektive"
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Introduction
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"
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Weiterirrend kommt ihr an eine Verzweigung.
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**Robo**: Sieht beides gleich aus.
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Ein paar Schritte in den linken Korridor hinein seht ihr gekritzel an der Wand:
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```
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def f : ℕ → ℕ := fun n ↦ if Even n then n^2 else n+1
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```
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**Du**: Hier haben wir eine stückweis definierte Funktion
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$$
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f(n) = \\begin{cases}
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n^2 & \\text{falls } n \\text{ gerade} \\\\
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n+1 & \\text{andernfalls.}
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||||
\\end{cases}
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||||
$$
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||||
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Darunter steht in leicht leuchtender Schrift:
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"
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Statement
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""
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: (fun (n : ℤ) ↦ n + 1).Injective := by
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intro a b hab
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||||
simp at hab
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||||
assumption
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namespace FunctionLvl7
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open Function
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||||
def f : ℕ → ℕ := fun n ↦ if Even n then n^2 else n+1
|
||||
|
||||
Statement "" : ¬ (f + f).Injective := by
|
||||
unfold Injective
|
||||
push_neg
|
||||
use 2
|
||||
use 3
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||||
simp
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||||
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||||
Hint : ¬ (Injective (f + f)) =>
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"
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**Robo**: Das ist sicher ein Hinweis.
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**Du**: Aber `¬ Injective` sagt mir nichts…
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**Robo**: Könntest du etwas mit `¬ ∀` anfangen? Dann könntest du ja `Injektive` zuerst öffnen.
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**Du**: Darüber haben wir doch mal was gelernt…
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"
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HiddenHint : ¬ (Injective (f + f)) =>
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"
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**Robo**: Das war `push_neg`.
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"
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Hint : ∃ a b, (f + f) a = (f + f) b ∧ a ≠ b =>
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"**Du** Jetzt muss ich einfach ein Gegenbeispiel nennen, oder?
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**Robo** Genau! Welche beiden Zahlen möchtest du denn verwenden?"
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Conclusion
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"
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Als ihr das Problem gelöst habt, erschleicht euch ein starkes
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Gefühl, dass dies der falsche Weg ist.
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Also geht ihr zurück und nehmt die rechte Gabelung.
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"
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end FunctionLvl7
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@@ -3,7 +3,7 @@ import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 7
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Level 8
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Title "Surjektive"
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@@ -3,7 +3,7 @@ import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Function"
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Level 8
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Level 9
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Title ""
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Reference in New Issue
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