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import Adam.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.LeftRight
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set_option tactic.hygienic false
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--set_option autoImplicit false
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Game "Adam"
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World "Proposition"
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Level 13
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Title "Oder"
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Introduction
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"
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Der nächste bitte …
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"
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Statement ""
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(A B : Prop) (h : (A ∧ B) ∨ A) : A := by
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Hint "**Robo** Schau mal, wenn du mit dem Finger eine Annahme berührst, zeigt es dir,
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wie die Klammern gesetzt sind. Irre…
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**Du** Ah ich sehe, also `({A} ∧ {B}) ∨ {A}`!
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**Du** Ich glaube den ganzen Zircus hier langsam nicht mehr:
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Zuerst ein \"Und\" im Ziel, dann \"Und\" in der Annahme, dann \"Oder\" im Ziel und jetzt
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\"Oder\" in der Annahme, die haben sich doch abgesprochen!
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**Robo** Lass ihnen doch ihren Spaß.
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Wir sind ja gleich hier fertig, und können zu einem interessanteren Planeten weiterfliegen.
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**Du** Also, wieder `rcases …`?
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**Robo** Ja, aber diesmal nicht `rcases {h} with ⟨h₁, h₂⟩`, sondern `rcases {h} with h | h`."
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rcases h with h | h
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Hint "**Robo**
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Jetzt musst Du Dein Ziel zweimal beweisen:
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Einmal unter Annahme der linken Seite `{A} ∨ {B}`,
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und einmal unter Annahme der rechten Seite `{A}`.
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Hier haben nehmen wir an, die linke Seite
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sei wahr."
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Hint (hidden := true) " **Robo** Wie man mit einem Und in den Annahmen umgeht,
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weißt Du doch schon:
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`rcases h with ⟨h₁, h₂⟩`. Zur Erinnerung: Für die Klammern schreibst Du `\\<>`."
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rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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Hint "**Robo** Jetzt musst Du Dein Ziel zweimal beweisen:
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Einmal unter Annahme der linken Seite `{A}`,
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und einmal unter Annahme der rechten Seite `{A} ∨ {B}`. Hier haben nehmen wir an, die linke Seite
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sei wahr."
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assumption
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assumption
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Conclusion
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"**Du** Ok, das scheint ihn zufriedenzustellen. Nur noch eine Seele…
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Kannst Du mir vorher noch einmal kurz alles Leansch zusammenfassen,
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das Du mir bis hierher beigebracht hast?
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Robo strahlt überglücklich. Noch *nie* warst Du so auf ihn angewiesen.
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**Robo** Na klar, schau her!
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## Notationen / Begriffe
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| | Beschreibung |
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| *Goal* | Was aktuell zu beweisen ist. |
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| *Annahme* | Objekte & Resultate, die man zur Verfügung hat. |
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| *Taktik* | Befehl im Beweis. Entspricht einem Beweisschritt. |
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| `ℕ` | Typ aller natürlichen Zahlen. |
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| `0, 1, 2, …` | Explizite natürliche Zahlen. |
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| `=` | Gleichheit. |
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| `≠` | Ungleichheit. Abkürzung für `¬(·=·)`. |
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| `Prop` | Typ aller logischen Aussagen. |
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| `True` | Die logische Aussage `(True : Prop)` ist bedingungslos wahr. |
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| `False` | Die logische Aussage `(False : Prop)` ist bedingungslos falsch. |
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| `¬` | Logische Negierung. |
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| `∧` | Logisch UND. |
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| `∨` | Logisch ODER. |
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| `(n : ℕ)` | Eine natürliche Zahl. |
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| `(A : Prop)` | Eine logische Aussage. |
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| `(ha : A)` | Ein Beweis, dass die logische Aussage `(A : Prop)` wahr ist. |
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| `(h : A ∧ B)` | Eine Annahme, die den Namen `h` bekommen hat. |
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| `⟨·,·⟩` | Schreibweise für Struktur mit mehreren Feldern (kommt später im Detail). |
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| `h.1, h.2, …` | Die einzelnen Felder der Stuktur. Auch `h.[Name des Feldes]` |
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## Taktiken
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Die Worte, die Du aktiv gebrauchen musst, heißen zusammengefasst `Taktiken`. Hier sind alle Taktiken, die wir auf diesem Planeten gebraucht haben:
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| | Taktik | Beispiel |
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|:---|:--------------------------|:--------------------------------------------------|
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| 1 | `rfl` | Beweist `A = A`. |
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| 2 | `assumption` | Sucht das Goal in den Annahmen. |
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| 3 | `contradiction` | Sucht einen Widerspruch. |
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| 4 | `trivial` | Kombiniert die obigen drei Taktiken (und mehr). |
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| 5 | `constructor` | Teilt ein UND im Goal auf. |
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| 6 | `left`/`right` | Beweist eine Seite eines ODER im Goal. |
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| 7ᵃ | `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩` | Teilt ein UND in den Annahmen auf. |
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| 7ᵇ | `rcases h with h \\| h` | Teilt ein ODER in den Annahmen in zwei Fälle auf. |
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**Du** Woher weißt Du das eigentlich alles?
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**Robo** Keine Ahnung. War, glaube ich, vorinstalliert.
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NewTactic assumption rcases
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DisabledTactic tauto
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