Modified starter level.
Jon Eugster
2 years ago
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b02d55de34
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1eb0ac63e3
@ -1,90 +0,0 @@
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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Logic"
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Level 14
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Title "Und"
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Introduction
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"
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Das logische UND `A ∧ B` (`\\and`) funktioniert sehr ähnlich zum Iff (`↔`).
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Grund dafür ist, dass `A ∧ B` auch eine Struktur aus zwei Teilen ist, nämlich
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der linken und rechten Seite.
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Man can also genau gleich `constructor` und `rcases` anwenden, ebenso kann man
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`.1` und `.2` für die Einzelteile brauchen, diese heissen lediglich
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`h.left` und `h.right` anstatt `.mp` und `.mpr`.
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"
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Statement
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"Zeige $(A \\land (A \\Rightarrow B)) \\iff (A \\land B)$."
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(A B : Prop) : (A ∧ (A → B)) ↔ (A ∧ B) := by
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constructor
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intro h
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rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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constructor
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assumption
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apply h₂
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assumption
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intro h
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rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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constructor
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assumption
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intro
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assumption
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
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"`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` zerlegen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) → A ∧ B =>
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"Hier würdest du mit `intro` die Implikation angehen.
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(Experten können mit `intro ⟨h₁, h₂⟩` im gleichen Schritt noch ein `rcases` auf
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das UND in der Implikationsannahme)"
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-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
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"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."
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Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
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"Wie wär's mit `apply`? Hast du ne Implikation, die anwendbar ist?"
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-- Rückrichtung
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Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ B → A ∧ (A → B) =>
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"Das Goal ist ne Implikation $\\ldots \\Rightarrow \\ldots$
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Da hilft `intro`.
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(auch hier kann man wieder mit `intro ⟨ha, hb⟩` gleich noch die Premisse zerlegen.)"
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-- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
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"Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` zerlegen."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
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"Wieder in Einzelteile zerlegen..."
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Message (A : Prop) (B : Prop) (ha : A) (hb : B) : A ∧ (A → B) =>
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"Immer das gleiche ... noch mehr zerlegen."
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
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-- "Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
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-- wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).
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-- Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
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-- dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
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-- dass `B` wahr ist."
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-- TODO
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Tactics apply rcases
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Tactics assumption
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@ -0,0 +1,14 @@
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import TestGame.Levels.Proposition.L01_Rfl
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import TestGame.Levels.Proposition.L02_Assumption
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import TestGame.Levels.Proposition.L03_Assumption
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import TestGame.Levels.Proposition.L04_True
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import TestGame.Levels.Proposition.L05_Not
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import TestGame.Levels.Proposition.L06_False
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import TestGame.Levels.Proposition.L07_ContraNotEq
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import TestGame.Levels.Proposition.L08_Contra
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import TestGame.Levels.Proposition.L09_And
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import TestGame.Levels.Proposition.L10_And
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import TestGame.Levels.Proposition.L11_Or
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import TestGame.Levels.Proposition.L12_Or
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import TestGame.Levels.Proposition.L13_Or
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import TestGame.Levels.Proposition.L14_Summary
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@ -0,0 +1,34 @@
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import TestGame.Metadata
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Game "TestGame"
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World "Proposition"
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Level 4
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Title "True/False"
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Introduction
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"
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Unter den logischen Aussagen gibt es zwei spezielle Aussagen:
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- `True` ist eine Aussage, die immer und bedingungslos wahr ist.
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- `False` ist eine Aussage, die nie wahr ist.
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Die Aussage `True` werden wir kaum brauchen, die Aussage `False` ist jedoch wichtig, sie
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repräsentiert einen Widerspruch. Mehr dazu in den nächsten Levels.
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**Beachte**, dass beide gross geschrieben werden. In Lean gibt es auf das klein geschriebene
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`true` und `false`, diese sind aber etwas anderes (Typ `Bool` und nicht `Prop`)
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und werden erst mal nicht gebraucht.
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Wir können `True` aus dem nichts mit der Taktik `trivial` beweisen.
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*Bemerkung: Was die Taktik `trivial` kann und nicht kann bleibt in diesem Spiel ein bisschen eine Blackbox,
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aber manchmal ist sie nützlich.*
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"
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Statement "" : True := by
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trivial
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Conclusion ""
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Tactics trivial
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@ -0,0 +1,22 @@
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import TestGame.Metadata
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Game "TestGame"
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World "Proposition"
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Level 5
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Title "Not"
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Introduction
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"
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Wenn eine Aussage `(A : Prop)` wahr oder falsch ist, dann ist die Umkehrung \"nicht $A$\",
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geschrieben `¬A` (`\\not`), gegenteilig falsch oder wahr.
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Da die Aussage `False` nie wahr ist, ist die Aussage `¬False` immer wahr, genau wie `True`.
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"
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Statement "Zeige dass die Aussage `¬False` immer wahr ist." : ¬False := by
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trivial
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Conclusion ""
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Tactics trivial
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@ -0,0 +1,105 @@
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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Proposition"
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Level 10
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Title "Und"
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Introduction
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"
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Hat man ein UND `(h : A ∧ B)` in den Annahmen, möchte man normalerweise die einzelnen Felder
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(linke/rechte Seite) einzeln verwenden. Dazu hat man zwei Möglichkeiten:
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1. Mit `h.left` und `h.right` (oder `h.1` und `h.2`) kann man die Felder direkt auswählen.
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2. Mit `rcases h with ⟨h₁, h₂⟩` kann man die Struktur `h` zerlegen und man erhält zwei
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separate Annahmen `(h₁ : A)` und `(h₂ : B)`
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Die Klammern `⟨·,·⟩` sind `\\<` und `\\>` oder `\\<>` als Paar.
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"
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Statement "Benutze `rcases` um das UND in `(h : A ∧ (B ∧ C))` zu zerlegen und beweise, dass $B$ wahr ist."
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(A B C : Prop) (h : A ∧ (B ∧ C)) : B := by
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rcases h with ⟨_, ⟨g , _⟩⟩
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assumption
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Message (A : Prop) (B : Prop) (C : Prop) (h : A ∧ (B ∧ C)) : B =>
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"Du kannst mit `rcases` auch verschachtelt mehrere Strukturen in einem Schritt zerlegen:
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`rcases h with ⟨h₁, ⟨h₂ , h₃⟩⟩`."
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Hint (A : Prop) (hA : A) : A =>
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"Du hast einen Beweis dafür in den *Annahmen*."
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Tactics constructor assumption
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-- Statement
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-- "Zeige $(A \\land (A \\Rightarrow B)) \\iff (A \\land B)$."
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-- (A B : Prop) : (A ∧ (A → B)) ↔ (A ∧ B) := by
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-- constructor
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-- intro h
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-- rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
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-- constructor
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-- assumption
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-- apply h₂
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-- assumption
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||||
-- intro h
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||||
-- rcases h with ⟨h₁, h₂⟩
|
||||
-- constructor
|
||||
-- assumption
|
||||
-- intro
|
||||
-- assumption
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) ↔ A ∧ B =>
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-- "`↔` oder `∧` im Goal kann man mit `constructor` zerlegen."
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ (A → B) → A ∧ B =>
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-- "Hier würdest du mit `intro` die Implikation angehen.
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-- (Experten können mit `intro ⟨h₁, h₂⟩` im gleichen Schritt noch ein `rcases` auf
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-- das UND in der Implikationsannahme)"
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-- -- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ (A → B)) : A ∧ B =>
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-- "Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ (A → B)` mit `rcases` aufteilen."
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-- Hint (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : B =>
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-- "Wie wär's mit `apply`? Hast du ne Implikation, die anwendbar ist?"
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-- -- Rückrichtung
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) : A ∧ B → A ∧ (A → B) =>
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-- "Das Goal ist ne Implikation $\\ldots \\Rightarrow \\ldots$
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-- Da hilft `intro`.
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-- (auch hier kann man wieder mit `intro ⟨ha, hb⟩` gleich noch die Premisse zerlegen.)"
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-- -- if they don't use `intro ⟨_, _⟩`.
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (h : A ∧ B) : A ∧ (A → B) =>
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-- "Jetzt erst mal noch schnell die Annahme `A ∧ B` mit `rcases` zerlegen."
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (hA : A) (h : A → B) : A ∧ B =>
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-- "Wieder in Einzelteile zerlegen..."
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-- Message (A : Prop) (B : Prop) (ha : A) (hb : B) : A ∧ (A → B) =>
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-- "Immer das gleiche ... noch mehr zerlegen."
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-- -- Message (A : Prop) (B : Prop) (h₁: A) (h₂: B) : A → B =>
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-- -- "Das ist jetzt vielleicht etwas verwirrend: Wir wollen die Implikation `A → B` zeigen,
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-- -- wissen aber, dass `B` immer wahr ist (habe eine Annahme der Form `(hB : B)`).
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-- -- Mit intro können wir einfach nochmal annehmen, dass `A` wahr ist. Es stört uns nicht,
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-- -- dass wir das schon wissen und auch gar nicht brauchen. Damit müssen wir nur noch zeigen,
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-- -- dass `B` wahr ist."
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-- -- TODO
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-- Tactics apply rcases
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-- Tactics assumption
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