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import Mathlib.Algebra.BigOperators.Basic
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import Mathlib
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import TestGame.Metadata
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set_option tactic.hygienic false
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Game "TestGame"
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World "Induction"
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Level 2
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Title "endliche Summe"
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Introduction
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"
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Jetzt wollen wir ein paar Lemmas zu Summen kennenlernen, die `simp` nicht automatisch
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verwendet.
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Als erstes, kann man eine endliche Summe $\\sum_{i = 0}^n a_i + b_i$ mit
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`rw [Finset.sum_add_distrib]` als zwei Summen $\\sum_{i = 0}^n a_i + \\sum_{j = 0}^n b_j$
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auseinandernehmen.
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Insbesondere ist auch zu beachten, dass der Index `i` keine natürliche Zahl ist, sondern
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vom Typ `Fin n`, das heisst, man muss diesen eigentlich immer mit `(i : ℕ)`
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als natürliche Zahl verwenden.
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"
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Statement
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"Zeige dass $\\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1) = n + \\sum_{i=0}^{n-1} i$."
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(n : ℕ) : ∑ i : Fin n, ((i : ℕ) + 1) = n + (∑ i : Fin n, (i : ℕ)) := by
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rw [Finset.sum_add_distrib]
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simp
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ring
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Tactics rw simp ring
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