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import TestGame.Metadata
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Induction"
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Level 3
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Title "Induktion"
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Introduction
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"
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Induktion ist eine wichtige Beweismethode, nicht zuletzt auch wenn es um endliche Summen geht.
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Die Taktik `induction' n with n n_ih` teilt das Goal in zwei Goals auf:
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1. Induktionsanfang, wo `n` durch `0` ersetzt wird.
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2. Induktionsschritt, wo `n` durch `n.succ` (also `(n + 1)`) ersetzt wird und man die
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Induktionshypothese als Annahme `n_ih` kriegt.
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Für den Induktionsschritt braucht man fast immer zwei technische Lemmas:
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- `Fin.sum_univ_castSucc` um $\\sum_{i=0}^{n} a_i$ als
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$\\sum_{i=0}^{n-1} a_i + a_n$ umzuschreiben.
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- `nat_succ` um `n.succ` zu `n + 1` umzuschreiben.
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"
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-- Note: I don't want to deal with Nat-division, so I stated it as `2 * ... = ...` instead.
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open BigOperators
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Statement arithmetic_sum
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"Zeige $\\sum_{i = 0}^n i = \\frac{n \\cdot (n + 1)}{2}$."
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(n : ℕ) : 2 * (∑ i : Fin (n + 1), ↑i) = n * (n + 1) := by
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induction' n with n hn
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simp
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rw [Fin.sum_univ_castSucc]
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rw [mul_add]
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simp
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rw [mul_add, hn]
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simp_rw [Nat.succ_eq_one_add]
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ring
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NewTactics ring
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