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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.Contrapose
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import Mathlib.Tactic.Use
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import TestGame.ToBePorted
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Game "TestGame"
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World "Nat"
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Level 3
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Title "Gerade/Ungerade"
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Introduction
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"
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Gerade/ungerade werden in Lean wie folgt definiert:
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```
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def even (n : ℕ) : Prop := ∃ r, n = 2 * r
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def odd (n : ℕ) : Prop := ∃ r, n = 2 * r + 1
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```
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Also dadurch, dass ein `(r : ℕ)` existiert sodass `n = 2 * r (+1)`.
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Beachte das Komma `,` welches die Variablen des `∃` (`\\exists`) von der Aussage trennen.
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Hierzu gibt es 3 wichtige Taktiken:
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1) Definitionen wie `even` kann man mit `unfold even at *` im Infoview einsetzen.
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Das ändert Lean-intern nichts und ist nur für den Benutzer. Man kann auch einen
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Term `(h : even x)` einfach so behandeln als wäre es ein Term `(h : ∃ r, x = 2 * r)`.
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2) Bei einer Annahme `(h : ∃ r, ...)` kann man mit `rcases h with ⟨y, hy⟩` ein solches `y`
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Auswählen, dass die Annahme `h` erfüllt.
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3) Bei einem `∃` im Goal muss man ein Element `y` angeben, welches diese Aussage erfüllen
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soll. Das macht man mit `use y`
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"
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Statement even_square "" (n : ℕ) (h : even n) : even (n ^ 2) := by
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unfold even at *
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rcases h with ⟨x, hx⟩
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use 2 * x ^ 2
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rw [hx]
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ring
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-- TODO: Server PANIC because of the `even`.
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--
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Message (n : ℕ) (h : even n) : even (n ^ 2) =>
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"Wenn du die Definition von `even` nicht kennst, kannst du diese mit `unfold even` oder
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`unfold even at *` ersetzen.
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Note: Der Befehl macht erst mal nichts in Lean sondern nur in der Anzeige. Der Beweis funktioniert
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genau gleich, wenn du das `unfold` rauslöscht."
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Message (n : ℕ) (h : ∃ r, n = 2 * r) : ∃ r, n ^ 2 = 2 * r =>
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"Ein `∃ x, ..` in den Annahmen kann man wieder mit `rcases h with ⟨x, hx⟩` aufteilen, und
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ein `x` erhalten, dass die Aussage erfüllt."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : ∃ r, n ^ 2 = 2 * r =>
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"Bei einem `∃ x, ..` im Goal hingegen, muss man mit `use y` das Element angeben, dass
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die Aussage erfüllen soll."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : ∃ r, (x + x) ^ 2 = r + r =>
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"Bei einem `∃ x, ..` im Goal hingegen, muss man mit `use y` das Element angeben, dass
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die Aussage erfüllen soll."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : n ^ 2 = 2 * x ^ 2 + 2 * x ^ 2 =>
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"Prinzipiell löst `ring` simple Gleichungen wie diese. Allerdings musst du zuerst `n` zu
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`x + x` umschreiben..."
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Message (n : ℕ) (x : ℕ) (hx : n = x + x) : (x + x) ^ 2 = 2 * x ^ 2 + 2 * x ^ 2 =>
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"Die Taktik `ring` löst solche Gleichungen."
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Tactics unfold rcases use rw ring
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