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import TestGame.Metadata
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import Std.Tactic.RCases
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import Mathlib.Tactic.Contrapose
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import Mathlib.Tactic.Use
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import Mathlib.Tactic.Ring
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import TestGame.ToBePorted
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Game "TestGame"
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World "Proving"
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Level 3
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Title "Kontraposition"
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Introduction
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"
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Im Gegensatz dazu kann man auch einen Beweis durch Kontraposition führen.
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Das ist kein Widerspruch, sondern benützt dass `A → B` und `(¬ B) → (¬ A)`
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logisch equivalent sind.
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Wenn das Goal eine Implikation ist, kann man `contrapose` anwenden.
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"
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Statement
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"Ist n² ungerade, so ist auch n ungerade. Beweise durch Kontraposition."
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(n : ℕ) : odd (n ^ 2) → odd n := by
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contrapose
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rw [not_odd]
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rw [not_odd]
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apply even_square
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Message (n : ℕ) (h : odd (n ^ 2)) : odd n =>
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"`intro` wär generell ein guter Ansatz! Aber hier wollen wir `contrapose` benützen, was eine
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Implikation benötigt, deshalb ist `intro` hier der falsche Weg!"
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Message (n : ℕ) : odd (n ^ 2) → odd n =>
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"Mit `contrapose` kann man die Implikation zu
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`¬ (even n) → ¬ (even n^2)` umkehren."
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Hint (n : ℕ) : ¬odd n → ¬odd (n ^ 2) => "Du kennst bereits ein Lemma um `¬ odd ...` mit `rw`
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umzuschreiben"
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Message (n : ℕ) : even n → ¬odd (n ^ 2) => "rw [not_odd] muss hier zweimal angewendet werden,
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da rw das erste Mal `not_odd n` gebraucht hat und das zweite Mal `not_odd (n^2)` benützt."
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Message (n : ℕ) : even n → even (n ^ 2) => "Diese Aussage hast du bereits als Lemma bewiesen."
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Tactics contrapose rw apply
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Lemmas even odd not_even not_odd even_square
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