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2023-03-29 15:37:21 +02:00
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commit 4ae7e0eab6
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@@ -29,8 +29,8 @@ Statement (A B : Prop) (mp : A → B) (mpr : B → A) : A ↔ B := by

 Conclusion
 "
-**Robo**: Übrigens, bei `(h : A ∧ B)` haben die beiden Teile `h.left` und `h.right` geheissen,
-hier bei `(h : A ↔ B)` heissen sie `h.mp` und `h.mpr`.
+**Robo**: Übrigens, bei `(h : A ∧ B)` haben die beiden Teile `h.left` und `h.right` geheißen,
+hier bei `(h : A ↔ B)` heißen sie `h.mp` und `h.mpr`.

 **Du**: Also `h.mp` ist `A → B`? Wieso `mp`?

@@ -29,21 +29,8 @@ Fast immer wenn man Gleichheiten von Mengen zeigen muss, will man diese in zwei
 aufteilen.
 "

-namespace MySet
-
 open Set Subset

-- Copied some lemmas from `Matlib.Data.Set.Basic` in order to not import the entire file.
-theorem tmp {α : Type _} {s t : Set α} : s = t → s ⊆ t :=
-  fun h₁ _ h₂ => by rw [← h₁] ; exact h₂
-
-theorem Subset.antisymm_iff {α : Type _} {a b : Set α} : a = b ↔ a ⊆ b ∧ b ⊆ a :=
-  ⟨fun e => ⟨tmp e, tmp e.symm⟩, fun ⟨h₁, h₂⟩ => Set.ext fun _ => ⟨@h₁ _, @h₂ _⟩⟩
-
-@[simp]
-theorem empty_subset {α : Type _} (s : Set α) : ∅ ⊆ s :=
-  fun.
-
 Statement subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) :
    s ⊆ ∅ ↔ s = ∅ := by
  Hint "**Du**: Ja, die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge.
@@ -53,16 +40,16 @@ Statement subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) :
  Hint (hidden := true) "**Robo**: Fang doch einmal mit `constructor` an."
  constructor
  intro h
-  Hint "**Robo**: "
+  Hint "**Robo**: Gleichheit zwischen Mengen kann man zum Beispiel zeigen,
+  indem man `A ⊆ B` und `B ⊆ A` zeigt.
+
+  Dieser Schritt ist `apply Subset.antisymm`"
  apply Subset.antisymm
  assumption
-  simp only [empty_subset]
-  intro a
-  rw [Subset.antisymm_iff] at a
-  rcases a with ⟨h₁, h₂⟩
-  assumption
+  Hint "**Robo**: Hier ist das Lemma `empty_subset` hilfreich."
+  apply empty_subset
+  intro h
+  rw [h]

 DisabledTactic tauto
-NewLemma Subset.antisymm Subset.antisymm_iff empty_subset
-
-end MySet
+NewLemma Set.Subset.antisymm Set.Subset.antisymm_iff Set.empty_subset
@@ -12,39 +12,23 @@ Game "Adam"
 World "SetTheory"
 Level 5

-Title "Nonempty"
+Title "Empty"

 Introduction
 "
-Das Gegenteil von `A = ∅` ist `A ≠ ∅`, aber in Lean wird der Ausdruck `A.Nonempty` bevorzugt.
-Dieser ist dadurch existiert, dass in `A` ein Element existiert: `∃x, x ∈ A`.
-
-Zeige dass die beiden Ausdrücke äquivalent sind:
+Zeige folgendes Lemma, welches wir gleich brauchen werden:
 "

-namespace MySet
-
 open Set

-theorem subset_empty_iff {A : Type _} (s : Set A) : s ⊆ ∅ ↔ s = ∅ := by
-  constructor
-  intro h
-  rw [Subset.antisymm_iff]
-  constructor
-  assumption
-  simp only [empty_subset]
-  intro a
-  rw [Subset.antisymm_iff] at a
-  rcases a with ⟨h₁, h₂⟩
-  assumption

 Statement eq_empty_iff_forall_not_mem
 ""
    {A : Type _} (s : Set A) :
    s = ∅ ↔ ∀ x, x ∉ s := by
+  Hint "Das Lemma `subset_empty_iff` von letzter Aufgabe könnte hilfreich sein."
  rw [←subset_empty_iff]
  rfl -- This is quite a miracle :)

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
-
-end MySet
+NewLemma Set.subset_empty_iff
@@ -25,9 +25,13 @@ Statement nonempty_iff_ne_empty
 ""
    {A : Type _} (s : Set A) :
    s.Nonempty ↔ s ≠ ∅ := by
-  rw [Set.Nonempty]
+  Hint "Am besten fängst du mit `unfold Set.Nonempty` an."
+  unfold Set.Nonempty
+  Hint "Mit `ne_eq` und `eq_empty_iff_forall_not_mem` kannst du hier weiterkommen."
  rw [ne_eq, eq_empty_iff_forall_not_mem]
+  Hint (hidden := true) "`push_neg` kann hier helfen."
  push_neg
  rfl

-NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma ne_eq Set.eq_empty_iff_forall_not_mem
+NewDefinition Set.Nonempty
@@ -31,3 +31,4 @@ Statement
  rw [univ_union]

 NewTactic constructor intro rw assumption rcases simp tauto trivial
+NewLemma Set.diff_inter Set.union_assoc Set.union_diff_distrib Set.univ_union