levels

server/adam/Adam/Levels/SetFunction/L01_Image.lean

@@ -9,31 +9,38 @@ Title ""
 
 open Set
 
+set_option tactic.hygienic false
+
 Introduction
 "
-Wenn man mit Abildungen auf Mengen arbeitet, muss man in Lean etwas aufpassen, um
-die Typen (z.B. `(U : Type _)`) und Mengen von diesen Typen (z.B. `(S : Set U)`)
-zu unterscheiden.
-
-Abbildungen sind prinzipiell immer auf Typen definiert. Wenn eine Funktion nicht
-auf dem ganzen Typen definiert ist, hat man prinzipiell zwei Optionen:
-
-1. Nach dem Motto \"Chunk in, chunk out\" werden in der Mathlib Funktionen
-oft einfach auf irgendwas gesetzt wenn sie nicht definiert sind, so gibt `1 / 0` in `ℕ`
-einfach `0`. Dies funktioniert, weil dann alle relevanten Theoreme, die von `x / n`
-handeln, dann Annahmen der Form `(h : n ≠ 0)` haben.
-2. Man kann auch Funktionen auf *Subtypen* definieren, also z.B. auf `ℕ+`.
-
+Das Bild einer Funktion ist eine Menge, die als `f '' S` geschrieben wird.
+In der Mathe ist das normalerweise als $f(S)$ geschrieben.
 
+Mit `ext i` kann man Gleichheit von Mengen angehen.
 "
 
 
+-- Wenn man mit Abildungen auf Mengen arbeitet, muss man in Lean etwas aufpassen, um
+-- die Typen (z.B. `(U : Type _)`) und Mengen von diesen Typen (z.B. `(S : Set U)`)
+-- zu unterscheiden.
+
+-- Abbildungen sind prinzipiell immer auf Typen definiert. Wenn eine Funktion nicht
+-- auf dem ganzen Typen definiert ist, hat man prinzipiell zwei Optionen:
+
+-- 1. Nach dem Motto \"Junk in, junk out\" werden in der Mathlib Funktionen
+-- oft einfach auf irgendwas gesetzt wenn sie nicht definiert sind, so gibt `1 / 0` in `ℕ`
+-- einfach `0`. Dies funktioniert, weil dann alle relevanten Theoreme, die von `x / n`
+-- handeln, dann Annahmen der Form `(h : n ≠ 0)` haben.
+-- 2. Man kann auch Funktionen auf *Subtypen* definieren, also z.B. auf `ℕ+`.
+
+
 --     /- Image of Union -/
 -- lemma image_unionₓ
 
 Statement
 ""
     (S T : Set ℕ) (f : ℕ → ℕ) : (f '' S) ∪ (f '' T) = f '' (S ∪ T) := by
+  Hint "Fang mal mit `ext i` an."
   ext i
   rw [mem_union]
   simp_rw [mem_image]
@@ -63,3 +70,6 @@ Statement
   constructor
   assumption
   assumption
+
+NewTactic ext
+LemmaTab "Set"

server/adam/Adam/Levels/SetFunction/L02_Preimage.lean

@@ -7,15 +7,27 @@ Level 2
 
 Title ""
 
+open Set
+
 Introduction
 "
+Das Urbild einer Menge `U` unter einer Funktion `f` ist mit `f ⁻¹' U` bezeichnet.
+
+Note: `f ⁻¹` ist das abstrakte, gruppentheoretische Inverse von `f`, was generell nicht existieren muss,
+deshalb wurde die andere Notation hier gewählt
+
 "
 
 Statement
-""
     (U : Set ℕ) (f : ℕ → ℕ) : U ⊆ f ⁻¹' (f '' U) := by
+  Hint "Fang wieder mal mit `intro` an."
   intro x hx
+  Hint "Mit `rw [preimage]` kannst du sehen, wie das Urbild definiert ist."
+  rw [preimage]
+  Hint "Also musst du jetzt ein Element `y` angeben sodass `f y` in `f '' U` liegt."
   use x
   constructor
   assumption
   rfl
+
+NewDefinition Set.preimage

server/adam/Adam/Levels/SetFunction/L04_ImageUnion.lean

@@ -9,6 +9,8 @@ Title ""
 
 Introduction
 "
+Wenn man Aussagen über Familien von Mengen machen will, macht man das mit
+`(N : I → Set V)`, also also Funktionen von einer Indexmenge.
 "
 
 Statement