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import TestGame.Metadata
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import Mathlib
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Game "TestGame"
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World "Numbers"
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Level 1
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Title ""
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Introduction
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"
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-- Level name : Positive natürliche Zahlen
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import data.pnat.basic
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/-
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In diesem Level lernst du neben `ℕ` weitere Arten von
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Zahlen kennen: `ℕ+`,`ℤ`, `ℚ`, `ℝ`, `ℂ`.
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Manchmal sieht man in der Literatur Diskussionen, ob die natürlichen Zahlen jetzt bei `0` oder `1`
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anfangen, wobei zumindest in der formalisierten Mathematik (z.B. ZFC-Mengenlehre)
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eigentlich immer `ℕ = {0, 1, 2, 3, …}` definiert wird.
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So ist auch in Lean `1` als `0.succ` und `2 = 1.succ = 0.succ.succ` definiert und
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Lean hat eine separate Notation `ℕ+` (oder `pnat`) für alle *positiven* natürlichen Zahlen.
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Dies ist als Sub-Typ von `ℕ` definiert:
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`def pnat := {n : ℕ // 0 < n}`
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ein Element `(p : ℕ+)` besteht also aus einer natürlichen Zahl `(p.val : ℕ)`
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(oder auch `p.1`, wobei `p.val` bevorzugt ist) sowie einem Beweis, dass diese positiv ist,
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`p.property` (oder `p.2`).
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Solche Strukturen mit mehr als einem Feld kann man in Lean mit dem anonymen Konstruktor `⟨_, _⟩`
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erstellen, wie du schon einmal beim `∃` gesehen hast: `(⟨n, h⟩ : ℕ+)`
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"
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Statement
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""
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(a : ℕ+) : (a : ℕ) ≠ 0 := by
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apply ne_of_gt
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rcases a with ⟨a, ha⟩
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assumption
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-- -/
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-- /- Hint : a.property
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-- `have ha := a.property` speichert die `ℕ+`-Eigenschaft dass `0 < a.val`
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-- gilt als neue Variable.
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-- -/
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-- /- Hint : ne_of_lt/ne_of_gt
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-- `a < b → a ≠ b`
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-- oder
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-- `a < b → b ≠ a`
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-- alternativ kannst du auch mit `symmetry` ein symmetrischen Goal drehen.
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-- -/
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-- /- Lemma : no-side-bar
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-- Beweise.
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-- -/
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-- example (a : ℕ+) : (a : ℕ) ≠ 0 :=
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-- begin
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-- have ha := a.property,
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-- symmetry,
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-- apply ne_of_lt,
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-- exact ha,
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-- end
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-- /- Axiom : ne_of_lt
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-- `a < b → a ≠ b`.
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-- -/
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-- /- Axiom : ne_of_gt
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-- `a < b → b ≠ a`.
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-- -/
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-- /- Tactic : symmetry
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-- Dreht ein symmetrisches Goal wie `A = B`, `A ≠ B`, `A ↔ B`, ...
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-- -/
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