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@@ -22,3 +22,32 @@ La prima metà del tutorato si è conclusa.
 Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino.
 <a href="/materiale/simulazione_secondo_compitino_aritmetica.pdf">Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni</a>.
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+### Esercizi Settimana del 16 dicembre
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+## Esercizio 1
+Sia \( R \) un anello senza nilpotenti, ossia tale che se \( x^n = 0 \) per qualche \( n \), allora necessariamente \( x = 0 \). Sappiamo inoltre che, per ogni \( a, b \in R \), vale \( (ab)^2 = a^2 \cdot b^2 \). Dimostrare che \( R \) è commutativo.
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+## Esercizio 2
+Consideriamo l'anello \( A \) delle funzioni continue \( [0, 1] \to \mathbb{R} \), dove la struttura di anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.
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+Siano adesso, per \( n \geq 2 \), \( f_1, \dots, f_n \) delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano tutte contemporaneamente.
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+1. Mostrare che l'ideale da loro generato \( (f_1, \dots, f_n) \) è tutto \( A \).
+2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali \( I \subset A \) e conseguentemente chi è il campo \( A/I \).
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+## Esercizio 3
+Definiamo *caratteristica* di un anello \( A \) in maniera grezza come "il minimo numero \( n \) tale che sommando \( n \) volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a \( 0 \)". Tale caratteristica può essere \( 0 \) quando \( n \) è infinito (ossia non arrivo mai a \( 0 \) ) oppure un numero positivo.
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+Supponiamo adesso \( A \) campo.
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+1. Che valori può avere \( n \)?
+2. Esiste un campo con \( n \) elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono \( \mathbb{F}_n \to A \)? Questi oggetti si chiamano "*oggetti iniziali*" (in un appropriato contesto).
+3. Cosa abbiamo usato di \( A \) campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo \( A \) dominio.
+4. Esiste un dominio con \( 15 \) elementi? E con \( 64 \)?
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+## Esercizio 4
+L'unità immaginaria \( i \) è contenuta nell'estensione dei razionali \( \mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2}) \)? E \( \sqrt{5} \) in \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)?
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+## Esercizio 5
+Quanti polinomi irriducibili di grado \( n \) esistono nell'anello \( \mathbb{F}_p[x] \)?
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