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Domande orali Algebra 2	true

f:A^m\to A^n , cosa possiamo dire su m,n?
Quando \text{Supp}(M) è vuoto? Uno tra \text{Supp}(M), \text{Supp}(N) vuoto implica \text{Supp}(M\otimes N) vuoto.
\mathbb{K}[x_2,x_4,...]\to\mathbb{K}[x_1,...,x_n], come trovo gli ideali contratti?

Impostare il discorso sul teorema di struttura sui PID, e unicità.
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} come \mathbb{Z}-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
C'è unicità nella decomposizione in irriducibili?

Relazioni fra dimensione di krull di A/I e di A/\sqrt{I}
Se A=\mathbb{K}[x_1,...,x_n] che relazione c'è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
Decomposizione primaria
Chi è il prodotto tensoriale di A/I e A/J
Trovare un anello con esattamente n ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
Che relazioni ci sono fra Noetheriano e UFD?

Ideali di S^{-1}A, corrispondenze, e qualche relazione.
Studiare un po’ \mathbb{Q}[x] localizzato in S=1+J con J =(x^3-1).
Teorema della base di Hilbert, dimostrazione che ogni base di Gröbner genera, e lemma di Dickson.
Sia I ideale di \mathbb{K}[x_1...x_n] e consideriamo l’insieme degli ideali Lm(I) al variare degli ordinamenti monomiali. Tale insieme è finito?

Esercizio 2.2 del compito
Ideali monomiali: definizione, un polinomio gli appartiene se e solo se ogni suo termine gli appartiene, tappe per mostrare che ogni ideale monomiale è finitamente generato (senza dimostrazione)
S = \{ p \in \mathbb{K}[x,y]/(x^2) :~p = a(y)+b(y)x,~a(y) \neq 0\} è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia S^{-1}A, con A=\mathbb{K}[x,y]/(x^2)
Definizione sottomodulo di torsione

Prodotto tensoriale, definizione e costruzione
Moduli proiettivi, definizioni equivalenti.
Essere proiettivi è una proprietà locale?
Dati A=\mathbb{C}[x,y,z] ed I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4), dire più proprietà interessanti possibili di A/I, anche passando per la varietà associata ad I. Trovare il radicale di I, parlare di dimensione di A/I e di A/\sqrt{I}, di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. A/I è noetheriano o artiniano?

Omomorfismo canonico \sigma_S : A->S^{-1}A, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando f:A\to B si estende a un isomorfismo S^{-1}A\to B.
Dati A=\mathbb{Z}/(60) e \mathfrak{p}=(5), descrivere A_\mathfrak{p}. Se A è finito, mostrare che \sigma_S è surgettivo.

Anello artiniano, enunciare definizione e proprietà a piacimento. Esempi di anelli artianiani.
Parlare di basi di Groebner, ideali monomiali e cose varie sui Leading Term Ideals.
Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari A PID e A locale.

Dati, A=\mathbb{Q}[x,y,z], f\in A, S=1+(f), studiare S^{-1}A.
Estensione e contrazione di ideali rispetto la localizzazione.
Decomposizione primaria: esistenza.
Anello noetheriano non UFD. Relazioni fra noetheriano e UFD(1/2).
Data f:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C}, f(x,y)=xy sull'anello A, sia \overline{f} : \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \to \mathbb{C}; trovare \ker(f) ed \operatorname{Im}(f).

Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare (\mathbb{Z}/(q^n))_{(p)}, con p,q primi.
Elencare tutte le proprietà di \mathbb{Z}/(p^n) come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
Data l'immersione di \mathbb{K}[x_1,x_3,x_5] in \mathbb{K}[x_1,x_2,...,x_6], studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
Dimostrare il teorema di eliminazione delle variabili.
Relazione fra elementi/ideali primi ed irriducibili su anelli di polinomi.
Data una base di Grobner ridotta composta da polinomi irriducibili, l'ideale associato è primo?