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../../../layouts/MarkdownPage.astro	Aritmetica	name contacts Alessio Sgubin type value email n.cognome@studenti.unipi.it type value website https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin name image contacts Alessandro Fenu /tutors/alessandro-fenu.jpg type value email a.fenu3@studenti.unipi.it type value website https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu

La prima metà del tutorato si è conclusa. Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino. Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni.

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Esercizi Settimana del 16 dicembre

Per consegnarli potete usare questo Form.

Esercizio 1

Sia R un anello senza nilpotenti, ossia tale che se x^n = 0 per qualche n, allora necessariamente x = 0. Sappiamo inoltre che, per ogni a, b \in R, vale (ab)^2 = a^2 \cdot b^2. Dimostrare che R è commutativo.

Esercizio 2

Consideriamo l'anello A delle funzioni continue [0, 1] \to \mathbb{R}, dove la struttura di anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.

Siano adesso, per n \geq 2, f_1, \dots, f_n delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano tutte contemporaneamente.

1. Mostrare che l'ideale da loro generato (f_1, \dots, f_n) è tutto A.
2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali I \subset A e conseguentemente chi è il campo A/I.

Esercizio 3

Definiamo caratteristica di un anello A in maniera grezza come "il minimo numero n tale che sommando n volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a 0". Tale caratteristica può essere 0 quando n è infinito (ossia non arrivo mai a 0) oppure un numero positivo.

Supponiamo adesso A campo.

1. Che valori può avere n?
2. Esiste un campo con n elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono \mathbb{F}_n \to A? Questi oggetti si chiamano "oggetti iniziali" (in un appropriato contesto).
3. Cosa abbiamo usato di A campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo A dominio.
4. Esiste un dominio con 15 elementi? E con 64?

Esercizio 4

L'unità immaginaria i è contenuta nell'estensione dei razionali \mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})? E \sqrt{5} in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})?

Esercizio 5

Quanti polinomi irriducibili di grado n esistono nell'anello \mathbb{F}_p[x]?

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Soluzioni Esercizi del 16 dicembre

Qui le soluzioni.

Tutorato 8 gennaio.

Es.1

Sia p primo. Preso P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1)) per quali primi p vale a_1\equiv 0 \text{mod} p^2?

Es.2

Calcolare il numero di elementi di ordine 12 in \mathbb{Z}_{56} e \mathbb{Z}_{377}.

Es.3

Per quali n\in \mathbb{N} il polinomio x^{2n}+x^n+1 è divisibile per x^2+x+1 in \mathbb{Q}[x]?

Es.4

Sia \alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}. Determinare i gradi [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] e [\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}].

Es.5

Sia f(x)=x^4+3x^3+x+1. Calcolare il grado del campo di spezzamento su \mathbb{F}_{2^k} e \mathbb{F}_{3^k}. Inoltre detta \alpha\in\mathbb{C} una qualsiasi radice di f(x), calcolare [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}].

Tutorato 15 gennaio

Es.1

Dimostrare che x^4+1 è riducibile in \mathbb{F}_p per ogni p primo.

Es.2

Risolvere il sistema di congruenze

\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
    x^{22} +2x\equiv 30 \mod{22}.
\end{cases}

Es.3

Dimostrare che x^4+x^2-x+2 è irriducibile in \mathbb{Z}[x].

Es.4

Sia G gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora F un sottogruppo finito normale di G. Dimostrare che Z(G) sta nel centro.

Es.5

Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia G un gruppo di cardinalità p^n per qualche n ed H un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di H contiene strettamente H.

Es.6

Determinare quanti sono i sottogruppi di S_4, di S_5 e di S_6 di cardinalità 9.

Tutorato 29 gennaio

Es.1

Definiamo \sigma(n) come la somma di tutti i divisori positivi di n\in \mathbb{N}_{>0}. Determinare le soluzioni all'equazione \ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.

Es.2

Determinare tutte le coppie (n, h)\in \mathbb{N}^2 tale che esistano omomorfismi non banali da S_n ad un gruppo di cardinalità h.

Es.3

Fattorizzare x^3+2x+1 nel campo di spezzamento di x^4+4 su \mathbb{F}_3.

Es.4

Descrivere il centralizzatore dell'elemento (1234)(567)(89) in S_9. Dire la cardinalità del normalizzatore di \langle (1234)(567)(89) \rangle in S_9.

Soluzioni primo scritto di Aritmetica

Esercizio 1

Consideriamo la successione definita da a_1=2, a_2=2 e a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2} per ogni n\geq 3.

• a. Dimostrare che a_n è un multiplo di 12 per ogni n\geq 4.

• b. Dimostrare che per ogni intero positivo n vale a_n\geq \sqrt{n!}.

Soluzione a.

Procediamo per induzione forte su n: assumendo che a_k sia divisibile per 12 per ogni 4\leq k<n dimostriamo che a_n è divisibile per 12.

• Passo base: verifichiamo che a_4 ed a_5 siano multipli di 12. Per computazione diretta, a_3=6, a_4=12, a_5=36, da cui segue il passo base.

• Passo induttivo: supponendo la tesi vera per ogni 4\leq k<n dimostriamola per k=n. Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione n>5. Scrivendo la ricorsione

  
  a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
  

  si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte,
  

  in quanto n-1, n-2 sono entrambi maggiori o uguali a 4 (ricordiamo n>5) e chiaramente strettamente minori di n. Allora a_n è combinazione di due multipli di 12 ed è multiplo di 12.

Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che a_k è sempre multiplo di 12 per ogni k\geq 4.

Soluzione b.

Procediamo nuovamente per induzione forte su n. Notiamo preliminarmente che per ogni n\geq 2 vale la disuguaglianza 1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}: elevando al quadrato è equivalente (per positività di ambo i membri) a n+2\sqrt{n-1}\geq n ossia a 2\sqrt{n-1}\geq 0, chiaramente verificata.

• Passo base: dal testo a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2} seguono.

• Passo induttivo: supponendo la tesi vera per ogni 1\leq k<n dimostriamola per k=n. Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione n>2. Scrivendo la ricorsione

  
  a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
  

  otteniamo immediatamente a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!} (abbiamo sostituito l'ipotesi induttiva dato che n-1, n-2 sono entrambi \geq 1) che possiamo esprimere come

  a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).

  Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a \sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!} e dunque

  
  a_n\geq \sqrt{n!}
  

che conclude il passo induttivo e dimostra la tesi.

Esercizio 2

Trovare tutte le soluzioni intere del sistema

\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
    x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}
\end{cases}

Soluzione. Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima equazione è equivalente al sistema

\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{4}\\
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}
\end{cases}

Per la prima equazione, basta notare che le potenze di 3 ciclano modulo 4 ogni 2: 3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat. L'equazione è verificata allora per tutti gli x tali che x^2-1 sia dispari \Rightarrow x pari. Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di 3 modulo 7 si ripetano ogni 6 pertanto basta calcolare 3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1. La seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi x con x^2-1\equiv 3\mod{6}, ossia (per verifica diretta (Importante: una semplice applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione. I (pochi) conti ci hanno assicurato che 3 genera (\mathbb{Z}_7)^*)) x\equiv 2, 4\mod{6}. Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che x\equiv 2, 4\mod{6} è la soluzione di questo primo sistema.

La seconda equazione del testo è equivalente al sistema

\begin{cases}
    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{2}\\
    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}
\end{cases}

Dalla prima, si ottiene x pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di Eulero-Fermat che ci garantisce x^{11}\equiv x^1\mod{11} e sostituire x^{22} con x^2. Abbiamo ora x^2+2x\equiv 8 \mod{11} e dunque (x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11} dato che \mathbb{Z}_{11} è un campo.

Intersecando tutte le soluzioni ottenute abbiamo i 4 sistemi

\begin{cases}
    x\equiv 2, 4 \mod{6}\\
    x\equiv 2, -4 \mod{11}
\end{cases}

Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei 4 sistemi ammette una e una sola soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo 2 e togliendo 4 ai primi sei multipli di 11. Le soluzioni finali saranno x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}.

Esercizio 3

Dire se il polinomio p(x)=x^4+ x^2 - x+2 è irriducibile in \mathbb{Z}[x].

Soluzione. Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un fattore di grado 1 avrebbe una radice razionale con numeratore che divide 2 e denominatore che divide 1 (il termine di testa). Per verifica diretta, 1, -1, 2, -2 non sono radici pertanto il nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado 1.

Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado 2 irriducibili oppure è irriducibile.

Se fosse p(x)=g(x)\cdot h(x) con g ed h di grado 2, allora proiettando tutto tramite \mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x] otterremo una fattorizzazione di p(x) in \mathbb{Z}_3[x] in fattori di grado al più 2.

Questo è un assurdo: in \mathbb{Z}_3[x] abbiamo x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1) e il fattore di grado 3 è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in \mathbb{Z}[x] non può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di 3.

L'unica possibilità rimasta è che p(x) sia irriducibile in \mathbb{Z}[x] e abbiamo concluso.

Conclusione alternativa. Per escludere che p(x) sia prodotto di due fattori irriducibili di grado 2 possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2 e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti otteniamo un sistema che non ha soluzione in \mathbb{Q}.

Esercizio 4

Sia Y l'insieme costituito dai sottogruppi di S_5 che hanno 4 elementi.

1. Quanti sottogruppi ciclici ci sono in Y?
2. Consideriamo \sigma=(1, 2, 3, 4). Quanti elementi ha il centralizzatore C(\sigma)?
3. Quanti sottogruppi isomorfi a \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ci sono in Y?
4. Per ogni K\in Y consideriamo il suo normalizzatore N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\} (assumiamo noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di S_5). Dire se fra questi normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei seguenti gruppi: \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5.

Soluzione (1). Per contare sottogruppi ciclici di ordine 4 possiamo contare gli elementi di ordine 4 e dividere per \varphi(4)=2 (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli elementi di ordine 4 in S_5 sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono {{5}\choose{4}}\cdot 3! e dunque la risposta è 15.

Soluzione (2). Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di \sigma in S_5 corrisponde (per la formula Orbita-Stabilizzatore) a |S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|. Inoltre la classe di coniugio di \sigma è fatta da tutti e soli i 4-cicli in S_5 che per il conto precedente sono 30. La risposta è allora 120/30=4. Possiamo notare anche che 1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3 ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del centralizzatore.

Soluzione (3). Dato che \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 è generato da due qualsiasi dei suoi elementi di grado 2 (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado 2 che commutano in S_5 e poi dividere per 6 (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di generatori in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2).

Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine 2 sono $2-$cicli e 2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2-ciclo contiene 6 elementi di ordine 2 distinti dal 2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con (12)) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4 (basta fare il conto con (12)(34)). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine 2 che commutano in S_5 è \text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120. Dividendo per 6 otteniamo \boxed{20} che è la risposta corretta.

Soluzione (4). Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il normalizzatore di un 4-ciclo (e dunque dello \mathbb{Z}_4 che genera) ha cardinalità 5!/\{\text{suoi coniugati}\} ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto (1). Il normalizzatore ha cardinalità 8. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di generalità supponiamo che il gruppo sia \langle (1234) \rangle. Possiamo imporre g(1234)g^{-1}=(1234)^i per i=0, 1, 2, 3 e determinare a mano tutti gli 8 elementi (in questa maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di D_4 sui vertici \{1, 2, 3, 4\}.

Alternativamente potevamo osservare che il D_4\subset S_5 sui vertici \{1, 2, 3, 4\} di sicuro normalizza \langle (1234) \rangle in quanto esso genera un sottogruppo di indice 2 dentro D_4. D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio 8 e dunque non contiene nient'altro oltre a D_4. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito \boxed{15} normalizzatori isomorfi a D_4, uno per ogni (Tutte queste copie sono distinte dato che dentro un D_4 esiste un solo gruppo di ordine 4) gruppo ciclico dentro Y.

Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro Y, ossia le varie copie di \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2.

Dal punto (3) abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 dentro S_5: i generati da due cicli disgiunti \langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle che sono 15 (tutti coniugati tra loro) e i generati da due 2+2-cicli \langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle che sono 5 (tutti coniugati tra loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore di \langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle ha cardinalità 8 ed è dunque un D_4, mentre il normalizzatore di \langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle ha cardinalità 24. Sarà pertanto la copia di S_4\subset S_5 dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che S_4 normalizzi il gruppo di Klein). Di queste copie ne abbiamo \boxed{5} distinte.

Abbiamo concluso.