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Antonio De Lucreziis 1 year ago
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@ -44,7 +44,7 @@
== Nodi e Diagrammi == Nodi e Diagrammi
*Nodo.* $K subset bb(R)^3$ è un *nodo (tame)* se $exists f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ _embedding loc. piatto_ con $K = f(bb(S)^1)$. *Nodo.* $K subset bb(R)^3$ è un *nodo (tame)* se $exists f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ _embedding loc. piatto_ con $K = f(bb(S)^1)$
*Link.* $bb(S)^1 arrow bb(R)^3 ~> bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ *Link.* $bb(S)^1 arrow bb(R)^3 ~> bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$
@ -66,15 +66,19 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
\ \
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ proviene da un link $L subset RR^3$ attraverso una proiezione regolare. I punti doppi del diagramma sono detti *incroci*. *Def.* Dato un _link_ $L subset RR^3$ esiste un suo *diagramma* $D subset RR^2$ attraverso una proiezione regolare. I punti doppi del diagramma sono detti *incroci*.
// SPEAKER NOTE: In particolare in corrispondenza dei punti doppi, che chiameremo incroci, aggiungiamo l'informazione sopra-sotto.
== Teorema di Reidemeister == Teorema di Reidemeister
*Mosse di Reidemeister.* Le mosse I, II, III in figura sono dette. Le mosse *I, II, III* in figura, sono dette *mosse di Reidemeister*.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari. *Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
#figure(image("assets/reidemeister-moves.jpg", height: 7cm)) #v(1em)
#figure(image("assets/reidemeister-moves.jpg", height: 9cm))
== Isotopia Regolare == Isotopia Regolare
@ -110,7 +114,7 @@ $D$ diagramma di un link orientato, il *writhe* $display(w(D) colon.eq sum_(c "i
== Assiomi == Assiomi
Dimostreremo che per ogni diagramma di link _non orientato_ esiste un polinomio $L_D$ per ogni diagramma di link _non orientato_ $D$, il polinomio $L_D in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ verifica i seguenti assiomi: Dimostreremo che per ogni _diagramma di link non orientato_ $D$, esiste un polinomio $L_D$ con $L_D in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ invariante di _isotopia regolare_ e che verifica i seguenti assiomi:
#set enum(numbering: "i.a)") #set enum(numbering: "i.a)")
@ -166,6 +170,8 @@ _Dimostrazione._
$pause #h(3.9em) = F[ #skein.strand-large ]$, [], $pause #h(3.9em) = F[ #skein.strand-large ]$, [],
) )
// SPEAKER NOTE: Per lo stesso diagramma senza quel ricciolo
== Calcoli impliciti == Calcoli impliciti
#let knot-picture(src, ..rest) = $thin #image("assets/derived/atlas-" + src, ..rest) thin$ #let knot-picture(src, ..rest) = $thin #image("assets/derived/atlas-" + src, ..rest) thin$
@ -184,7 +190,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
) )
][ ][
#grid( #grid(
@ -192,7 +198,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
$ $
( (
space & #knot-picture("infinity-0.png", width: 1.075em) space, space & #knot-picture("infinity-0.png", width: 1.075em) space,
@ -219,7 +225,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+ +
@ -237,7 +243,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+ +
@ -264,7 +270,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+ +
@ -292,7 +298,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+ +
@ -321,7 +327,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
{ {
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
@ -363,7 +369,7 @@ _Dimostrazione._
row-gutter: 1.5em, row-gutter: 1.5em,
column-gutter: 3em, column-gutter: 3em,
align: center, align: center,
[*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*], [*Calcolo di $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
{ {
$ $
& L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
@ -458,6 +464,53 @@ _Dimostrazione._
== Considerazioni preliminari == Considerazioni preliminari
#slide({
set align(center)
[Sia $D$ un diagramma di un link, $i$ etichetta di uno degli incroci:]
v(1.5em)
grid(
columns: 4,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
align: center,
{
skein.over-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.under-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.h-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.v-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
$D$, $S_i D$, $E_i D$, $e_i D$,
)
})
== Considerazioni preliminari
#align(center)[ #align(center)[
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato a $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$: Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato a $D$ è $hat(D)(cal(U), p)$:
@ -510,53 +563,6 @@ _Dimostrazione._
== Considerazioni preliminari == Considerazioni preliminari
#slide({
set align(center)
[Sia $D$ un diagramma di un nodo, $i$ etichetta di uno degli incroci:]
v(1.5em)
grid(
columns: 4,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
align: center,
{
skein.over-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.under-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.h-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.v-large
place(center + top, dy: -0.75em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
$D$, $S_i D$, $E_i D$, $e_i D$,
)
})
== Considerazioni preliminari
#let dotss = $space dots.c space$ #let dotss = $space dots.c space$
#slide( #slide(
@ -850,6 +856,8 @@ _Dimostrazione._
// pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002")) // pinit-highlight(1, 2, dy: -1.75em, dx: 3pt, extended-height: 3em, fill: rgb("#0002"))
// }) // })
// SPEAKER NOTE: Scambiamo i segni in modo alternato delle equazioni ottenute.
== Definizione induttiva == Definizione induttiva
#slide( #slide(
@ -956,7 +964,7 @@ _Dimostrazione._
*Ipotesi induttiva.* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $D$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci: *Ipotesi induttiva.* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $D$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
1. $L_D$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base). 1. $L_D$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base)
2. $L_D$ verifica gli assiomi: 2. $L_D$ verifica gli assiomi:
@ -964,9 +972,9 @@ _Dimostrazione._
- $L[#skein.over-twist-large] = a L [#skein.strand-large]$, $L[#skein.under-twist-large] = a^(-1) L [#skein.strand-large]$ - $L[#skein.over-twist-large] = a L [#skein.strand-large]$, $L[#skein.under-twist-large] = a^(-1) L [#skein.strand-large]$
3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci. 3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci
4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$. 4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$
] ]
== Dimostrazione buona definizione == Dimostrazione buona definizione
@ -992,7 +1000,7 @@ _Dimostrazione._
3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci 3. $L_D$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci
4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$. 4. Per certi diagrammi vale $L_D = a^w(D)$
] ]
= Laboratorio Computazionale = Laboratorio Computazionale
@ -1019,7 +1027,7 @@ Per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo scritto una *nuova impleme
#pause #pause
- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$: è presente $F[m(10_125)]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F[10_125](1 slash a, z)$. #h(1fr) - _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$: è presente $F[m(10_125)]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F[10_125](1 slash a, z)$ #h(1fr)
== Implementazione in Python == Implementazione in Python

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