1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati.
@ -1076,7 +1066,7 @@ $
L[hat(K)] &= a^(w+1) \
L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \
L[e_i hat(K)] &= a^w \
L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1))/z - a^w
L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1)) slash z - a^w
$
che dunque verifica l'identità:
@ -1093,6 +1083,145 @@ $
Sia $K$ un diagramma di un nodo. Allora ii.b) non dipende dalla scelta di punto base e più precisamente vale
$
Omega_K(p) = (-1)^(abs(lambda(p)) + 1)
Omega_K(p) = (-1)^(abs(lambda(p)) + 1) L_hat(K)(p) + z sum_K (lambda(p))
$
]
#proof[
Possiamo assumere che la sequenza di scambi determinata da $p$ sia etichetta $lambda = (n, dots, 0)$. Mostriamo l'indipendenza da punto base mostrando che possiamo scorrere $p$ nell'arco successivo al primo incrocio dopo $p$.
Sia $i$ l'etichetta del primo incrocio dopo $p$. In $hat(K)(p)$ questo incrocio sarà sicuramente un sopra-incrocio in quanto $i$ è visitato per la prima volta essendo il primo incrocio dopo $p$. Invece in $K(p)$ può essere sia un sopra-incrocio che un sotto-incrocio, abbiamo quindi due casi:
- Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$
#todo[disegnino]
Consideriamo ora la situazione di $K(q)$
#todo[disegnino]
come già detto prima se l'ultimo incrocio è un sotto-incrocio allora è già in forma di nodo banale standard. Segue che $i$ non appartiene alla sequenza di scambi in questo caso ed avremo $(n-1, dots, 0)$ e $hat(K)(q) = S_(n-1) dotss S_0 K$. Vorremo vedere che $Omega_K (p) = Omega_K (q)$, ovvero:
$
Omega_K (p) &= (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \
Omega_K (q) &= (-1)^((n-1)+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q))
$
come in precedenza studiamo la differenza:
$
Omega_K (p) - Omega_K (q)
=& (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \
&+ underbrace((-1)^(n+1), = -(-1)^n) L[hat(K)(q)] - z sum_K (lambda(q)) \
=& (-1)^(n+1) (L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)]) \
&+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K])
$
dove abbiamo usato il fatto che tutti i termini in $sum_K (lambda(p)) - sum_K (lambda(q))$ si cancellano tra loro tranne l'ultimo di $sum_K (lambda(p))$.
Ora notiamo che
$
A_n^lambda K &= E_n S_(n-1) dotss S_0 K = E_n hat(K)(p) \
B_n^lambda K &= e_n S_(n-1) dotss S_0 K = e_n hat(K)(p) \
hat(K)(p) &= S_n space.med hat(K)(p)
$
inoltre per il @lemma-slide-identities abbiamo anche che
$
L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)] = z (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])
$
Per concludere questo caso basta sostituire in queste ultime identità
- Se $i$ è un sopra-incrocio in $K(p)$ siamo nella seguente situazione
#todo[disegnino]
In questo caso, $i$ non fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$. Però dopo aver spostato il punto base avremo la seguente situazione
#todo[disegnino]
Questa volta $i$ fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$ e quando compare come ultimo incrocio è un sotto-incrocio. Avremo quindi le seguenti sequenze di scambi
$
lambda(q) &= (n, n-1, dots, i, dots, 1, 0) \
lambda(p) &= (n, n-1, dots, i+1, i-1, dots, 1, 0)
$
a meno di riordinare gli scambi è facile vedere che $S_i hat(K)(q) = hat(K)(p)$, e che il @lemma-slide-identities si applica alla coppia $hat(K)(p), hat(K)(q)$ per l'indice $i$. Per il @lemma-sum-switches-rotation abbiamo anche che $sum_K (p), sum_K (q)$ sono invarianti a meno di permutazioni cicliche. Possiamo quindi sostituire $lambda(p)$ e $lambda(q)$ con le seguenti sequenze di scambi applicando le giuste rotazioni.
A questo punto possiamo applicare un argomento simile a quello del punto precedente.
E questo completa la dimostrazione dell'indipendenza di $Omega_K (p)$ dalla scelta di punto base.
]
#lemma[
Sia $i$ un incrocio di un diagramma di link $K$. Allora $L_K$ verifica le identità
1. $L[K] + L[S_i K] = z (L[E_i K] + L[e_i K])$
2. $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$, $L[#skein.under-twist-medium] = a^(-1) L [#skein.strand-medium]$
]
#proof[
Mostriamo per induzione sul numero di incroci nel diagramma. Consideriamo i seguenti casi: #margin-note[ricontrollare tutta questa]
- Se $K$ ha una sola componente ed un incrocio $i$. Consideriamo $S_i K$, $E_i K$ e $e_i K$, scegliendo bene $p$ possiamo fare in modo che $i$ sia il primo incrocio nella sequenza di scambi. A questo punto otteniamo la tesi calcolando la differenza nelle espansioni di $Omega_K (p)$ e $Omega_(S_i K) (p)$.
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa. In questo caso la tesi segue per dalla @kauffman-poly-def utilizzando per induzione il caso ii.a).
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse allora per gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione.
]
#lemma[
Sia $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare. Allora $L_K = L_(K')$, ovvero $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
]
#proof[
Procediamo sempre per induzione e mostriamo l'invarianza per mosse che non aumentano il numero di incroci.
- Mossa II: Ci sono più casi in base a se la mossa riguarda una o più componenti
- Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue
#todo[disegnino]
in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di ii.a) saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$.
- Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente
#todo[disegnino]
Vediamo che $L[K] = L[S_2 S_1 K]$...
- Mossa III:
- Se la mossa è su fili di una sola componente allora allora possiamo scegliere il punto base sul filo che passa sopra, in questo modo avremo la situazione seguente:
#todo[disegnino]
In un caso possiamo procedere per induzione, se invece ci sono degli splice possiamo utilizzare le seguenti equivalenze di diagrammi e poi procedere per induzione
#todo[disegnino]
- Nel caso in cui la mossa riguardi fili di più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione e procedere per induzione.
