@ -86,45 +86,22 @@ Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi tra cui le def
Dato un embedding $f : X arrow Y$, un punto $p in X$ allora $f$ si dice *localmente piatto* in $p$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, tale che
@ -139,7 +116,7 @@ inoltre $f$ si dice *localmente piatto* (ovunque) se lo è in ogni punto di $X$.
],
)
Esistono anche nodi non tame come il precedente, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame. #margin-note[l'immagine sotto è presa da wikipedia, aggiungere una citazione?]
Esistono anche nodi non tame come quello riportato nella figura precedente @wiki:wild_knot, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame.
// #todo[
// Disegno nodo non tame
@ -182,9 +159,9 @@ Passiamo ora al caso in cui abbiamo un nodo con più di una componente
]
Possiamo generalizzare tutte le definizioni che diamo per i nodi ai link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche.
Possiamo generalizzare tutte le definizioni che diamo per i nodi ai link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ apportando le giuste modifiche.
Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$, questo è il primo passo che ci permette di descrivere l'equivalenza tra nodi attraverso sequenza finita di mosse.
Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$; questo è il primo passo che ci permetterà di descrivere l'equivalenza per isotopia ambiente tra nodi attraverso una sequenza finita di mosse.
#definition[
Due link $L_1, L_2$ sono *combinatorialmente equivalenti* se si ottengono uno dall'altro tramite un numero finito delle seguenti mosse:
@ -256,13 +233,19 @@ Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $
Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di Reidemeister.
]
#todo[Varie considerazioni sul teorema di Reidemeister]
Il modo principale in cui utilizzeremo il teorema di Reidemeister è attraverso la seguente proprietà. Indichiamo con $scr(D)$ l'insieme dei diagrammi di nodi e link.
// #todo[Commenti su come si usa il teorema di Reidemeister ottenere un modo per capire se due nodi non sono equivalenti]
#proposition[
Data una funzione $phi : scr(D) arrow S$ con $S$ un insieme (eventualmente con una qualche struttura come quella di anello) con la proprietà che $D tilde D' => phi(D) = phi(D')$ allora se $phi(D) != phi(D') => D tilde.not D'$, in particolare se $D, D'$ sono diagrammi per $K, K'$ allora $K tilde.not K'$.
]
#proof[
È la forma contronominale del teorema di Reidemeister.
]
// Se $phi$ è una funzione invariante a meno di mosse di Reidemeister, ci permette di dire verificare se due link non sono equivalenti
Funzioni con la stessa proprietà di $phi$ sono quindi invarianti di nodi o link per isotopia ambiente e ci danno un modo di distinguerli. Più avanti vedremo ad esempio il polinomio $F_K (a, z) : scr(D) arrow bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ che risulterà essere un invariante di isotopia ambiente per link orientatati.
Come abbiamo generalizzato nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed abbiamo anche una variante orientata del teorema di Reidemeister.
Come abbiamo generalizzato da nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed abbiamo anche una versione orientata del teorema di Reidemeister.
== Operazioni su Diagrammi
@ -356,7 +339,7 @@ Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo
Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse R1 possono essere "fattorizzate" in modo da averle tutte raggruppate insieme. #margin-note[Magari aggiungere la dimostrazione di questa cosa]
@ -616,16 +599,33 @@ $
Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
#definition[
Sia $K$ un diagramma, $U$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in U$ un punto di partenza direzionato in $U$.
Sia $K$ un diagramma, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
]
- Il suo *nodo (o link) banale standard* associato detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
#figure(
image(
"assets/standard-unlink-construction.png",
width: 12cm,
),
caption: [
Un link con $3$ componenti e punti di partenza direzionati $p_1, p_2, p_3$. In #box(radius: 3pt, outset: (y: 3pt), inset: (x: 2pt), fill: rgb("#91cdff"))[azzurro] sono evidenziati gli incroci che sono cambiati rispetto al link di partenza.
],
)
- Il suo *nodo banale standard* associato detto $hat(K)(U, p)$ è definito come segue:
- Sia $K$ un link, $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci allora poniamo
#todo[Disegno standard unknot]
$
A_i^lambda = E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
#h(2em)
B_i^lambda = e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
$
- #todo[Operazioni compatte $A_i^lambda$ e $B_i^lambda$]
notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione.
- #todo[Operazione compatta $sum_K (lambda)$]
]
- #todo[Operazione compatta $sum_K (lambda)$]
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se la applichiamo incrementalmente a $K$ otteniamo le seguenti relazioni
