You cannot select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

396 lines
20 KiB
TeX

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{31 marzo e 4 aprile 2023}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
\end{center}
\begin{definition} (derivata)
Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
\[Df(\xbar) = f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
\vskip 0.05in
Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata
di $f$ in $\xbar$. Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RRbar$ come la funzione derivata,
la quale associa ogni punto $\xbar$ in cui la derivata di $f$ esiste al
valore del limite computato in $\xbar$.
\end{definition}
\begin{definition}
$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se esiste la
derivata di $f$ in $\xbar$ e $f'(\xbar)$ è finito.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
di $f$ in $\xbar$. \\
\li Si definisce per convenzione $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
\end{remark}
\begin{definition} (derivata destra e sinistra)
Dato $\xbar$ punto di accumulazione destro di $X$, si definisce
allora \textbf{derivata destra} di $f$ in $\xbar \in X$, se
esiste, il seguente limite:
\[D_+ f(\xbar) = f_+'(\xbar) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
\vskip 0.05in
Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata destra di $f$ in $\xbar$. Analogamente, per un punto di accumulazione sinistro $\xbar \in X$, si definisce
la \textbf{derivata sinistra} di $f$ in $\xbar \in X$, se esiste, il seguente
limite:
\[D_- f(\xbar) = f_-'(\xbar) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^-} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Se esistono sia la derivata sinistra che destra di $f$ in $\xbar$
e coincidono, allora la derivata di $f$ in $\xbar$ esiste e
coincide con il valore di entrambe le due derivate. \\
\li Vale anche il viceversa, se $\xbar$ è un punto di accumulazione
sia destro che sinistro: se esiste la derivata di $f$ in $\xbar$,
allora sia la derivata sinistra che destra esistono e coincidono
con la derivata.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile $\forall x \in X$.
\end{definition}
\begin{definition}
Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = f'(\xbar) - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = a + \lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = a + 0 = a$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $f$ è anche continua in $\xbar$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
$\lim_{x \to \xbar} f(x) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) + \lim_{x \to \xbar} f'(\xbar)(x-\xbar) + \lim_{x \to \xbar} o(x - \xbar) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$.
\end{proof}
%TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
\begin{proposition}
Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
$\xbar$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
\item $(f_1f_2)'(\xbar)= f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$, vale
che:
\[ f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h), \qquad f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h). \]
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f_1 + f_2)(\xbar + h) = (f_1 + f_2)(\xbar) +
(f_1' + f_2')(\xbar) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 + f_2)'(\xbar) = (f_1' + f_2')(\xbar) =
f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
\item $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + \underbrace{(f_1(\xbar) + f_2(\xbar)) o(h) + (f_1'f_2')(\xbar) h^2 + (f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar))h \cdot o(h) + o^2(h))}_{=o(h)} =
(f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 f_2)'(\xbar) = f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ derivabile in $\ybar := f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Poiché $f'(\xbar)$ è finito, $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Analogamente, $g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$.
Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + (f'(\xbar) h + o(h))) =
g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar) h + o(h)) + o(f'(\xbar) h + o(h)) =
g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) + o(f'(\xbar) h + o(h))$. \\
Si osserva che $\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \lim_{h \to 0} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} =
0 \cdot f'(\xbar) = 0$, e quindi che $o(f'(\xbar) h + o(h)) = o(h)$.
Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h)$,
da cui si conclude che $(g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
\item $g$ è derivabile in $\ybar$ e $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof} Si dimostrano i due risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$. Inoltre, $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
è mai vuoto, dacché, essendo $f$ derivabile in $\xbar$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Quindi $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dal momento che $f$ è
iniettiva, essendo bigettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
\item Poiché $f$ è derivabile in $g(\ybar)$,
$\ybar + h = f(g(\ybar + h)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + h) - g(\ybar)}_k)) = \ybar + f'(\xbar) k +
o(k)$, ossia vale che:
\[ h = f'(\xbar) k + o(k). \]
Dal momento che $g$ è continua in $\ybar$, $k \tends{h \to 0} 0$, e
quindi $o(k) \tends{h \to 0} 0$. Quindi, per $h \to 0$, $k \sim \frac{h}{f'(\xbar)}$. Si conclude
dunque che $\lim_{h \to 0} \frac{g(\ybar + h) - g(\ybar)}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{k}{h} = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{example}
La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
infatti una funzione del tipo:
\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
\vskip 0.05in
dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
esiste ($D_+ g(0) = 1$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
\end{example}
\begin{theorem} (di Fermat)
Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
$f'(\xbar) = 0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Poiché $I$ è un intervallo e $\xbar$ è interno a $I$, $\xbar$ è sia punto di accumulazione
sinistro che punto di accumulazione destro di $I$. Dal momento che $f$ è derivabile
in $\xbar$, esistono sia la derivata destra che la derivata sinistra in $\xbar$. \\
Si assuma che $\xbar$ è un punto di massimo locale (altrimenti è sufficiente considerare $g = -f$).
Allora esiste un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $x \in J \implies f(x) - f(\xbar) \leq 0$. Sia dunque
$J_+$ l'intorno destro relativo a $J$, e sia $J_-$ quello sinistro. \\
Poiché $\xbar = \inf J_+$, esiste una successione $\{x_n\} \subseteq J_+ \setminus \{\xbar\}$ tale
per cui $x_n \tendston \xbar$. Dal momento che allora $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è anche
continua in $\xbar$, e quindi si ricava che $f(x_n) \tendston f(\xbar)$. Si osserva dunque
che $f(x_n) - f(\xbar) \leq 0$ e $x_n - \xbar > 0 \implies \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x_n - \xbar} \leq 0$,
da cui, per il teorema della permanenza del segno, si ricava che $L_+ = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x_n - \xbar} \leq 0$. \\
Allora, dal momento che $f$ è derivabile in $\xbar$ e che la derivata destra
deve coincidere con la derivata classica, $f'(\xbar) =
\lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x-\xbar} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x-\xbar} = L_+ \leq 0$. \\
Analogamente si ricava che $f'(\xbar) \geq 0$, e quindi che $f'(\xbar)$ è necessariamente pari a zero, da cui la
tesi.
\end{proof}
\begin{remark} \nl
\li Si può facilmente generalizzare il teorema di Fermat assumendo ipotesi più deboli. Sia infatti $x_M$ un punto di massimo locale e sia $f$ continua in $x_M$,
allora, qualora esistano, $D_+ f(x_M) \leq 0$ e $D_- f(x_M) \geq 0$. Analogamente
si estende la proposizione a $x_m$ punto di minimo locale.
\end{remark}
\begin{theorem} (di Rolle)
Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che
$f$ sia continua su $I$, che $f(a) = f(b)$ e che $f$ sia derivabile
in $[a, b]$. Allora $\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = 0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di Weierstrass $f$ ammette un punto di massimo $M$ e uno di minimo $m$ in $I$. Se $f(a) = M$ e $f(b) = m$ o viceversa, la
funzione $f$ è costante in $I$, e quindi per ogni punto in $(a, b)$
la derivata è nulla. Altrimenti,
sicuramente uno tra il punto di massimo e quello di minimo appartiene
a $(a, b)$. Sia $\xbar$ tale punto. Allora, per il teorema di Fermat, $f'(\xbar) = 0$, da cui
la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Cauchy)
Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e siano $f$, $g: I \to \RR$
continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$, con $g'$ non nulla
in $(a, b)$ e $g(a) \neq g(b)$. Allora
$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri la funzione $h : I \to \RR$ tale che $h(x) = f(x) - \left(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)) + f(a)\right)$.
Si osserva che $h$,
essendo una somma di funzioni continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$,
è anch'essa continua su $I$ e derivabile in $(a, b)$. Inoltre
$h(a) = h(b) = 0$. Quindi, per il teorema di Rolle, $\exists \xbar \in (a, b) \mid h'(\xbar) = 0 \implies \frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (di Lagrange)
Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f: I \to \RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$. Allora
$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, ossia tale per cui la retta tangente a $f$ in $\xbar$ è parallela alla secante
che passa per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri $g(x) = x$. $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile
in $(a, b)$, con derivata sempre non nulla in tale intervallo.
Allora, per il teorema di Cauchy, $\exists \xbar \in (a, b) \mid
f'(\xbar) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$, con
derivata non negativa. Allora $f$ è crescente in $[a, b]$.
Analogamente, se la derivata è non positiva, $f$ è decrescente.
\end{proposition}
\begin{proof}
Senza perdita di generalità si dimostra il caso in cui la derivata
di $f$ in $(a, b)$ è non negativa (altrimenti è sufficiente considerare
$g = -f$).
Si considerino $c < d \in I$. Allora, per il teorema di Lagrange,
$\exists \xbar \in (c, d) \mid f'(c) = \frac{f(d) - f(c)}{d-c}
\implies f(d) - f(c) = \underbrace{f'(c) (d-c)}_{\geq 0} \implies
f(d) \geq f(c)$, e quindi $f$ è crescente in $I$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}\nl
\li L'interpretazione geometrica del teorema di Cauchy, rispetto
a quella di Lagrange, è leggermente più complicata. Si consideri
la curva continua $\gamma : \RR \to \RR^2$ tale che
$\gamma(t) =(g(t), f(t))$. Si osserva che il coefficiente della
retta tangente in $\xbar$ per $\gamma$ è dato da $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{g(\xbar + h) - g(\xbar)}$, che,
sotto le ipotesi del teorema di Cauchy, può essere riscritto
come $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}$. Allora, il teorema di Cauchy
asserisce che esiste un punto della curva $\gamma$ tale per cui
la retta tangente alla curva in quel punto è parallela alla secante
passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$.
\end{remark}
\begin{exercise}
Si descriva un insieme $X$ tale che i suoi unici punti di accumulazione
siano $\pm 1$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si consideri $X = \{1 + \frac{1}{n}\} \cup \{-1 - \frac{1}{n}\}$, al variare di $n \in \NN$. Sia
$J = [1 - \eps, 1 + \eps]$ un intorno di $1$. Allora $1 + \frac{1}{n} \in J$ per $n > \frac{1}{\eps}$,
da cui si ricava che $1$ è un punto di accumulazione di $X$; analogamente si verifica che $-1$ è
un punto di accumulazione di $X$. Si consideri adesso l'intorno $J = \left[1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right), 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right]$. Si verifica che nessun punto di $X$, oltre $1 + \frac{1}{n}$ appartiene a $J$, e quindi
$1 + \frac{1}{n}$ non è punto di accumulazione di $X$. Analogamente non lo è alcun numero della forma
$-1 - \frac{1}{n}$.
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $f : X \to \RRbar$ continua in $\xbar$ e sia $a < f(\xbar)$.
Allora esiste $J$ intorno di $\xbar$ tale che $a < f(x)$ $\forall
x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si consideri $g : X \to \RRbar$ tale che $g(x) = f(x) - a$. Poiché $g$ è una somma di
funzioni continue in $\xbar$, anch'essa è continua in $g$. Allora, poiché $g(\xbar) > 0$,
per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui
$g(x) > 0$ $\forall x \in J$, ossia tale per cui $f(x) > a$ $\forall x \in J$, da cui la tesi.
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $X \subseteq \RRbar$ e sia $\xbar$ punto di accumulazione di $X$. Siano
$f_1$, $f_2 : X \to \RRbar$. Si dimostri allora che:
\begin{enumerate}[(i)]
\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ e $f_2$ è limitata inferiormente
in un intorno $J$ di $\xbar$, allora $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} +\infty$;
\item se $f_1 \tendsto{\xbar} 0$ e $f_2$ è limitata in un intorno $J$
di $\xbar$, allora $f_1 f_2(x) \tendsto{\xbar} 0$;
\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ è limitata inferiormente
da una costante positiva $c$ in un intorno $J$ di $\xbar$, allora
$f_1 f_2 \tendsto{\xbar} +\infty$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution} Si dimostrano i tre risultati separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sia $c$ la costante tale per cui $f_2(x) \geq c$ $\forall x \in J \cap X$. Sia $I = [a, \infty]$ un intorno di $+\infty$. Se $c < 0$, poiché $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$, esiste un intorno $J'$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq [a-c, \infty] \subseteq I$. Sia dunque $Z = J \cap J'$. Allora
$(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \geq a-c+c = a$ $\forall x \in Z$, da cui si conclude che
$(f_1 + f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Se invece $c \geq 0$, è sufficiente considerare
un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui
$(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \geq a+c \geq a$ $\forall x \in Z \implies (f_1+f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
\item Poiché $f_2$ è limitata in $J$, esistono delle costanti finite $a$, $b \in \RR$ tali per cui $a \leq f_2(x) \leq b$ $\forall x \in J$. Sia
$I = [-\eps, \eps]$ un intorno di $0$, con $\eps > 0$. Si consideri $c := \max\{\abs a, \abs b\}$.
Allora vale che $-c \leq f_2(x) \leq c$ $\forall x \in J$. Poiché $f_1 \tendsto{\xbar} 0$, esiste
un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq \left[-\frac{\eps}{c}, \frac{\eps}{c}\right]$. Si consideri ora $Z := J \cap J'$: vale allora che $\abs{(f_1 f_2)(x)} = \abs{f_1(x) f_2(x)} \leq c \frac{\eps}{c} = \eps$ $\forall x \in Z \cap X \setminus \{\xbar\}$. Si conclude
dunque che $(f_1f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
\item Sia $I = [a, \infty]$ un intorno di $+\infty$. Allora, poiché $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$,
esiste un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq [\abs a, \infty] \subseteq I$. Si
consideri dunque $Z := J \cap J'$: vale dunque che $(f_1f_2)(x) = f_1(x) f_2(x) \geq \abs{a}c \geq a$ $\forall x \in Z \cap X \setminus \{\xbar\}$. Si conclude allora che $(f_1f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $f: \RR \to \RR$ tale che:
\[ f(x) = \system{x + 2x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \se x \neq 0, \\ 0 & \altrimenti.} \]
\vskip 0.05in
Si mostri che $f$ è continua ovunque e che $D_+ f(0) = 1$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Poiché somma di funzioni elementari, $f$ è continua in $(0, \infty)$. Analogamente è continua in
$(-\infty, 0)$ dacché è costante in tale intervallo. Affinché allora $f$ sia continua ovunque è
sufficiente che si dimostri che è continua anche in $0$. Dal momento che $0$ è un punto di accumulazione
sia destro che sinistro di $\RR$, questo equivale a mostrare che il limite destro e sinistro di $f$
esistono in $0$ e coincidono. \\
Si verifica dunque che
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x + \lim_{x \to 0^+} 2x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0, \]
dove si è impiegato il fatto che $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ è limitata in ogni intorno di $0$ e che
$2x^2 \tendsto{0^+} 0$; quindi $f$ è continua in $0$, e lo è allora ovunque. \\
Si computa allora la derivata destra di $f$ in $0$:
\[ D_+ f(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h + 2h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = 1 + \lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 1, \]
dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$. \\
\end{solution}
\end{document}