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feat(algebra1): aggiunge appunti sul gruppo degli automorfismi

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Gabriel Antonio Videtta 1 year ago
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Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf
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149
Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex
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@ -0,0 +1,149 @@
\documentclass[12pt]{scrartcl}
\usepackage{notes_2023}
\begin{document}
\title{Il gruppo degli automorfismi}
\maketitle
\begin{note}
Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto.
\end{note}
\begin{definition}[gruppo degli automorfismi]
Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il
gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione.
\end{definition} \smallskip
Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$
determinato dalla seguente associazione:
\[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \]
\begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo
degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$
dotato dell'operazione di composizione, dove:
\[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \]
\end{definition}
Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che:
\[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \]
così come vale anche che:
\[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip
Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo
normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che:
\[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \]
Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$
(infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip
Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$
con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente,
si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi
$G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la:
\begin{proposition}
$\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio
automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$
è un omomorfismo tra gruppi:
\[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \]
Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$.
Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti,
se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che:
\[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \]
Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$.
\end{proof} \bigskip
Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività
del gruppo. Infatti vale la:
\begin{proposition}
$G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale).
\end{proposition}
\begin{proof}
Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico.
Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$.
Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui
$h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono
$z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip
Si conclude allora che:
\[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \]
e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale).
\end{proof} \bigskip
Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se
$G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$
risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione
di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che:
\begin{proposition}
Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante
per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$).
\end{proposition}
\begin{proof}
Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per
definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante
equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$.
\end{proof} \bigskip
In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è
ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti
$\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che:
\[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \]
mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip
Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti
per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$.
\begin{definition}[sottogruppo caratteristico]
$H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$
è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$.
\end{definition} \smallskip
In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni
automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo
di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies
H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo
in $H$). \bigskip
Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è
in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è
vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$
tale per cui:
\[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \]
Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è
abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$.
Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip
Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico,
$Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e
$g \in G$, vale che:
\[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \]
e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip
Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque
caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi),
$H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo
bigezioni).
\end{document}

400
tex/latex/style/notes_2023.sty
Unescape Escape View File

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% Setup preliminari
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da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
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% Modalità matematica/fisica
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% Principio di induzione e setup dimostrativi.
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% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
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% evan.sty original commands
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% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
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% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
% più comuni.
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% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
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