mirror of https://github.com/hearot/notes
feat(algebra1): aggiunge appunti sul gruppo degli automorfismi
parent
4590534195
commit
144ea0bbda
Binary file not shown.
@ -0,0 +1,149 @@
|
||||
\documentclass[12pt]{scrartcl}
|
||||
\usepackage{notes_2023}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\title{Il gruppo degli automorfismi}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\begin{note}
|
||||
Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
|
||||
Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto.
|
||||
\end{note}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[gruppo degli automorfismi]
|
||||
Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il
|
||||
gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione.
|
||||
\end{definition} \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$
|
||||
determinato dalla seguente associazione:
|
||||
\[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \]
|
||||
|
||||
\begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo
|
||||
degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$
|
||||
dotato dell'operazione di composizione, dove:
|
||||
|
||||
\[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che:
|
||||
\[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \]
|
||||
così come vale anche che:
|
||||
\[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip
|
||||
|
||||
|
||||
Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo
|
||||
normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che:
|
||||
\[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \]
|
||||
|
||||
Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$
|
||||
(infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$
|
||||
con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente,
|
||||
si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi
|
||||
$G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la:
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio
|
||||
automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$
|
||||
è un omomorfismo tra gruppi:
|
||||
\[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \]
|
||||
|
||||
Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$.
|
||||
Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti,
|
||||
se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che:
|
||||
\[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \]
|
||||
|
||||
Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$.
|
||||
\end{proof} \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività
|
||||
del gruppo. Infatti vale la:
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale).
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico.
|
||||
Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$.
|
||||
Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui
|
||||
$h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono
|
||||
$z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Si conclude allora che:
|
||||
\[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \]
|
||||
e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale).
|
||||
\end{proof} \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se
|
||||
$G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$
|
||||
risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione
|
||||
di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che:
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante
|
||||
per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$).
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per
|
||||
definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante
|
||||
equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$.
|
||||
\end{proof} \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è
|
||||
ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti
|
||||
$\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che:
|
||||
\[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \]
|
||||
mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti
|
||||
per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[sottogruppo caratteristico]
|
||||
$H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$
|
||||
è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$.
|
||||
\end{definition} \smallskip
|
||||
|
||||
In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni
|
||||
automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo
|
||||
di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies
|
||||
H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo
|
||||
in $H$). \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è
|
||||
in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è
|
||||
vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$
|
||||
tale per cui:
|
||||
\[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \]
|
||||
Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è
|
||||
abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$.
|
||||
Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico,
|
||||
$Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e
|
||||
$g \in G$, vale che:
|
||||
\[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \]
|
||||
e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip
|
||||
|
||||
|
||||
Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque
|
||||
caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi),
|
||||
$H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo
|
||||
bigezioni).
|
||||
\end{document}
|
||||
@ -0,0 +1,400 @@
|
||||
\ProvidesPackage{notes_2023}
|
||||
|
||||
\usepackage{amsmath,amssymb}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsopn}
|
||||
\usepackage{bookmark}
|
||||
\usepackage{faktor}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{nicefrac}
|
||||
\usepackage{stmaryrd}
|
||||
\usepackage{marvosym}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{scalerel}
|
||||
\usepackage{stackengine}
|
||||
\usepackage{wasysym}
|
||||
|
||||
\usepackage[italian]{babel}
|
||||
|
||||
\usepackage{tabularx}
|
||||
|
||||
% Setup preliminari
|
||||
\setlength{\extrarowheight}{4pt}
|
||||
|
||||
\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è
|
||||
da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
|
||||
|
||||
\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par}
|
||||
|
||||
% Modalità matematica/fisica
|
||||
\newcommand{\SMatrix}[1]{\begin{psmallmatrix}#1\end{psmallmatrix}}
|
||||
|
||||
\let\oldvec\vec
|
||||
\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\con}{\text{con }}
|
||||
\newcommand{\dove}{\text{dove }}
|
||||
\newcommand{\E}{\text{ e }}
|
||||
\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
|
||||
\newcommand{\se}{\text{se }}
|
||||
\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!}
|
||||
\newcommand{\epari}{\text{ è pari}}
|
||||
\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\nl}{\ \\}
|
||||
|
||||
\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;}
|
||||
|
||||
\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
|
||||
\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
|
||||
|
||||
\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
|
||||
\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
|
||||
|
||||
\setlength\parindent{0pt}
|
||||
|
||||
% Principio di induzione e setup dimostrativi.
|
||||
\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;}
|
||||
\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;}
|
||||
|
||||
\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;}
|
||||
\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}
|
||||
|
||||
% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1.
|
||||
\newcommand{\dx}{\dot{x}}
|
||||
\newcommand{\ddx}{\ddot{x}}
|
||||
\newcommand{\dv}{\dot{v}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\del}{\partial}
|
||||
\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
|
||||
\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
|
||||
\newcommand{\khat}{\hat{k}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
|
||||
\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
|
||||
\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
|
||||
\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
|
||||
|
||||
% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
|
||||
%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}}
|
||||
\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}}
|
||||
\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}}
|
||||
\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
|
||||
\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
|
||||
\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
|
||||
\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
|
||||
\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
|
||||
\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
|
||||
|
||||
% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
|
||||
\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}}
|
||||
\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top}
|
||||
|
||||
\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
|
||||
|
||||
\let\AA\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
|
||||
\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
|
||||
\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
|
||||
\newcommand{\KKxn}{\KK[x_1, \ldots, x_n]}
|
||||
|
||||
\let\ext\faktor
|
||||
\newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
|
||||
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
|
||||
\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
|
||||
\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\PH}{PH}
|
||||
\DeclareMathOperator{\PS}{PS}
|
||||
|
||||
\let\imm\Im
|
||||
\let\Im\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
|
||||
\newcommand{\restr}[2]{
|
||||
#1\arrowvert_{#2}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\newcommand{\innprod}[1]{\langle #1 \rangle}
|
||||
|
||||
\newcommand{\zerovecset}{\{\vec 0\}}
|
||||
\newcommand{\bigzero}{\mbox{0}}
|
||||
\newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\Idv}{\operatorname{Id}_V}
|
||||
\newcommand{\Idw}{\operatorname{Id}_W}
|
||||
\newcommand{\IdV}[1]{\operatorname{Id}_{#1}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mult}{Mult}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
|
||||
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Cof}{Cof}
|
||||
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Sp}{sp}
|
||||
|
||||
\newcommand{\dperp}{{\perp\perp}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\Eigsp}[0]{V_{\lambda}}
|
||||
\newcommand{\Gensp}[0]{\widetilde{V_{\lambda}}}
|
||||
\newcommand{\eigsp}[1]{V_{\lambda_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\gensp}[1]{\widetilde{V_{\lambda_{#1}}}}
|
||||
\newcommand{\genspC}[1]{\widetilde{V_{#1}}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\val}{val}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
|
||||
\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}}
|
||||
\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)}
|
||||
\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}}
|
||||
\newcommand{\valf}{\val_f}
|
||||
\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}}
|
||||
\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\V}{\vec{v}}
|
||||
\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}}
|
||||
\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}}
|
||||
\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}}
|
||||
\newcommand{\NMatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
|
||||
\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
|
||||
\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
|
||||
|
||||
\let\v\undefined
|
||||
\newcommand{\v}{\vec{v}}
|
||||
\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\w}{\vec{w}}
|
||||
\newcommand{\U}{\vec{u}}
|
||||
\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\x}{\vec{x}}
|
||||
\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}}
|
||||
\newcommand{\y}{\vec{y}}
|
||||
\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
|
||||
\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
|
||||
|
||||
% Comandi personali.
|
||||
|
||||
\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
|
||||
\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
|
||||
\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
|
||||
\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
|
||||
|
||||
\newenvironment{solution}
|
||||
{\textit{Soluzione.}\,}
|
||||
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
|
||||
\let\abstract\undefined
|
||||
\let\endabstract\undefined
|
||||
|
||||
\newtheorem*{abstract}{Abstract}
|
||||
\newtheorem*{algorithm}{Algoritmo}
|
||||
\newtheorem*{corollary}{Corollario}
|
||||
\newtheorem*{definition}{Definizione}
|
||||
\newtheorem*{example}{Esempio}
|
||||
\newtheorem{exercise}{Esercizio}
|
||||
\newtheorem{lemma}{Lemma}
|
||||
\newtheorem*{note}{Nota}
|
||||
\newtheorem*{remark}{Osservazione}
|
||||
\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
|
||||
\newtheorem*{summary}{Sommario}
|
||||
\newtheorem*{theorem}{Teorema}
|
||||
|
||||
\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
|
||||
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
|
||||
\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
|
||||
\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
|
||||
\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
|
||||
\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
|
||||
\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
|
||||
\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
|
||||
|
||||
\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
|
||||
\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
|
||||
\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
|
||||
\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
|
||||
\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
|
||||
\newcommand{\Ll}{\mathcal{L}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\nsg}{\triangleleft} % sottogruppo normale proprio
|
||||
\newcommand{\nsgeq}{\trianglelefteqslant} % sottogruppo normale
|
||||
|
||||
% evan.sty original commands
|
||||
\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
|
||||
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
|
||||
\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
|
||||
\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
|
||||
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
|
||||
\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
|
||||
\providecommand{\alert}{\vocab}
|
||||
\newcommand{\catname}{\mathsf}
|
||||
\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
|
||||
|
||||
% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
|
||||
\newcommand{\CC}{\mathbb C}
|
||||
\newcommand{\FF}{\mathbb F}
|
||||
\newcommand{\NN}{\mathbb N}
|
||||
\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
|
||||
\newcommand{\RR}{\mathbb R}
|
||||
\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
|
||||
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
|
||||
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
|
||||
|
||||
% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
|
||||
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
|
||||
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
|
||||
\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
|
||||
\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
|
||||
\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
|
||||
|
||||
% From M275 "Topology" at SJSU
|
||||
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
|
||||
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
|
||||
\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
|
||||
\newcommand{\inv}{^{-1}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||
\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
|
||||
\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
|
||||
|
||||
% From the USAMO .tex files
|
||||
\newcommand{\dg}{^\circ}
|
||||
|
||||
\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
|
||||
\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
|
||||
\newcommand{\opname}{\operatorname}
|
||||
\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
|
||||
\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
|
||||
|
||||
% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
|
||||
\DeclareMathOperator{\End}{End}
|
||||
\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
|
||||
\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
|
||||
\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
|
||||
\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
|
||||
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
|
||||
|
||||
% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
|
||||
% più comuni.
|
||||
|
||||
\let\oldemptyset\emptyset
|
||||
\let\emptyset\varnothing
|
||||
|
||||
% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
|
||||
|
||||
\let\oldcirc\circ
|
||||
\let\circ\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
|
||||
|
||||
\let\oldexists\exists
|
||||
\let\exists\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
|
||||
|
||||
\let\oldforall\forall
|
||||
\let\forall\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
|
||||
|
||||
\let\oldnexists\nexists
|
||||
\let\nexists\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
|
||||
|
||||
\let\oldland\land
|
||||
\let\land\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
|
||||
|
||||
\let\oldlnot\lnot
|
||||
\let\lnot\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
|
||||
|
||||
\let\oldlor\lor
|
||||
\let\lor\undefined
|
||||
\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
|
||||
|
||||
\DeclareOption{counter}{
|
||||
\let\algorithm\@undefined
|
||||
\let\endalgorithm\@undefined
|
||||
\let\corollary\@undefined
|
||||
\let\endcorollary\@undefined
|
||||
\let\c@lemma\@undefined
|
||||
\let\lemma\@undefined
|
||||
\let\endlemma\@undefined
|
||||
\let\proposition\@undefined
|
||||
\let\endproposition\@undefined
|
||||
\let\theorem\@undefined
|
||||
\let\endtheorem\@undefined
|
||||
|
||||
\newtheorem{algorithm}{Algoritmo}[chapter]
|
||||
\newtheorem{corollary}{Corollario}[chapter]
|
||||
\newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter]
|
||||
\newtheorem{proposition}{Proposizione}[chapter]
|
||||
\newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
|
||||
}
|
||||
|
||||
\ProcessOptions\relax
|
||||
|
||||
\author{di Gabriel Antonio Videtta}
|
||||
\date{\vspace{-0.5cm}}
|
||||
Loading…
Reference in New Issue