feat(eps): reindirizzamento al caso discreto di alcuni risultati

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\begin{multicols*}{2} \begin{multicols*}{2}
\section*{Algebra lineare} \section*{Algebra lineare}
\addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura} \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
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\item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni. \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni.
\item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile. \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile.
\item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. È tale per cui $m([a, b]) = b-a$ per $b > a$. \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. È tale per cui $m([a, b]) = b-a$ per $b > a$.
\item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $\left(\RR^d, \BB\left(\RR^d\right)\right)$ con $d \geq 1$. È tale per cui
$m\left([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d]\right) = (b_1 - a_1) \cdots (b_d - a_d)$ con $a_i$, $b_i \in \RR$ e
$b_i > a_i$ per $1 \leq i \leq d$. Non si distingue generalmente la notazione dal caso unidimensionale.
\item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile. \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
\item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità. \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
\item \qc -- quasi certo/quasi certamente. \item \qc -- quasi certo/quasi certamente.

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$\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$). $\abs{x}$ e $\abs{y}$ ($t^p$ è convessa per $t \geq 0$).
\item \textbf{Una funzione crescente ammette un insieme discreto di discontinuità} -- \item \textbf{Una funzione crescente ammette un insieme discreto di discontinuità} --
È possibile costruire facilmente una funzione iniettiva da tale insieme a $\QQ$ sfruttando È possibile costruire facilmente una funzione iniettiva da tale insieme a $\QQ$ sfruttando
i limiti sinistri nelle discontinuità. i limiti sinistri e destri nelle discontinuità.
\item \textbf{Lemma di Dynkin, versione probabilistica} -- Se \item \textbf{Lemma di Dynkin, versione probabilistica} -- Se
due misure di probabilità $P$ e $Q$ su $(\Omega, \FF)$ coincidono su un $\pi$-sistema di $\FF$ due misure di probabilità $P$ e $Q$ su $(\Omega, \FF)$ coincidono su un $\pi$-sistema di $\FF$
contenente $\Omega$, allora $P \equiv Q$. contenente $\Omega$, allora $P \equiv Q$.
\item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue} -- Esiste ed \item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue} -- Esiste ed
è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
$m([a, b]) = b-a$. Segue dalla versione più generale del lemma di Dynkin. $m([a, b]) = b-a$. Segue dalla versione più generale del lemma di Dynkin.
\item \textbf{Esistenza e unicità della misura di Lebesgue $d$-dimensionale} -- Esiste ed
è unica la misura $m$ su $\left(\RR^d, \BB\left(\RR^d\right)\right)$ tale per cui
$m\left([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_d, b_d]\right) = (b_1 - a_1) \cdots (b_d - a_d)$ con $a_i$, $b_i \in \RR$ e
$b_i > a_i$ per $1 \leq i \leq d$.
\item \textbf{Lemma di Fatou} -- \item \textbf{Lemma di Fatou} --
Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto Sia $(X, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $(f_i : X \to \RR)_{i \in \NN}$ una successione di funzioni misurabili rispetto
a $(\RR, m)$ con $f_i \geq 0$ e con a $(\RR, m)$ con $f_i \geq 0$ e con

@ -653,6 +653,7 @@ aspettarsi il seguente:
\end{lemma} \end{lemma}
\subsection{Momenti (assoluti) \texorpdfstring{$n$}{n}-esimi} \subsection{Momenti (assoluti) \texorpdfstring{$n$}{n}-esimi}
\label{sec:momenti_assoluti}
\begin{definition}[Momento $n$-esimo assoluto] \begin{definition}[Momento $n$-esimo assoluto]
Data $X$ v.a.~reale e $n \in \RR^+$, definiamo il Data $X$ v.a.~reale e $n \in \RR^+$, definiamo il

@ -260,7 +260,9 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
$F$ come funzione di ripartizione. \smallskip $F$ come funzione di ripartizione. \smallskip
L'unicità segue dal lemma di Dynkin. L'unicità segue dal lemma di Dynkin. Per l'esistenza è utile considerare
che l'insieme delle discontinuità di $F$ è discreto dacché
$F$ è crescente.
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{remark} \begin{remark}
@ -717,4 +719,33 @@ che $\mu$ assuma valori finiti per le funzioni semplici).
\hyperref[th:convergenza_monotona]{Teorema di convergenza monotona}. \hyperref[th:convergenza_monotona]{Teorema di convergenza monotona}.
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{remark}
In particolare, per $X$ v.a.~assolutamente continua vale che:
\[
\EE[X] = \int_\RR x f(x) \dx.
\]
\end{remark}
\section{Momenti e disuguaglianze, (co)varianza, dev.~standard, mediana e moda}
Tutti le disuguaglianze sul valore atteso (e.g.~Markov) e tutti i risultati
riguardanti i momenti (assoluti e non), la covarianza, la varianza, la
deviazione standard, la mediana e la moda passano direttamente al
caso reale a partire dalle proprietà del funzionale lineare
$\EE[\cdot]$. Si rimanda dunque alla \hyperref[sec:momenti_assoluti]{\textit{Parte 2}}.
\begin{proposition}
Sia $X$ v.a.~reale e siano $A$ e $B$ tali per cui:
\[
A = \left\{t \in \RR \mid F(t) < \frac{1}{2} \right\}, \quad B = \left\{t \in \RR \mid F(t) > \frac{1}{2} \right\}.
\]
Allora $m$ è una mediana se e solo se $m \in [\underline{m}, \overline{m}]$, dove $\underline{m} = \sup \, A$ e
$\overline{m} = \inf \, B$. \smallskip
Infatti ogni mediana $m$ è maggiorante di $A$ e minorante di $B$ per la monotonia di
$F$ (e dunque $m \in [\underline{m}, \overline{m}]$). Si verifica poi che ogni elemento
di tale intervallo è mediana.
\end{proposition}
\end{multicols*} \end{multicols*}
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