\begin{proof}[Dimostrazione del caso $(a)$ con $x_0$]
Si consideri il caso (a) per $x_0$ finito. Si ponga $f(x_0)= g(x_0) :=0$.Senza perdità di generalità si
Senza perdità di generalità si ponga $f(x_0)= g(x_0) :=0$ e si
assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus\{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus\{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)- f(x_0)}{g(x)}- g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x}\in(x_0, x)$,
Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)- f(x_0)}{g(x)}- g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x}\in(x_0, x)$,
in funzione di $x$, tale
in funzione di $x$, tale
che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}=\lim_{\tilde x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}= L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}=\lim_{\tilde x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}= L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
relazione $x_0 < \tilde x < x$. \\
relazione $x_0 < \tilde x < x$.
Si consideri ora il caso (b) per $x_0$ finito. Siano $x_1 > x_0$
tali che $x_1 > x > x_0$. Allora vale la seguente identità:
Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}$.
Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}$.
Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} f'(x)$.
Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} f'(x)$.
\end{proof}
\end{proof}
\begin{theorem} (sullo sviluppo di Taylor)
Sia $I$ un intervallo e sia $\xbar\in I$. Sia $f : I \to\RR$ e
sia $d \in\NN$. Sia $f$ derivabile $d-1$ dappertutto e sia derivabile
$d$ volte in $\xbar$. Allora, detti
\[ P_d(h)= f(\xbar)+ f'(\xbar) h +\ldots+\frac{f^{(d)}(\xbar)}{d!} h^d, \]
\[ R_d(h)= f(\xbar+ h)- P_d(h), \]
\begin{enumerate}[(a)]
\item$R_d(h)= o(h^d)$ per $h \to0$,
\item se $f$ è derivabile $d$ volte su $I$ e $d+1$ volte in $\xbar$, allora $R_d(h)= O(h^{d+1})$ per $h \to0$ e $\frac{R_d(h)}{h^{d+1}}\to\frac{f^{(d+1)}(\xbar)}{(d+1)!}$,
\item se $f$ è derivabile $d+1$ volte su $I$, allora
$\forall h \mid\xbar+ h \in I$, $\exists\tilde x \in[\xbar, \xbar+ h]\mid R_d(h)=\frac{f^{(d+1)}(\tilde x)}{(d+1)!}$ (\textit{formula del resto di Lagrange}),
\item se $f \in C^{d+1}$, allora $R_d(h)=\frac{1}{d!}\int_0^h (h-t)^d f^{(d+1)}(\xbar+ t)\, dt$ (\textit{formula integrale}).
(d) Si assuma $\xbar=0$ e $f \in C^{d+1}$. Innanzitutto
si osserva che la tesi è equivalente a mostrare che $f(h)= P_d(h)+\frac{1}{d!}\int_0^h (h-t)^d f^{(d+1)}(t)\, dt$. \\
Se $d=0$, $f(h)= f(0)+\int_0^h f'(t)\,dt$ (teorema fondamentale
del calcolo integrale). $f(h)= f(0)+\abs{-(h-t) f'(h)}_0^h +\int_0^h (h-t) f''(t)\, dt$. [...] % TODO: si continua per induzione
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f : I \to\RR$ derivabile. Sia $\xbar\in I$ tale che
$f'(\xbar)=0$ ed esista $f''(\xbar)$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$f''(\xbar) > 0\implies\xbar$ è un punto di minimo locale stretto,
\item$f''(\xbar) < 0\implies\xbar$ è un punto di massimo locale.stretto,
\item$\xbar$ è un punto di minimo locale $\implies f''(\xbar)\geq0$,
\item$\xbar$ è un punto di massimo locale $\implies f''(\xbar)\leq0$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Per lo sviluppo di Taylor, $f(\xbar+ h)= f(\xbar)+ f'(\xbar) h +\frac{1}{2} f''(\xbar) h^2+ o(h^2)\implies\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h^2}=\frac{1}{2} f''(\xbar)+ o(1)$ (infinitesimo).
Allora $\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h^2}\tendsto{h} L > 0$.
Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia
Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia
(come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli
(come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli
appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
In ogni caso, il corso di Aritmetica è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti.
- [Sito web 🔗](http://pages.di.unipi.it/bodei/CORSO_FP_22/FP/index.html)
- [Sito web 🔗](http://pages.di.unipi.it/bodei/CORSO_FP_22/FP/index.html)
Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
Il corso è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti.
