Si consideri il caso (a) per $x_0$ finito. Si ponga $f(x_0)= g(x_0) :=0$.Senza perdità di generalità si
\begin{proof}[Dimostrazione del caso $(a)$ con $x_0$]
Senza perdità di generalità si ponga $f(x_0)= g(x_0) :=0$ e si
assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus\{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)- f(x_0)}{g(x)}- g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x}\in(x_0, x)$,
in funzione di $x$, tale
che $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}=\lim_{\tilde x \to x_0}\frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}= L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
relazione $x_0 < \tilde x < x$. \\
Si consideri ora il caso (b) per $x_0$ finito. Siano $x_1 > x_0$
tali che $x_1 > x > x_0$. Allora vale la seguente identità:
Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}$.
Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} f'(x)$.
\end{proof}
\begin{theorem} (sullo sviluppo di Taylor)
Sia $I$ un intervallo e sia $\xbar\in I$. Sia $f : I \to\RR$ e
sia $d \in\NN$. Sia $f$ derivabile $d-1$ dappertutto e sia derivabile
$d$ volte in $\xbar$. Allora, detti
\[ P_d(h)= f(\xbar)+ f'(\xbar) h +\ldots+\frac{f^{(d)}(\xbar)}{d!} h^d, \]
\[ R_d(h)= f(\xbar+ h)- P_d(h), \]
\begin{enumerate}[(a)]
\item$R_d(h)= o(h^d)$ per $h \to0$,
\item se $f$ è derivabile $d$ volte su $I$ e $d+1$ volte in $\xbar$, allora $R_d(h)= O(h^{d+1})$ per $h \to0$ e $\frac{R_d(h)}{h^{d+1}}\to\frac{f^{(d+1)}(\xbar)}{(d+1)!}$,
\item se $f$ è derivabile $d+1$ volte su $I$, allora
$\forall h \mid\xbar+ h \in I$, $\exists\tilde x \in[\xbar, \xbar+ h]\mid R_d(h)=\frac{f^{(d+1)}(\tilde x)}{(d+1)!}$ (\textit{formula del resto di Lagrange}),
\item se $f \in C^{d+1}$, allora $R_d(h)=\frac{1}{d!}\int_0^h (h-t)^d f^{(d+1)}(\xbar+ t)\, dt$ (\textit{formula integrale}).
(d) Si assuma $\xbar=0$ e $f \in C^{d+1}$. Innanzitutto
si osserva che la tesi è equivalente a mostrare che $f(h)= P_d(h)+\frac{1}{d!}\int_0^h (h-t)^d f^{(d+1)}(t)\, dt$. \\
Se $d=0$, $f(h)= f(0)+\int_0^h f'(t)\,dt$ (teorema fondamentale
del calcolo integrale). $f(h)= f(0)+\abs{-(h-t) f'(h)}_0^h +\int_0^h (h-t) f''(t)\, dt$. [...] % TODO: si continua per induzione
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f : I \to\RR$ derivabile. Sia $\xbar\in I$ tale che
$f'(\xbar)=0$ ed esista $f''(\xbar)$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$f''(\xbar) > 0\implies\xbar$ è un punto di minimo locale stretto,
\item$f''(\xbar) < 0\implies\xbar$ è un punto di massimo locale.stretto,
\item$\xbar$ è un punto di minimo locale $\implies f''(\xbar)\geq0$,
\item$\xbar$ è un punto di massimo locale $\implies f''(\xbar)\leq0$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Per lo sviluppo di Taylor, $f(\xbar+ h)= f(\xbar)+ f'(\xbar) h +\frac{1}{2} f''(\xbar) h^2+ o(h^2)\implies\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h^2}=\frac{1}{2} f''(\xbar)+ o(1)$ (infinitesimo).
Allora $\frac{f(\xbar+ h)- f(\xbar)}{h^2}\tendsto{h} L > 0$.
Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia
(come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli
appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
In ogni caso, il corso di Aritmetica è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti.
- [Sito web 🔗](http://pages.di.unipi.it/bodei/CORSO_FP_22/FP/index.html)
Gli appunti relativi al corso di Fondamenti di programmazione sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Seppur carenti per quanto riguarda la parte relativa al linguaggio C, tali appunti approfondiscono in modo particolare
il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
il programma riguardante la semantica, gli automi a stati finiti (DFA, NFA, ε-NFA) e le grammatiche.
Il corso è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti.
