e dunque che $\Sym^k(V)+\Lambda^k(V)\neq\Mult(V^k, \KK)$.
e dunque che $\Sym^k(V)+\Lambda^k(V)\neq\Mult(V^k, \KK)$.
\subsection{Determinante di una matrice}
\subsection{Determinante di una matrice}
Si definisce il determinante $\det$ di una matrice di taglia
Si definisce il determinante $\det$ di una matrice di taglia
@ -2491,43 +2489,53 @@
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
\subsection{Coniche}%problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
\subsection{Coniche e quadriche}
Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
(Notare che il polinomio può non avere soluzioni ed è invariante per la moltiplicazione per uno scalare diverso da 0).
Si definisce \textit{quadrica} il luogo di zeri in $\AA_n(\KK)$ di un polinomio
di secondo grado $p(x_1, \ldots, x_n)\in\KK[x_1, \ldots, x_n]$ in $n$ variabili, dove si identifica con
una $n$-upla $(x_1, \ldots, x_n)$ di variabili che sono zeri del polinomio
un elemento di $\AA_n(\KK)$ con le stesse coordinate.
Una \textit{conica} è in particolare una quadrica in due variabili. Si osserva che
una quadrica è invariante per la moltiplicazione per uno scalare diverso
da $0$.
Più in generale chiamiamo \textit{quadrica} in $\mathcal{A}_n(\KK)$ il luogo degli zeri di un polinomio di secondo grado in n variabili $p(x_1,\ldots,x_n)$
D'ora in poi si intenderà con $\x$ l'$n$-upla $(x_1, \ldots, x_n)$ e si supporrà
$\Char\KK\neq2$. Il polinomio $p(x_1, \ldots, x_n)$ può essere descritto come:
dove $\AA$ è la matrice dei coefficienti dei fattori di grado 2, $\Vec{b}$ è il vettore dei coefficienti dei fattori lineari e $c$ è il termine noto del polinomio.
\[\MM(p)=\Matrix{\AA(p)&\rvline&\Ll(p)\,\\\hline\Ll(p)&\rvline& c(p)}\in\Sym(n+1, \KK),\] la quale viene detta \textit{matrice associata alla quadrica} in $p$. Allora, tramite l'identificazione di $\Aa_n(\KK)$ in $H_{n+1}\subset\KK^{n+1}$ mediante $\iota$, vale che:
Definiamo inoltre la matrice $\MM(p)=\begin{pmatrix}
Si deduce allora che una quadrica altro non è che la controimmagine tramite $\iota$
\end{pmatrix}$
dell'intersezione tra $H_{n+1}$ e il cono isotropo $\CI(\varphi_{\MM(p)})$, dove
$\varphi_{\MM(p)}$ è il prodotto scalare indotto da $\MM(p)$ in $\KK^{n+1}$ (i.e.~la quadrica è esattamente $\iota\inv(H_{n+1}\cap\CI(\varphi_{\MM(p)}))$).
Nel caso di una conica determinata dal polinomio $p(x,y)=a_{1,1}x^2+a_{1,2}xy+a_{2,2}y^2+a_{1,3}x+a_{2,3}y+a_{3,3}$ abbiamo che:
Nel caso di una conica determinata dal polinomio $p(x,y)=$$ax^2+by^2+$$cxy+dx+ey+f$, vale
che:
\[\MM(p)=\Matrix{\NMatrix{a &\nicefrac{c}{2}\\\nicefrac{c}{2}& b}&\rvline&\NMatrix{\nicefrac{d}{2}\\\nicefrac{e}{2}}\,\\\hline\NMatrix{\nicefrac{d}{2}&\nicefrac{e}{2}}&\rvline& f }. \]
$\AA(p)=\begin{pmatrix}
a_{1,1}&\frac{a_{1,2}}{2}\\
\frac{a_{1,2}}{2}& a_{2,2}
\end{pmatrix}$
$\Vec{b}=\mathcal{L}(p)=\begin{pmatrix}
\frac{a_{1,3}}{2}\\
\frac{a_{2,3}}{2}
\end{pmatrix}$
$c=a_{3,3}$
$\MM(p)=\begin{pmatrix}
a_{1,1}&\frac{a_{1,2}}{2}&\frac{a_{1,3}}{2}\\
\frac{a_{1,2}}{2}& a_{2,2}&\frac{a_{2,3}}{2}\\
\frac{a_{1,3}}{2}&\frac{a_{2,3}}{2}& a_{3,3,}\\
\end{pmatrix}$
Sia $f\in A_n(\KK)$, $f(\x')=M\x'+\Vec{t}$, $M\in GL_n(\KK), t\in\KK^n$.
Sia $f\in A_n(\KK)$, $f(\x')=M\x'+\Vec{t}$, $M\in GL_n(\KK), t\in\KK^n$.
ponendo $\x=M\x'+\Vec{t}$ troviamo:
ponendo $\x=M\x'+\Vec{t}$ troviamo:
\[p'(\x')=\x'^{\top} A'\x'+2\Vec{b'}^\top\x'+c'\]
\[p'(\x')=\x'^{\top} A'\x'+2\Vec{b'}^\top\x'+c'\]
con $\AA'=M^\top\AA M$, $\Vec{b}'=M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$, $c'=p(\Vec{t})$.
con $\AA'=M^\top\AA M$, $\Vec{b}'=M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$, $c'=p(\Vec{t})$.
