feat(algebrario): aggiunge la base dell'Algebrario

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@@ -6,3 +6,7 @@
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Aritmetica/0. Premessa.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section*{Premessa}
+
+TODO

Aritmetica/1. Gruppi.tex

@@ -1,121 +0,0 @@
-\section{Gruppi}
-
-\subsection{Definizione e motivazione}
-
-Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
-\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
-di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
-regole.
-
-Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
-gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
-come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
-per oggetti matematici apparentemente scollegati.
-
-Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
-generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
-fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
-aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
-aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
-alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
-teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
-esse condividono la natura di gruppo.
-
-\begin{definition}
-    Dato un insieme non vuoto $G$, $(G, \cdot)$ si dice \textbf{gruppo} se data
-    un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ essa è t.c:
-
-    \begin{itemize}
-        \item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
-        \item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \,\, \forall a \in G$
-        \item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = e$
-    \end{itemize}
-\end{definition}
-
-\begin{remark}
-    Nella definizione di gruppo si è chiaramente specificato che l'operazione dev'essere
-    ben definita e, soprattutto, che l'insieme $G$ dev'essere chiuso rispetto ad esso.
-    
-    Pertanto, non è sufficiente aver verificato le tre proprietà sopraelencate senza
-    aver prima verificato che l'operazione sia effettivamente un'operazione di
-    gruppo.
-\end{remark}
-
-\begin{example}[Gruppo ciclico elementare]
-    L'insieme $\ZZ/n\ZZ$ (che talvolta indicheremo semplicemente come $\ZZ_n$) degli interi modulo $n$ è un gruppo con l'operazione di
-    somma $+$. Infatti:
-
-    \begin{itemize}
-        \item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + \left[b\right]_n = \left[a+b\right]_n \in \ZZ/n\ZZ$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
-        \item $\forall \left[a\right]_n, \left[b\right]_n, \left[c\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left(\left[a\right]_n + \left[b\right]_n\right) + \left[c\right]_n = \left[a+b\right]_n +
-        \left[c\right]_n = \left[a+b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left[b+c\right]_n = \left[a\right]_n + \left(\left[b\right]_n + \left[c\right]_n\right)$ (\textit{associatività})
-        \item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \left[a\right]_n + 0 = \left[a\right]_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
-        \item $\forall \left[a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ, \, \exists \left[-a\right]_n \in \ZZ/n\ZZ \mid \left[a\right]_n + \left[-a\right]_n = 0$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
-    \end{itemize}
-\end{example}
-
-\begin{example}[Gruppo simmetrico]
-    L'insieme $S_n$ delle funzioni bigettive da $X_n = \{1, 2, \ldots, n\}$ in sé stesso è un
-    gruppo rispetto all'operazione di composizione, detto \vocab{gruppo simmetrico}. Infatti:
-
-    \begin{itemize}
-        \item $\forall f, g \in S_n, \, f \circ g \in S_n$ (\textit{chiusura rispetto all'operazione})
-        \item $\forall f, g, h \in S_n, \, (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ (\textit{associatività})
-        \item $\exists e = \Id \in S_n \mid f \circ e = f = e \circ f \forall f \in S_n$ (\textit{esistenza dell'elem. neutro})
-        \item $\forall f \in S_n, \, \exists f^{-1} \in S_n \mid f \circ f^{-1} = e$ (\textit{esistenza dell'elem. inverso})
-    \end{itemize}
-\end{example}
-
-Le proprietà date dalla definizione di un gruppo ci permettono immediatamente di desumere
-altre proprietà fondamentali, e che sulle quali faremo affidamento d'ora in poi.
-
-\begin{theorem}
-    \label{th:gruppo:inverso_unico}
-    L'inverso $a^{-1}$ di un elemento $a$ di un gruppo $G$ è unico.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Supponiamo che $b$ e $c$ siano due elementi inversi distinti di $a$. Allora
-    $b=b\cdot e=b\cdot \underbrace{(a \cdot c)}_{=e}=\underbrace{(b \cdot a)}_{=e} \cdot c=c$, \Lightning. Pertanto l'inverso è unico.
-\end{proof}
-
-\begin{theorem}
-    L'inverso dell'inverso $\left(a^{-1}\right)^{-1}$ è pari a $a$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Dal momento che l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}),
-    $\left(a^{-1}\right)^{-1} a^{-1} = e \implies \left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
-\end{proof}
-
-\begin{theorem}
-    L'inverso di $ab$ è $b^{-1}a^{-1}$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Si verifica facilmente che $ab b^{-1}a^{-1}= a e a^{-1} = a a^{-1} = e$. Poiché
-    l'inverso è unico (per il \vocab{Teorema~\ref{th:gruppo:inverso_unico}}), allora
-    $\left(ab\right)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.
-\end{proof}
-
-\begin{remark}
-    In realtà, sebbene a prima vista potrebbe sembrare inusuale l'inversione dei due
-    fattori nell'ultima identità, essa è una conseguenza del modo in cui operiamo
-    naturalmente. Si prenda per esempio la composizione $f \circ g$, per ottenere
-    l'identità è necessario prima decomporre $f$, l'ultima funzione aggiunta, ed infine
-    $g$, ossia seguendo l'ordine da sinistra a destra.
-
-    Nel corso di Geometria vi sarà spiegato come anche la matrici si comportano in
-    questo modo (non è un caso, dal momento che anch'esse, sotto talune condizioni,
-    formano un gruppo, il cosiddetto \vocab{gruppo lineare} $\GL_n(\KK)$).
-\end{remark}
-
-\begin{theorem}
-    Un'equazione della forma $ax=bx$ è vera se e solo se $a=b$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    Infatti, moltiplicando per l'inverso di $x$, $ax=bx \iff axx^{-1}=bxx^{-1} \iff a=b$.
-\end{proof}
-
-

Aritmetica/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex

@@ -0,0 +1,318 @@
+\section{Introduzione alla teoria degli anelli}
+
+\subsection{Definizione e prime proprietà}
+
+\begin{definition}
+    Si definisce \textbf{anello}\footnote{In realtà, si parla in questo caso di anello \textit{con unità}, in cui vale l'assioma di esistenza di un'identità
+        moltiplicativa. In queste dispense si identificherà con "anello" solamente un anello con unità.} una struttura algebrica
+    costruita su un insieme $A$ e due operazioni binarie $+$
+    e $\cdot$\footnote{D'ora in avanti il punto verrà omesso.} avente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\left(A,\, +\right)$ è un \textit{gruppo abeliano}, alla cui
+              identità, detta \textit{identità additiva}, ci si riferisce con il simbolo $0$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $(ab)c = a(bc)$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $(a+b)c=ac+bc$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $a(b+c)=ab+ac$,
+        \item $\exists 1 \in A \mid \forall a \in A$, $1a=a=a1$, e tale $1$ viene
+              detto \textit{identità moltiplicativa}.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Come accade per i gruppi, gli anelli soddisfano alcune proprietà algebriche
+particolari, tra le quali si citano le più importanti:
+
+\begin{proposition}
+    $\forall a \in A$, $0a=0=a0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $0a=(0+0)a=0a+0a \implies 0a=0$. Analogamente $a0=a(0+0)=a0+a0 \implies a0=0$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    $\forall a \in A$, $-(-a)=a$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $-(-a)-a=0 \,\land\, a-a=0 \implies -(-a)=a$, per la proprietà di unicità
+    dell'inverso in un gruppo\footnote{In questo caso, il gruppo additivo dell'anello.}.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:inverso_inverso}
+    $a(-b)=(-a)b=-(ab)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0 \implies a(-b)=-(ab)$, per la proprietà di unicità dell'inverso in un gruppo. Analogamente $(-a)b+ab=(a-a)b=0b=0 \implies
+        (-a)b=-(ab)$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    $(-1)a=a(-1)=-a$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proposition}
+    $(-a)(-b)=ab$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$, per la \textit{Proposizione \ref{prop:inverso_inverso}}.
+\end{proof}
+
+Si enuncia invece adesso la nozione di \textbf{sottoanello}, in tutto e per
+tutto analoga a quella di \textit{sottogruppo}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce sottoanello rispetto all'anello $A$ un anello $B$ avente le
+    seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $B \subseteq A$,
+        \item $0, 1 \in B$,
+        \item $\forall a, b \in B,$ $a + b \in B \,\land\, ab \in B$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un sottoanello $B$ rispetto ad $A$ si dice \textbf{proprio} se
+    $B \neq A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un anello si dice \textbf{commutativo} se $\forall a$, $b \in A$, $ab=ba$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    Un facile esempio di anello commutativo è $\ZZ/n\ZZ$.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un elemento $a$ di un anello $A$ si dice \textbf{invertibile} se
+    $\exists b \in A \mid ab = ba = 1$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Dato un anello $A$, si definisce $A^*$ come l'insieme degli elementi
+    invertibili di $A$, che a sua volta forma un \textit{gruppo moltiplicativo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un anello $A$ si dice \textbf{corpo} se $\forall a \neq 0 \in A$, $\exists b \in A \mid ab=ba=1$,
+    ossia se $A \setminus \{0\} = A^*$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    L'esempio più rilevante di corpo è quello dei \textit{quaternioni} $\HH$, definiti
+    nel seguente modo:
+
+    \[\HH = \{a+b\ii+c\jj+d\kk \mid a,\, b,\, c,\, d \in \RR\},\]
+
+    dove:
+
+    \[\ii^2 = \jj^2 = \kk^2 = -1, \quad \ii\jj = \kk,\, \jj\kk = \ii,\, \kk\ii = \jj. \]
+
+    Infatti ogni elemento non nullo di $\HH$ possiede un inverso moltiplicativo:
+
+    \[\left(a+b\ii+c\jj+d\kk\right)^{-1} = \frac{a-b\ii-c\jj-d\kk}{a^2+b^2+c^2+d^2},\]
+
+    mentre la moltiplicazione non è commutativa.
+
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un anello commutativo che è anche un corpo si dice \textbf{campo}.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    Alcuni campi, tra i più importanti, sono $\QQ$, $\RR$, $\CC$ e $\ZZ/p\ZZ$ con
+    $p$ primo.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un elemento $a \neq 0$ appartenente a un anello $A$ si dice \textbf{divisore di zero} se
+    $\exists b \neq 0 \in A \mid ab = 0$ o $ba = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    $2$ è un divisore di zero in $\ZZ/6\ZZ$, infatti $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod 6.$
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un anello commutativo in cui non sono presenti divisori di zero si dice \textbf{dominio d'integrità},
+    o più semplicemente \textit{dominio}.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}[\textit{Legge di annullamento del prodotto}]
+    Sia $D$ un dominio. Allora $ab=0 \implies a=0 \,\lor\, b=0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Siano $a$, $b \in D \mid ab = 0$. Se $a=0$, la condizione è soddisfatta.
+    Se invece $a \neq 0$, $b$ deve essere per forza nullo, altrimenti si
+    sarebbe trovato un divisore di $0$, e $D$ non sarebbe un dominio, \Lightning.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    L'anello dei polinomi su un campo, $\KK[x]$, è un dominio.
+\end{example}
+
+\subsection{Omomorfismi di anelli e ideali}
+
+\begin{definition}
+    Un \textbf{omomorfismo di anelli}\footnote{La specificazione "di anelli" è d'ora in avanti omessa.} è una mappa $\phi : A \to B$ -- con
+    $A$ e $B$ anelli -- soddisfacente alcune particolari proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\phi$ è un \textit{omomorfismo di gruppi} rispetto all'addizione
+              di $A$ e di $B$, ossia $\forall a, b \in A, \, \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$,
+        \item $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$,
+        \item $\phi(1_A)=1_B$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo iniettivo, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{monomorfismo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo suriettivo, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{epimorfismo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo bigettivo\footnote{Ovvero se è sia un monomorfismo che un epimorfismo.}, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{isomorfismo}.
+\end{definition}
+
+Prima di enunciare l'analogo del \textit{Primo teorema d'isomorfismo} dei gruppi
+in relazione agli anelli, si rifletta su un esempio di omomorfismo:
+
+\begin{example}
+    Sia $\phi : \ZZ \to \ZZ, k \mapsto 2k$ un omomorfismo. Esso è un monomorfismo,
+    infatti $\phi(x)=\phi(y) \implies 2x=2y \implies x=y$. Pertanto $\Ker \phi = \{0\}$. Sebbene $\Ker \phi < \ZZ$, esso \textbf{non è un sottoanello}\footnote{Infatti $1 \notin \Ker \phi$.}.
+\end{example}
+
+Dunque, con lo scopo di definire meglio le proprietà di un \textit{kernel},
+così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i gruppi, si introduce ora il concetto di \textbf{ideale}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce ideale rispetto all'anello $A$ un insieme $I$ avente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $I \leq A$,
+        \item $\forall a \in A$, $\forall b \in I$, $ab \in I$ e $ba \in I$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    \label{exmpl:polinomi}
+    Sia $I$ l'insieme dei polinomi di $\RR[x]$ tali che $2$ ne sia radice. Esso
+    altro non è che un ideale, infatti $0 \in I \,\land\, \forall f(x), g(x) \in I, (f+g)(2)=0$ (i.e. $I<\RR[x]$) e $\forall f(x) \in A, \, g(x) \in I, \, (fg)(2) = 0$.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $I$ un ideale di $A$. $1 \in I \implies I = A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per le proprietà dell'ideale $I$, $\forall a \in A$, $a1 = a \in I \implies
+        A \subseteq I$. Dal momento che anche $I \subseteq A$, si deduce che $I = A$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Ker \phi$ è allora un ideale di $A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\phi$ è anche un omomorfismo tra gruppi, si deduce che $\Ker \phi \leq A$.
+    Inoltre $\forall a \in A$, $\forall b \in \Ker \phi$, $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\phi(a)0=0 \implies ab \in I$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Imm \phi$ è allora un sottoanello di $B$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Chiaramente $0, 1 \in \Imm \phi$, dal momento che $\phi(0) = 0,\, \phi(1)=1$. Inoltre, dalla teoria dei gruppi, si ricorda anche che $\Imm \phi \leq B$.
+    Infine, $\forall \phi(a),\, \phi(b) \in \Imm \phi, \, \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \Imm \phi$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Si definisce con la notazione $(a)$ l'ideale \textit{bilatero} generato da $a$ in $A$, ossia:
+
+    \[(a)=\{ba \mid b \in A\} \cup \{ab \mid b \in A\}.\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un ideale $I$ è \textit{principale} o \textbf{monogenerato}, quando $\exists a \in I \mid I = (a)$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    In relazione all'\textit{Esempio \ref{exmpl:polinomi}}, l'ideale $I$ è
+    monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
+\end{example}
+
+\subsection{Quoziente per un ideale e primo teorema d'isomorfismo}
+
+Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
+completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
+
+\begin{definition}
+    Sia $A$ un anello e $I$ un suo ideale, si definisce $A/I$ l'anello ottenuto
+    quozientando $A$ per $I$. Gli elementi di tale anello sono le classi di equivalenza di $\sim$ (i.e. gli elementi di $A/{\sim}$), dove $\forall a$, $b \in A$, $a\sim b \iff a-b \in I$. Tali classi di equivalenza vengono indicate come
+    $a + I$, dove $a$ è un rappresentante della classe. L'anello è così dotato di due operazioni:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,
+        \item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)(b+I)=ab+I$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    L'addizione di $A/I$ è ben definita, dal momento che $I \nsg A$, in quanto sottogruppo di un gruppo abeliano.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    Anche la moltiplicazione di $A/I$ è ben definita. Siano $a\sim a'$, $b \sim b'$ quattro elementi di $A$ tali che $a = a' + i_1$ e $b = b' + i_2$ con $i_1$, $i_2 \in I$. Allora $ab=(a'+i_1)(b'+i_2)=a'b' + \underbrace{i_1b' + i_2a' + i_1i_2}_{\in I} \implies ab \sim a'b'$.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:quoziente_pieno}
+    $A/\{0\} \cong A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $\pi : A \to A/\{0\}$, $a \mapsto a + \{0\}$ l'omomorfismo di proiezione
+    al quoziente. Innanzitutto, $a \sim a' \iff a-a'=0 \iff a=a'$, per cui $\pi$ è
+    un monomorfismo (altrimenti si troverebbero due $a$, $b \mid a \neq b \,\land\, a \sim b$). Infine, $\pi$ è un epimorfismo, dal momento che $\forall a + \{0\} \in A/\{0\}, \, \pi(a) = a + \{0\}$. Pertanto $\pi$ è un isomorfismo.
+\end{proof}
+
+Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
+
+\begin{theorem}[\textit{Primo teorema d'isomorfismo}]
+    \label{th:primo_isomorfismo}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $A/\Ker \phi \cong \Imm \phi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    La dimostrazione procede in modo analogo a quanto visto per il teorema correlato
+    in teoria dei gruppi. \\
+
+    Sia $\zeta : A/\Ker \phi \to \Imm \phi$, $a + \Ker \phi \mapsto \phi(a)$.
+    Si verifica che $\zeta$ è un omomorfismo: essendolo già per i
+    gruppi, è sufficiente verificare che $\zeta((a+I)(b+I))=\zeta(ab+I)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\zeta(a+I)\zeta(b+I)$. \\
+
+    $\zeta$ è chiaramente anche un epimorfismo, dal momento che $\forall \phi(a) \in \Imm \phi$, $\zeta(a + \Ker \phi) = \phi(a)$. Inoltre, dal momento che $\zeta(a + \Ker \phi) = 0 \iff \phi(a) = 0 \iff a + \Ker \phi = \Ker \phi$, ossia l'identità di $A/\Ker \phi$, si deduce anche che $\zeta$ è un monomorfismo. Pertanto $\zeta$ è un isomorfismo.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla
+    \textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$.
+\end{proof}

Aritmetica/10. Teoremi rilevanti sui campi finiti.tex

@@ -0,0 +1,203 @@
+\section{Teoremi rilevanti sui campi finiti}
+
+\subsection{Campo di spezzamento di un irriducibile in $\FFpp$}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ e sia
+    $n$ il suo grado. Allora $\FFpn$ è il suo campo
+    di spezzamento.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Dacché $f(x)$ è irriducibile, $\FFpp/((f(x))$ è un
+    campo con $p^n$ elementi, ed è quindi isomorfo
+    a $\FFpn$. \\
+    
+    Sia $\alpha = x + (f(x))$ una radice di $f(x)$
+    in $\FFpn$. Dal momento che $f(x)$ è irriducibile in
+    $\FFpp$, esso è il polinomio minimo di $\alpha$. Tuttavia,
+    poiché $\alpha \in \FFpn$, $\alpha$ è anche radice
+    di $x^{p^n}-x$. Pertanto si deduce che $f(x)$ divide
+    $x^{p^n}-x$. \\
+    
+    Dunque, poiché $x^{p^n}-x$ in $\FFpn$ è prodotto di
+    fattori lineari, tutte le radici di $f(x)$ sono già
+    in $\FFpn$. \\
+    
+    Inoltre, $\FFpn$ è il più piccolo sottocampo contenente
+    $\alpha$, dacché $\FFpn \cong \FFpp/(f(x)) \cong \FFpp(\alpha)$.
+    Quindi si deduce che $\FFpn$ è un campo di spezzamento per
+    $f(x)$, ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:frobexp}
+    Sia $f(x)$ un irriducibile di grado $n$ su $\FFpp[x]$ e sia $\alpha$
+    una sua radice in $\FFpn$. Allora $f(\Frobexp^k(\alpha))=0$, $\forall k \geq 0$
+    \footnote{$\Frob$ è l'omomorfismo di Frobenius, definito come $\Frob : \FFpp \to \FFpp$,
+    $a \mapsto a^p$.}.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof} Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ a coefficienti in $\FFpp$.
+    Si dimostra la tesi applicando il principio di induzione su $k$. \\
+    
+    \ (\textit{passo base})\; $f(\Frobexp^0(\alpha))=f(\alpha)=0$. \\
+    
+    \ (\textit{passo induttivo})\; Per l'ipotesi induttiva, $f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))=0$.
+        Allora, si verifica algebricamente che:
+        
+        \begin{multline*}
+            f(\Frobexp^k(\alpha)) = a_n (\Frobexp^k(\alpha))^n + \ldots + a_0 =
+            \Frob(a_n) \Frob((\Frobexp^{k-1}(\alpha))^n) + \ldots + \Frob(a_0) = \\
+            \Frob(f(\Frobexp^{k-1}(\alpha))) = \Frob(0) = 0,
+        \end{multline*}
+            
+        \vskip 0.1in
+        
+        dove si è usato che $\Frob(a_i) = a_i$, $\forall 0 \leq i \leq n$, dacché
+        ogni elemento di $\FFpp$ è radice di $x^p-x$.
+    
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $f(x)$ un irriducibile di grado $n$ su $\FFpp[x]$ e sia $\alpha$ una
+    sua radice in $\FFpn$. Allora vale la seguente fattorizzazione
+    in $\FFpn$:
+    
+    \[ f(x) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(x - \alpha^{p^i}\right) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(x - \Frobexp^i(\alpha)\right), \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    dove ogni fattore non è associato.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si verifica innanzitutto che vale chiaramente che $\alpha^{p^i} = \Frobexp^i(\alpha)$.
+    Dal momento che $\alpha$ è radice, allora ogni $\alpha^{p^i}$ lo è, per il
+    \lemref{lem:frobexp}. \\
+    
+    Affinché tutti i fattori della moltiplicazione non siano associati è sufficiente
+    dimostrare che $n$ è il più piccolo esponente $j$ per cui $\Frobexp^j(\alpha)=\alpha$.
+    Infatti, siano $\Frobexp^i(\alpha)=\Frobexp^j(\alpha)$ con $0\leq j < i < n$, allora,
+    applicando più volte $\Frob$, si ricava che:
+    
+    \[ \Frobexp^n(\alpha)=\Frobexp^{j+n-i}(\alpha) \implies \Frobexp^{j+n-i}(\alpha)=
+        \alpha, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    che è assurdo, dacché $j < i < n \implies j+n-i < n$, \Lightning{}. \\
+    
+    Innanzitutto, si verifica che $\Frobexp^{n}(\alpha)=\alpha^{p^n}=\alpha$, dacché
+    $\alpha \in \FFpn$. Infine, sia $t$ il più piccolo esponente $j$ per cui
+    $\Frobexp^j(\alpha)=\alpha$. Se $j$ fosse minore di $n$, $\alpha$ sarebbe
+    radice di $x^{p^t}-x$. Tuttavia questo è assurdo, dal momento che così
+    $\alpha$ apparterrebbe a $\FFp{t} \neq \FFpn$, quando invece il più
+    piccolo campo che lo contiene è $\FFpp(\alpha) \cong \FFpp[x]/(f(x)) \cong \FFpn$,
+    \Lightning{}.
+\end{proof}
+
+\subsection{L'inclusione $\FFpm \subseteq \FFpn$ e il polinomio $x^{p^n}-x$}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:alpha_radice}
+    Sia $\alpha$ una radice di $x^{p^d}-x$ con $d \mid n$. Allora
+    $\alpha$ è anche una radice di $x^{p^n}-x$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof} Sia $s \in \NN$ tale che $n=ds$.
+    Si verifica la tesi applicando il principio di induzione su $k \in \NN$. \\
+    
+    \ (\textit{passo base})\; Per ipotesi, $\alpha^{p^d}=\alpha$. \\
+    
+    \ (\textit{passo induttivo})\; Per ipotesi induttiva, $\alpha^{p^{(k-1)d}}=\alpha$. Allora si ricava che:
+    
+    \[ \alpha^{p^{(k-1)d}}=\alpha \implies \alpha^{p^{kd}}=\alpha^{p^d}=\alpha. \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    In particolare, $\alpha^{p^n} = \alpha^{p^{ds}} = \alpha$, da cui la tesi.
+    
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:inclusione}
+    $\FFpm \subseteq \FFpn$ se e solo se $m \mid n$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    \ ($\implies$)\; Dal momento che $\FFpm \subseteq \FFpn$,
+        si ricava la seguente catena di estensioni:
+        
+        \[ \FFpp \subseteq \FFpm \subseteq \FFpn, \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        dalla quale, applicando il \textit{Teorema delle Torri Algebriche},
+        si desume la seguente equazione:
+        
+        \[ \underbrace{[\FFpn : \FFpp]}_n = [\FFpn : \FFpm] \underbrace{[\FFpm : \FFpp]}_d, \]
+        
+        e quindi che $m$ divide $n$. \\
+        
+    \ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $m \mid n$. Si consideri $\alpha \in \FFpm$. $\alpha$
+        è sicuramente radice di $x^{p^m}-x$, e poiché $m$ divide $n$, è
+        anche radice di $x^{p^n}-x$, per il \lemref{lem:alpha_radice}. Allora
+        $\alpha$ appartiene al campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ su $\FFpp$,
+        ossia $\FFpn$. Pertanto $\FFpm \subseteq \FFpn$. \\
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    $\forall 1 \leq i \leq n$. Allora, detta $m_i$ il grado di $g_i(x)$, il
+    campo di spezzamento di $f(x)$ è $\FFp{k}$, dove $k = \mcm(m_1, m_2, \ldots, m_n)$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Il campo di spezzamento di $f(x)$ è il più piccolo campo rispetto all'inclusione
+    che ne contenga tutte le radici, ossia il più piccolo campo che contenga
+    $\FFp{m_1}$, $\FFp{m_2}$, $\ldots,\, \FFp{m_n}$. Si dimostra che tale campo
+    è proprio $\FFp{k}$. \\
+    
+    Innanzitutto $\FFp{k}$, per il \thref{th:inclusione}, contiene tutti i campi di spezzamento dei fattori irriducibili di $f(x)$, dacché $m_i$ divide $k$ $\forall 1 \leq i \leq n$. \\
+    
+    Sia supponga esista adesso un altro campo $\FFp{t} \subseteq \FFp{k}$ con tutte le
+    radici. Sicuramente $t \mid k$, per il \thref{th:inclusione}. Inoltre, dal momento
+    che dovrebbe includere ogni campo $\FFp{m_i}$, sempre per il \thref{th:inclusione},
+    $m_i$ divide $t$ $\forall 1 \leq i \leq n$. \\
+    
+    Allora $t$ è un multiplo comune di tutti i $m_i$, e quindi $k$, in quanto minimo
+    comune multiplo, lo divide. Si conclude allora che $t = k$, e quindi che
+    $\FFp{k}$ è un campo di spezzamento di $f(x)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    $x^{p^n}-x$ è il prodotto di tutti i polinomi irriducibili in $\FFpp$
+    di grado divisore di $n$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    La proposizione è equivalente a affermare che ogni polinomio irriducibile in $\FFpp$
+    ha grado divisore di $n$ se e solo se divide $x^{p^n}-x$. Si dimostrano le
+    due implicazioni separatamente. \\
+    
+    \ ($\implies$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado $d$, con
+        $d \mid n$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$, e
+        sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. \\
+        
+        Per il \lemref{lem:alpha_radice} si verifica che $\alpha$ è anche una radice
+        di $x^{p^n}-x$. Poiché $f(x)$ è irriducibile, esso è il polinomio minimo
+        di $\alpha$, e quindi si deduce che $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$. \\
+    
+    \ ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile in $\FFpp$ di grado
+        $d$ che divide $x^{p^n}-x$. Si consideri allora il campo $\FFpd \cong \FFpp/(f(x))$,
+        e sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in tale campo. Allora $\FFpd \cong
+        \FFpp(\alpha)$, dacché $f(x)$, in quanto irriducibile, è il polinomio minimo
+        di $\alpha$. \\
+        
+        Dacché $f(x)$ divide $x^{p^n}-x$, $\alpha$ è anche una radice
+        di $x^{p^n}-x$, e quindi che $\alpha \in \FFpn$. Dal momento che chiaramente
+        anche $\FFpp \subseteq \FFpn$, si deduce che $\FFpd \cong \FFpp(\alpha) \subseteq
+        \FFpn$. Allora, per il \thref{th:inclusione}, $d$ divide $n$.
+\end{proof}

Aritmetica/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex

@@ -0,0 +1,492 @@
+\section{Anelli euclidei, PID e UFD}
+
+\subsection{Prime proprietà}
+
+Nel corso della storia della matematica, numerosi studiosi hanno tentato
+di generalizzare -- o meglio, accomunare a più strutture algebriche -- il
+concetto di divisione euclidea che era stato formulato per l'anello
+dei numeri interi $\ZZ$ e, successivamente, per l'anello dei polinomi
+$\KK[x]$. Lo sforzo di questi studiosi ad oggi è converso in un'unica
+definizione, quella di anello euclideo, di seguito presentata.
+
+\begin{definition}
+    Un \textbf{anello euclideo} è un dominio d'integrità $D$\footnote{Difatti, nella
+        letteratura inglese, si parla di \textit{Euclidean domain} piuttosto che di
+        anello.} sul quale è
+    definita una funzione $g$ detta \textbf{funzione grado} o \textit{norma}
+    soddisfacente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $g : D \setminus \{0\} \to \NN$,
+        \item $\forall a$, $b \in D \setminus \{0\}$, $g(a) \leq g(ab)$,
+        \item $\forall a \in D$, $b \in D \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in D \mid
+                  a=bq+r$ e $r=0 \,\lor\, g(r)<g(q)$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Di seguito vengono presentate alcune definizioni, correlate
+alle proprietà immediate di un anello euclideo.
+
+\begin{definition}
+    Dato un anello euclideo $E$, siano $a \in E$ e $b \in E \setminus \{0\}$. Si dice che
+    $b \mid a$, ossia che $b$ \textit{divide} $a$, se $\exists c \in E \mid
+        a=bc$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Si osserva che, per ogni anello euclideo $E$, qualsiasi $a \in E$ divide
+    $0$. Infatti, $0 = a0$.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    Dato un anello euclideo $E$, $a \mid b \,\land\, b \nmid a \implies g(a) < g(b)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $b \nmid a$, esistono $q$, $r$ tali che $a = bq + r$, con
+    $g(r) < g(b)$. Dal momento però che $a \mid b$, $\exists c \mid
+        b = ac$. Pertanto $a = ac + r \implies r = a(1-c)$. Dacché $1-c \neq 0$ --
+    altrimenti $r=0$, \Lightning{} --, così come $a \neq 0$, si deduce
+    dalle proprietà della funzione grado che $g(a) \leq g(r)$.
+    Combinando le due disuguaglianze, si ottiene la
+    tesi: $g(a) < g(b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:g1_minimo}
+    $g(1)$ è il minimo di $\Imm g$, ossia il minimo grado assumibile
+    da un elemento di un anello euclideo $E$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora, per le proprietà della funzione
+    grado, $g(1) \leq g(1a) = g(a)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora $a \in E^* \iff g(a) = g(1)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Dividiamo la dimostrazione in due parti, ognuna corrispondente a una implicazione. \\
+
+    ($\implies$) \;Sia $a \in E^*$, allora $\exists b \in E^*$ tale che $ab=1$. Poiché
+    sia $a$ che $b$ sono diversi da $0$, dalle proprietà della funzione grado si
+    desume che $g(a) \leq g(ab) = g(1)$. Poiché, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}},
+    $g(1)$ è minimo, si conclude che $g(a) = g(1)$. \\
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) \;Sia $a \in E \setminus \{0\}$ con $g(a) = g(1)$. Allora
+    esistono $q$, $r$ tali che $1 = aq + r$. Vi sono due possibilità: che $r$ sia $0$, o
+    che $g(r) < g(a)$. Tuttavia, poiché $g(a)=g(1)$, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}} si desume che $g(a)$ è minimo, e quindi che
+    $r$ è nullo. Si conclude quindi che $aq = 1$, e dunque che $a \in E^*$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Irriducibili e prime definizioni}
+
+Come accade nell'aritmetica dei numeri interi, anche in un dominio è possibile definire
+una nozione di \textit{primo}. In un dominio possono essere tuttavia definiti due tipi di "primi",
+gli elementi \textit{irriducibili} e gli elementi \textit{primi}.
+
+\begin{definition}
+    In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{irriducibile} se
+    $\exists b$, $c \mid a=bc \implies b \in A^*$ o $c \in A^*$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Dalla definizione si escludono gli invertibili di $A$ per permettere
+    di definire meglio il concetto di fattorizzazione in seguito. Infatti,
+    se li avessimo inclusi, avremmo che ogni dominio sarebbe a fattorizzazione
+    non unica, dal momento che $a=bc$ potrebbe essere scritto anche come
+    $a=1bc$.
+\end{remark*}
+
+\begin{definition}
+    Si dice che due elementi non nulli $a$, $b$ appartenenti a un anello euclideo
+    $E$ sono \textbf{associati} se $a \mid b$ e $b \mid a$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:associati}
+    $a$ e $b$ sono associati $\iff \exists c \in E^* \mid a=bc$ e $a$, $b$ entrambi non nulli.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$) Se $a$ e $b$ sono associati, allora $\exists d$, $e$ tali che $a=bd$ e che $b=ae$. Combinando le due relazioni si ottiene:
+
+    \[ a=aed \implies a(1-ed)=0.\]
+
+    Poiché $a$ è diverso da zero, si ricava che $ed=1$, ossia
+    che $d$, $e \in E^*$, e quindi la tesi. \\
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) Se $a$ e $b$ sono entrambi non
+    nulli e $\exists c \in E^* \mid a=bc$, $b$ chiaramente
+    divide $a$. Inoltre, $a=bc \implies b=ac^{-1}$, e quindi
+    anche $a$ divide $b$. Pertanto $a$ e $b$ sono associati.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:divisione_associati}
+    Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora $a \mid c \implies b \mid c$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $a$ e $b$ sono associati, per la \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}, $\exists d \in E^*$ tale che
+    $a = db$. Dal momento che $a \mid c$, $\exists \alpha \in E$ tale che
+    $c = \alpha a$, quindi:
+
+    \[ c = \alpha a = \alpha d b,\]
+
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:associati_generatori}
+    Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora
+    $(a)=(b)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $a$ e $b$ sono associati, $\exists d \in E^*$ tale che $a = db$. Si dimostra l'uguaglianza dei due insiemi. \\
+
+    Sia $\alpha = ak \in (a)$, allora $\alpha = dbk$ appartiene anche a $(b)$, quindi $(a) \subseteq (b)$. Sia
+    invece $\beta = bk \in (b)$, allora $\beta = d^{-1}ak$
+    appartiene anche a $(a)$, da cui $(b) \subseteq (a)$.
+    Dalla doppia inclusione si verifica la tesi, $(a)=(b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{primo} se
+    $a \mid bc \implies a \mid b \,\lor\, a \mid c$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Se $a \in A$ è primo, allora $a$ è anche irriducibile.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $a$ non irriducibile. Se
+    $a \in A^*$, allora $a$ non può essere primo. Altrimenti $a=bc$ con
+    $b$, $c \in A \setminus A^*$. \\
+
+    Chiaramente $a \mid bc$, ossia sé stesso. Senza perdità di generalità, se $a \mid b$, dal momento che anche $b \mid a$,
+    si dedurrebbe che $a$ e $b$ sono associati secondo la
+    \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}. Tuttavia questo
+    implicherebbe che $c \in A^*$, \Lightning{}.
+\end{proof}
+
+\subsection{PID e MCD}
+
+Come accade per $\ZZ$, in ogni anello euclideo è possibile definire il
+concetto di \textit{massimo comun divisore}, sebbene con qualche accortezza
+in più. Pertanto, ancor prima di definirlo, si enuncia la definizione di
+PID e si dimostra un teorema fondamentale degli anelli euclidei, che
+si ripresenterà in seguito come ingrediente fondamentale per la fondazione
+del concetto di MCD.
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un dominio è un \textit{principal ideal domain} (\textbf{PID})\footnote{Ossia un \textit{dominio
+            a soli ideali principali}, quindi monogenerati, proprio come da definizione.} se ogni suo ideale è monogenerato.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un PID.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Sia $I$ un ideale di $E$. Se $I = (0)$, allora $I$ è già monogenerato.
+    Altrimenti si consideri l'insieme $g(I \setminus \{0\})$. Poiché
+    $g(I \setminus \{0\}) \subseteq \NN$,
+    esso ammette un minimo per il principio del buon ordinamento. \\
+
+    Sia $m \in I$ un valore che assume tale minimo e sia $a \in I$.
+    Poiché $E$ è euclideo, $\exists q$, $r \mid a = mq + r$ con $r=0$ o
+    $g(r)<g(m)$. Tuttavia, poiché $r = a-mg \in I$ e $g(m)$ è minimo, necessariamente $r=0$ -- altrimenti $r$ sarebbe
+    ancor più minimo di $m$, \Lightning{} --,
+    quindi $m \mid a$, $\forall a \in I$. Quindi $I \subseteq (m)$. \\
+
+    Dal momento che per le proprietà degli ideali $\forall a \in E$, $ma \in I$,
+    si conclude che $(m) \subseteq I$. Quindi $I = (m)$.
+\end{proof}
+
+Adesso è possibile definire il concetto di massimo comun divisore, basandoci
+sul fatto che ogni anello euclideo è un PID.
+
+\begin{definition}
+    Sia $D$ un dominio e siano $a$, $b \in D$. Si definisce
+    \textit{massimo comun divisore} (\textbf{MCD}) di $a$ e $b$ un
+    generatore dell'ideale $(a,b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Questa definizione di MCD è una buona definizione dal momento che sicuramente
+    esiste un generatore dell'ideale $(a,b)$, dacché $D$ è un PID.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    Non si parla di un unico massimo comun divisore, dal momento che
+    potrebbero esservi più generatori dell'ideale $(a,b)$. Segue tuttavia che tutti questi generatori sono in realtà
+    associati\footnote{Infatti ogni generatore divide ogni
+        altro elemento di un ideale, e così i vari generatori si
+        dividono tra di loro. Pertanto sono associati.}.
+    Quando si scriverà
+    $\MCD(a,b)$ s'intenderà quindi uno qualsiasi di questi associati.
+\end{remark*}
+
+\begin{theorem}[\textit{Identità di Bézout}]
+    \label{th:bezout}
+    Sia $d$ un MCD di $a$ e $b$. Allora
+    $\exists \alpha$, $\beta$ tali che $d = \alpha a + \beta b$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Il teorema segue dalla definizione di MCD come generatore
+    dell'ideale $(a,b)$. Infatti, poiché $d \in (a,b)$, esistono
+    sicuramente, per definizione, $\alpha$ e $\beta$ tali che
+    $d = \alpha a + \beta b$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:mcd}
+    Siano $a$, $b \in D$. Allora vale la seguente equivalenza:
+
+    \[ d = \MCD(a, b) \iff \begin{cases} d \mid a \,\land\, d \mid b \\ \forall c \text{ t.c.\ } c \mid a \,\land\, c \mid b,\;c \mid d\end{cases}\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$) Poiché $d$ è generatore dell'ideale $(a, b)$, la prima proprietà segue banalmente. \\
+
+    Inoltre, per l'\nameref{th:bezout}, $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
+    $d = \alpha a + \beta b$. Allora, se $c \mid a$ e $c \mid b$, sicuramente
+    esistono $\gamma$ e $\delta$ tali che $a=\gamma c$ e $b=\delta c$. Pertanto
+    si verifica la seconda proprietà, e quindi la tesi:
+
+    \[ d = \alpha a + \beta b = \alpha \gamma c + \beta \delta c = c(\alpha\gamma+\beta\delta). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) Sia $m = \MCD(a,b)$. Dal momento che $d$ divide
+    sia $a$ che $b$, $d$ deve dividere, per l'implicazione scorsa, anche $m$.
+    Per la seconda proprietà, $m$ divide $d$ a sua volta. Allora $d$ è un
+    associato di $m$, e quindi, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}}, $(m)=(d)=(a,b)$, da cui $d = \MCD(a,b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:divisione_gcd}
+    Se $a \mid bc$ e $d = \MCD(a, b) \in D^*$, allora $a \mid c$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per l'\nameref{th:bezout} $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
+    $\alpha a + \beta b = d$. Allora, poiché $a \mid bc$, $\exists
+        \gamma$ tale che $bc=a\gamma$. Si verifica quindi la tesi:
+
+    \[ \alpha a + \beta b = d \implies \alpha ac + \beta bc = dc \implies
+        a d^{-1} (\alpha c + \beta \gamma) = c.\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:primalità_mcd}
+    Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $\forall b \in D$,
+    $(a,b)=D \,\lor\, (a,b)=(a)$, o equivalentemente $\MCD(a,b) \in D^*$ o
+    $\MCD(a,b) = a$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Dacché $\MCD(a,b) \mid a$, le uniche opzioni, dal momento che $a$ è irriducibile,
+    sono che $\MCD(a,b)$ sia un invertibile o che sia un associato
+    di $a$ stesso.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:irriducibili_primi}
+    Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $a$ è anche un primo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $b$ e $c$ tali che $a \mid bc$. Per il \textit{Lemma \ref{lem:primalità_mcd}},
+    $\MCD(a,b)$ può essere solo un associato di $a$ o essere un invertibile. Se è
+    un associato di $a$, allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_associati}}, poiché $\MCD(a,b)$ divide $b$, anche $a$ divide $b$.
+    Altrimenti $\MCD(a,b) \in D^*$, e quindi, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_gcd}}, $a \mid c$.
+\end{proof}
+
+\subsection{L'algoritmo di Euclide}
+
+Per algoritmo di Euclide si intende un algoritmo che è in grado di
+produrre in un numero finito di passi un MCD tra due elementi
+$a$ e $b$ non entrambi nulli di un anello euclideo\footnote{Si richiede che l'anello sia
+    euclideo e non soltanto che sia un PID, dal momento che l'algoritmo
+    usufruisce delle proprietà della funzione grado.}. L'algoritmo
+classico è di seguito presentato:
+
+\newpage
+
+\begin{algorithm}
+    $e \gets \max(a,b)$\;
+    $d \gets \min(a,b)$\;
+    \BlankLine\BlankLine
+    \While{$d>0$}
+    {
+        $m \gets d$\;
+        $d \gets e \bmod d$\;
+        $e \gets m$\;
+    }
+\end{algorithm}
+
+dove $e$ è l'MCD ricercato e l'operazione $\mathrm{mod}$ restituisce un resto della
+divisione euclidea\footnote{Ossia $a \bmod b$ restituisce un $r$ tale che $\exists q
+        \mid a = bq+r$ con $r=0$ o $g(r)<g(q)$.}.
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:euclide_finito}
+    L'algoritmo di Euclide termina sempre in un numero finito di passi.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Se $d$ è pari a $0$, l'algoritmo termina immediatamente. \\
+
+    Altrimenti si può costruire una sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ dove $d_i$ è il valore di $d$ all'inizio
+    di ogni $i$-esimo ciclo $\textbf{while}$. Ad ogni ciclo vi sono due casi: se $d_i$ si annulla dopo
+    l'operazione di $\mathrm{mod}$, il ciclo si conclude al passo successivo, altrimenti,
+    poiché $d_i$ è un resto di una divisione euclidea, segue che $g(d_i)<g(d_{i-1})$, dove
+    si pone $d_{0}=\min(a, b)$. \\
+
+    Per il principio della discesa infinita, $(g(d_i))_{i\geq1}$ non può essere
+    una sequenza infinita, essendo strettamente decrescente. Quindi la sequenza è
+    finita, e pertanto il ciclo $\textbf{while}$ s'interrompe dopo un numero finito
+    di passi.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:generatori_euclide}
+    Sia $r = a \bmod b$. Allora vale che $(a,b)=(b,r)$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $r = a \bmod b$, $\exists q$ tale che $a = qb + r$.
+    Siano $k_1$ e $k_2$ tali che $(k_1)=(a,b)$ e $(k_2)=(b,r)$. Dal
+    momento che $k_1$ divide sia $a$ che $b$, si ha che divide anche
+    $r$. Siano $\alpha$, $\beta$ tali che $a = \alpha k_1$ e
+    $b = \beta k_1$. Si verifica infatti che:
+
+    \[ r = a - qb = \alpha k_1 - q \beta k_1 = k_1 (\alpha - q \beta). \]
+
+    Poiché $k_1$ divide sia $b$ che $r$, per le proprietà del $\MCD$,
+    $k_1$ divide anche $k_2$. Analogamente, $k_2$ divide $k_1$. Pertanto
+    $k_1$ e $k_2$ sono associati, e dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}} generano quindi lo stesso ideale, da
+    cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    L'algoritmo di Euclide restituisce sempre correttamente un MCD tra due elementi $a$ e $b$ non entrambi nulli in un numero finito di passi.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}, l'algoritmo sicuramente termina.
+    Se $d$ è pari a $0$, allora l'algoritmo termina restituendo $e$. Il valore è
+    corretto, dal momento che, senza perdità di generalità, se $b$ è nullo, allora
+    $\MCD(a, b)=a$: infatti $a$ divide sia sé stesso che $0$, e ogni divisore di $a$ è
+    sempre un divisore di $0$. \\
+
+    Se invece $d$ non è pari a $0$, si scelga il $d_n$ tale che $g(d_n)$ sia l'ultimo
+    elemento della sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ definita nel \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}. Per il \textit{Lemma \ref{lem:generatori_euclide}},
+    si ha la seguente uguaglianza:
+
+    \[ (e_0, d_0) = (d_0, d_1) = \cdots = (d_n, 0) = (d_n). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Poiché quindi $d_n$ è generatore di $(e_0, d_0)=(a,b)$, $d_n = \MCD(a,b)$.
+\end{proof}
+
+\subsection{UFD e fattorizzazione}
+
+Si enuncia ora la definizione fondamentale di UFD, sulla
+quale costruiremo un teorema fondamentale per gli anelli
+euclidei.
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un dominio $D$ è uno \textit{unique factorization domain} (\textbf{UFD})\footnote{Ossia
+        un \textit{dominio a fattorizzazione unica}.} se ogni $a \in D$ non nullo e non invertibile può essere scritto
+    in forma unica come prodotto di irriducibili, a meno di associati.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:fattorizzazione}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora ogni elemento $a \in E$ non nullo e
+    non invertibile può essere scritto come prodotto di irriducibili.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Si definisca $A$ nel seguente modo:
+
+    \[A = \{g(a) \mid a \in E \setminus (E^* \cup \{0\}) \text{ non sia prodotto di irriducibili}\}.\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Se $A \neq \emptyset$, allora, poiché $A \subseteq \NN$, per il principio
+    del buon ordinamento, esiste un $m \in E$ tale che $g(m)$ sia minimo.
+    Sicuramente $m$ non è irriducibile -- altrimenti $g(m) \notin A$, \Lightning{} --,
+    quindi $m=ab$ con $a$, $b \in E \setminus E^*$. \\
+
+    Poiché $a \mid m$, ma $m \nmid a$ -- altrimenti $a$ e $m$ sarebbero
+    associati, e quindi $b$ sarebbe invertibile --, si deduce che $g(a) < g(m)$, e
+    quindi che $g(a) \notin A$. Allora $a$ può scriversi come prodotto di irriducibili.
+    Analogamente anche $b$ può scriversi come prodotto di irriducibili, e quindi
+    $m$, che è il prodotto di $a$ e $b$, è prodotto di irriducibili, \Lightning{}. \\
+
+    Quindi $A = \emptyset$, e ogni $a \in E$ non nullo e non invertibile è prodotto
+    di irriducibili.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:euclidei_ufd}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un UFD\footnote{In realtà questo teorema
+        è un caso particolare di un teorema più generale: ogni PID è un UFD. Poiché
+        la dimostrazione esula dalle intenzioni di queste dispense, si è preferito
+        dimostrare il caso più familiare. Per la dimostrazione del teorema più generale si
+        rimanda a \cite[pp.~124-126]{di2013algebra}.}.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Innanzitutto, per il \textit{Lemma \ref{lem:fattorizzazione}}, ogni
+    $a \in E$ non invertibile e non nullo ammette una fattorizzazione. \\
+
+    Sia allora $a \in E$ non invertibile e non nullo. Affinché $E$ sia un UFD,
+    deve verificarsi la seguente condizione: se
+    $a=p_1p_2 \cdots p_r=q_1q_2 \cdots q_s \in E$, allora
+    $r=s$ ed esiste una permutazione $\sigma \in S_r$ tale per cui
+    $\sigma$ associ a ogni indice $i$ di un $p_i$ un indice $j$ di
+    un $q_j$ in modo tale che $p_i$ e $q_j$ siano associati. \\
+
+    Si procede per induzione. \\
+
+    \,(\textit{passo base}) \,Se $r=1$, allora $a$ è irriducibile. Allora necessariamente
+    $s=1$, altrimenti $a$ sarebbe prodotto di irriducibili, e quindi contemporaneamente
+    anche non irriducibile. Inoltre esiste la permutazione banale $e \in S_1$ che
+    associa $p_1$ a $q_1$. \\
+
+    \,(\textit{passo induttivo}) \,Si assume che valga la tesi se $a$ è
+    prodotto di $r-1$ irriducibili.
+    Si consideri $p_1$: poiché $p_1$ divide $a$, $p_1$ divide anche
+    $q_1q_2 \cdots q_s$. Dal momento che $E$, in quanto
+    anello euclideo, è anche un dominio, dal \textit{Teorema \ref{th:irriducibili_primi}}, $p_1$ è anche primo,
+    e quindi $p_1 \mid q_1$ o $p_1 \mid q_2 \cdots q_s$. \\
+
+    Se $p_1 \nmid q_1$ si reitera il procedimento su $q_2 \cdots q_s$, trovando in
+    un numero finito di passi un $q_j$ tale per cui $p_1 \mid q_j$. Allora si procede
+    la dimostrazione scambiando $q_1$ e $q_j$. \\
+
+    Poiché $q_1$ è irriducibile, $p_1$ e $q_1$ sono associati, ossia $q_1 = kp_1$ con
+    $k \in E^*$. Allora $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s = kp_1 \cdots q_s$, quindi,
+    dal momento che $p_1 \neq 0$ ed $E$ è un dominio:
+
+    \[p_1(p_2 \cdots p_r - kq_2 \cdots q_s)=0 \implies p_2 \cdots p_r = kq_2 \cdots q_s .\]
+
+    Tuttavia il primo membro è un prodotto $r-1$ irriducibili, pertanto $r=s$ ed
+    esiste un $\sigma \in S_{r-1}$ che associa ad ogni irriducibile $p_i$ un suo
+    associato $q_i$. Allora si estende $\sigma$ a $S_r$ mappando $p_1$ a $q_1$,
+    verificando la tesi.
+\end{proof}
+

Aritmetica/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex

@@ -0,0 +1,226 @@
+\section{Esempi notevoli di anelli euclidei}
+
+\subsection{I numeri interi: $\ZZ$}
+
+Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
+l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
+euclideo -- è l'anello dei numeri interi. \\
+
+In questo dominio la funzione grado è canonicamente il valore assoluto:
+
+\[g : \ZZ \setminus \{0\} \to \NN, \, k \mapsto \left|k\right|.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Infatti, chiaramente $|a| \leq |ab|\, \forall a$, $b \in \ZZ \setminus \{0\}$. Inoltre
+esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq + r$, con $r=0 \,\lor\,
+    \left|r\right| < \left|q\right|$. \\
+
+Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema
+    fondamentale dell'aritmetica} è una conseguenza del
+\textit{Teorema \ref{th:euclidei_ufd}}.
+
+\subsection{I campi: $\KK$}
+
+Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
+per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
+allora $a = ab^{-1}b$. \\
+
+Si definisce quindi la funzione grado come la funzione nulla:
+
+\[g : \KK^* \to \NN, \, a \mapsto 0.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
+poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
+necessario verificare nessun'altra proprietà.
+
+\subsection{I polinomi di un campo: $\KK[x]$}
+
+I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
+nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
+terminologia, la funzione grado in questo dominio coincide
+proprio con il grado del polinomio, ossia si definisce come:
+
+\[g : \KK[x] \setminus \{0\} \to \NN, \, f(x) \mapsto \deg f.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Si verifica facilmente che $g(a(x)) \leq g(a(x)b(x)) \, \forall a(x)$, $b(x) \in \KK[x] \setminus \{0\}$, mentre la divisione euclidea -- come negli interi -- ci permette
+di concludere che effettivamente $\KK[x]$ soddisfa tutti gli assiomi di un anello
+euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli unici anelli euclidei in cui resti
+    e quozienti sono unici, includendo la scelta di segno (vd.
+    \cite{10.2307/2315810}).}.
+
+\begin{example}
+    Sia $\alpha \in \KK$ e sia $\varphi_\alpha : \KK[x] \to \KK, \, f(x) \mapsto f(\alpha)$
+    la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui
+    nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché
+    $\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$
+    è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si desume così che
+    $\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
+\end{example}
+
+\subsection{Gli interi di Gauss: $\ZZ[i]$}
+
+Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
+
+\[\ZZ[i] = \{a+bi \mid a, b \in \ZZ\}.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{scope}
+            \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
+            \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
+
+            \foreach \x in {-4,...,4} {
+                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + \x, -3) -- (3 + \x, 3);
+                }
+            \foreach \y in {-4,...,5} {
+                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 7 + \y) -- (7, -7 + \y);
+                }
+
+            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
+            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.5, 0.5) node[align=center, below=2pt]{$ib$};
+
+            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 2.5) node[above=0.5pt]{$bq$};
+
+            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[below, right]{$a$};
+
+            \draw[densely dotted] (0.5, 2.5) -- (1, 2.5) node[below=4pt, left=2.5pt]{$r$};
+
+            \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
+            \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
+
+        \end{scope}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Gauss.}
+    \label{fig:z_i}
+\end{wrapfigure}
+
+La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia:
+\[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\]
+
+Il vantaggio di quest'ultima definizione è l'enfasi sul collegamento tra la funzione grado
+di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$ e in $\ZZ[i]$
+sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
+di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
+
+\newpage
+
+\begin{theorem}
+    $\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si verifica la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$,
+    allora $\left|a\right| \geq 1 \,\land\, \left|b\right| \geq 1$. Poiché
+    $\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$\footnote{Questa interessante proprietà del modulo è alla base dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2.$}, si verifica facilmente che
+    $\left|ab\right| \geq \left|a\right|$, ossia che $g(ab) \geq g(a)$. \\
+
+    Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che
+    $\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$.
+    Come si visualizza facilmente nella \textit{Figura \ref{fig:z_i}},
+    tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
+    sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\
+
+    Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale
+    sicuramente la seguente disuguaglianza, che lega il modulo di $r$ alla diagonale di
+    ogni quadrato:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}.\]
+
+    Pertanto vale la seconda e ultima proprietà della funzione grado:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
+\end{proof}
+
+\subsection{Gli interi di Eisenstein: $\ZZ[\omega]$}
+
+Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
+interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
+primitiva dell'unità in senso antiorario, ossia:
+
+\[\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.\]
+
+In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione
+$z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che
+$\omega^2 = \overline{\omega}$.
+
+\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{scope}
+            \clip (-2, -0.5) rectangle (3, 3);
+            \draw[step=0.25cm, gray!20!white, very thin] (-7, -3) grid (7, 3);
+
+            \foreach \x in {-4,...,4} {
+                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-3 + 0.87*\x, -3) -- (3 + 0.87*\x, 3);
+                }
+
+            \foreach \y in {-4,...,5} {
+                    \draw[ultra thin, loosely dashdotted] (-7, 1.8756443470179 + 0.65*\y) -- (7, -1.8756443470179 + 0.65*\y);
+                }
+
+            \foreach \x in {-4,...,5} {
+                    \draw[ultra thin, loosely dashed] (-7 + 0.6289*\x, 28.5025773880714) -- (7+ 0.65*\x, -28.5025773880714);
+                }
+
+            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (0.5, 0.5) node[align=center, below=3pt]{$b$};
+            \draw[line width=0.7pt, ->] (0, 0) -- (-0.6830127018922, 0.1830127018922) node[align=center, below=2pt]{$\omega b$};
+
+            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (0.71494, 2.41094) node[below=2pt, left=4pt]{$bq$};
+
+            \draw[line width=0.5pt, ->] (0, 0) -- (1.1, 2.7) node[below, right]{$a$};
+
+            \draw[densely dotted] (0.71494, 2.41094) -- (1.1, 2.7) node[above=3pt, left=2.5pt]{$r$};
+
+            \draw[line width=0.2pt, ->] (0, -1) -- (0, 3);
+            \draw[line width=0.2pt, ->] (-3, 0) -- (3, 0);
+
+        \end{scope}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Visualizzazione della divisione euclidea nel piano degli interi di Eisenstein.}
+    \label{fig:z_omega}
+\end{wrapfigure}
+
+\vskip 0.1in
+
+La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora
+con il quadrato del modulo del numero complesso. Si definisce quindi:
+
+\[g : \ZZ[\omega] \setminus \{0\}, \, a+b\omega \mapsto \left|a+b\omega\right|^2.\]
+
+Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:
+
+\[ \left|a+b\omega\right|^2 = \left|\left(a-\frac{b}{2}\right) + \frac{b\sqrt{3}}{2}i\right|^2 =\] \\
+
+\[= \left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} = a^2 - ab + b^2.\] \\
+
+\begin{theorem}
+    $\ZZ[\omega]$ è un anello euclideo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Sulla scia della dimostrazione presentata per $\ZZ[i]$, si verifica facilmente
+    la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[\omega]$, allora
+    $\left|a\right| \geq 1$ e $\left|b\right| \geq 1$. Poiché dalle proprietà
+    dei numeri complessi vale ancora $\left|a\right| \left|b\right| \geq \left|a\right|$,
+    la proprietà $g(ab) \geq g(a)$ è già verificata. \\
+
+    Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per
+    $\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che
+    ha per basi $b$ e $\omega b$ (come in $\textit{Figura \ref{fig:z_omega}}$), pertanto
+    esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\
+
+    Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente
+    inquadrato in uno dei triangoli del piano, per cui vale la seguente disuguaglianza:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right|.\]
+
+    Dunque la tesi è verificata:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \]
+\end{proof}

Aritmetica/4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x].tex

@@ -0,0 +1,236 @@
+\section{Irriducibili e corollari di aritmetica in $\ZZi$}
+
+Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
+funzione grado:
+
+\[ g : \ZZi \setminuszero \to \ZZ,\, a+bi \mapsto  \norm{a+bi}^2.\]
+
+A partire da questo preconcetto è possibile dimostrare un teorema
+importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
+che discende direttamente come corollario di un teorema più
+generale riguardante $\ZZi$.
+
+\subsection{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in $\ZZi$}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:riducibile_due_quadrati}
+    Sia $p$ un numero primo riducibile in $\ZZi$, allora $p$
+    può essere scritto come somma di due quadrati in $\ZZ$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Se $p$ è riducibile in $\ZZi$, allora esistono $a+bi$ e
+    $c+di$ appartenenti a $\ZZi \setminus \ZZi^*$ tali che $p=(a+bi)(c+di)$. \\
+
+    Impiegando le proprietà dell'operazione di coniugio si
+    ottiene la seguente equazione:
+
+    \[ \overline{p}=p=(a-bi)(c-di) \implies p^2=p \overline{p} = (a^2+b^2)(c^2+d^2). \]
+
+    Dal momento che $a+bi$ e $c+di$ non sono invertibili,
+    i valori della funzione grado calcolati in essi sono strettamente
+    maggiori del valore assunto nell'unità, ovverosia:
+
+    \[ a^2+b^2>1, \qquad c^2+d^2>1. \]
+
+    Allora devono per forza valere le seguenti equazioni:
+
+    \[ p=a^2+b^2, \qquad p=c^2+d^2, \]
+
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:quadrato_mod_4}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    esiste un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Teorema di Wilson}, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
+    Attraverso varie manipolazioni algebriche si ottiene:
+
+    \[-1 \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2} \cdots (p-1) \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdots (-1) \equiv\]
+
+    \[ \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \equiv
+        \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \pmod p,
+    \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    da cui con $x = \left( \frac{p-1}{2} \right)!$ si verifica la
+    tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:primo_1_mod_4_riducibile}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è riducibile in $\ZZi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Lemma \ref{lem:quadrato_mod_4}}, si ha che esiste
+    un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$. Se $p$ fosse irriducibile,
+    dacché $\ZZi$ è un PID in quanto euclideo, $p$ sarebbe anche un
+    primo di $\ZZi$. Dal momento che $x^2+1=(x+i)(x-i)$, $p$ dovrebbe
+    dividere almeno uno di questi due fattori. \\
+
+    Senza perdità di generalità, si ponga che $p \mid (x+i)$. Allora
+    $\exists a+bi \in \ZZi \mid x+i=(a+bi)p$. Uguagliando le parti
+    immaginarie si ottiene $bp=1$, che non ammette soluzioni, \Lightning{}. Pertanto $p$ è riducibile.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}[\textit{Teorema di Natale di Fermat}]
+    \label{th:teorema_natale}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è somma di due quadrati in $\ZZ$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}},
+    $p$ è riducibile in $\ZZi$. In quanto riducibile in $\ZZi$, per
+    il \textit{Lemma \ref{lem:riducibile_due_quadrati}}, $p$ è allora
+    somma di due quadrati.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv -1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è irriducibile in $\ZZi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Se $p$ fosse riducibile in
+    $\ZZi$, per il \nameref{th:teorema_natale} esisterebbero $a$ e $b$
+    in $\ZZ$ tali che $p=a^2+b^2$. Dal momento che $p$ è dispari,
+    possiamo supporre, senza perdità di generalità, che
+    $a$ sia pari e che $b$ sia dispari. Pertanto $a^2 \equiv 0 \pmod 4$ e $b^2 \equiv 1 \pmod 4$, dacché sono uno pari e l'altro dispari\footnote{Infatti, $0^2 \equiv 0
+            \pmod4$, $1^2 \equiv 1 \pmod4$, $2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod 4$,
+        $3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 4$.}. Tuttavia la congruenza
+    $a^2+b^2 \equiv 1 \equiv -1 \pmod4$ non è mai soddisfatta,
+    \Lightning{}. Pertanto $p$ può essere solo irriducibile.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Si osserva che $2=(1+i)(1-i)$. Dal momento che $\norm{1+i}^2=
+        \norm{1-i}^2=2\neq1$, si deduce che nessuno dei due fattori
+    è invertibile. Pertanto $2$ non è irriducibile.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:irriducibili_zz_zzi}
+    Gli unici primi $p \in \ZZ$ irriducibili in $\ZZi$ sono i primi $p$ tali
+    che $p \equiv -1 \pmod4$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per l'osservazione precedente, $2$ non è irriducibile in $\ZZi$,
+    così come i primi congrui a $1$ in modulo $4$,
+    per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}}. Al
+    contrario i primi $p$ congrui a $-1$ in modulo $4$ sono
+    irriducibili, per il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un $k \in \ZZ$ tale che $k \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Sia $z \in \ZZi$ irriducibile. Chiaramente
+    $z \mid z \overline{z} = g(z)$. Dacché $\ZZ$ è un UFD,
+    $g(z)$ può decomporsi in un prodotto di primi $q_1q_2\cdots q_n$.
+    Dal momento che $\ZZi$ è un PID, in quanto anello euclideo,
+    $z$ deve dividere uno dei primi della fattorizzazione di
+    $g(z)$. Si assuma che tale primo sia $q_i$. Allora esiste
+    un $w \in \ZZi$ tale che $q_i=wz$. \\
+
+    Se $w \in \ZZi^*$, si
+    deduce che $z$ è un associato di $q_i$. Dal momento che
+    $z$ è irriducibile, $q_i$, che è suo associato, è a sua
+    volta irriducibile. Allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:irriducibili_zz_zzi}}, $q_i \equiv -1 \pmod4$.
+    \\
+
+    Altrimenti, se $w$ non è invertibile, si ha che $g(w)>g(1)$,
+    ossia che $\norm{w}^2>1$. Inoltre in quanto irriducibile, anche
+    $z$ non è invertibile, e quindi
+    $g(z)>g(1) \implies \norm{z}^2>1$. Dalla proprietà
+    moltiplicativa
+    del modulo si ricava $q_i^2 = \norm{q_i}^2 = \norm{w}^2 \norm{z}^2$,
+    da cui necessariamente consegue che:
+
+    \[ \norm{w}^2=q_i, \quad \norm{z}^2=q_i, \]
+
+    attraverso cui si verifica l'implicazione. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $k \in \ZZ$ e $k \equiv -1 \pmod4$, per
+    il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $k$ è
+    irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\
+
+    Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga
+    $z=ab$ con $a$ e $b \in \ZZi$. Per la proprietà moltiplicativa
+    del modulo, $p = \norm{z}^2 = \norm{ab}^2 = \norm{a}^2\norm{b}^2$.
+    Tuttavia questo implica che uno tra $\norm{a}^2$ e $\norm{b}^2$
+    sia pari a $1$, ossia che uno tra $a$ e $b$ sia invertibile,
+    dacché $g(1)=1$. Pertanto $z$ è in ogni caso irriducibile.
+\end{proof}
+
+Infine si enuncia un'ultima identità inerente all'aritmetica, ma
+strettamente collegata a $\ZZi$.
+
+\subsection{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}
+
+\begin{proposition}[\textit{Identità di Brahmagupta-Fibonacci}]
+    \label{prop:fibonacci}
+    Il prodotto di due somme di quadrati è ancora una
+    somma di quadrati. In particolare:
+
+    \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    La dimostrazione altro non è che una banale verifica
+    algebrica. Ciononostante è possibile risalire a questa
+    identità in via alternativa mediante l'uso
+    del modulo dei numeri complessi. \\
+
+    Siano $z_1=a+bi$, $z_2=c+di \in \CC$. Allora, per le proprietà
+    del modulo dei numeri complessi:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:modulo_z}
+        \norm{z_1}\norm{z_2}=\norm{z_1z_2}.
+    \end{equation}
+
+
+    Computando il prodotto tra $z_1$ e $z_2$ si ottiene:
+
+    \[ z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i, \]
+
+    da cui a sua volta si ricava:
+
+    \[ \norm{z_1z_2} = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}, \]
+
+    assieme a:
+
+    \[ \norm{z_1}=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \norm{z_2}=\sqrt{c^2+d^2}. \]
+
+    Infine, da \eqref{eq:modulo_z}, elevando al quadrato, si deduce l'identità
+    presentata:
+
+    \begin{multline*}
+        \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2} \implies (a^2+b^2)(c^2+d^2)= \\ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
+    \end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    Si consideri $65=5 \cdot 13$. Dal momento che sia $5$
+    che $13$ sono congrui a $1$ in modulo $4$, sappiamo
+    già si possono scrivere entrambi come somme di due
+    quadrati. Allora, dall'\nameref{prop:fibonacci},
+    anche $65$ è somma di due quadrati. \\
+
+    Infatti $5=2^2+1^2$ e $13=3^2+2^2$. Pertanto
+    $65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$.
+\end{example}
+

Aritmetica/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex

@@ -0,0 +1,357 @@
+\section{Irriducibilità in $\ZZx$ e in $\QQx$}
+
+\subsection{Criterio di Eisenstein e proiezione in $\ZZpx$}
+
+Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
+alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
+$p$ primo. Questo metodo presenta un vantaggio da non
+sottovalutare: in $\ZZp$ per ogni grado $n$ esiste un
+numero finito di polinomi monici\footnote{Si prendono in
+    considerazione solo i polinomi monici dal momento che vale
+    l'equivalenza degli associati: se $a$ divide $b$, allora
+    tutti gli associati di $a$ dividono $b$. $\ZZp$ è infatti
+    un campo, e quindi $\ZZpx$ è un anello euclideo.} -- in particolare, $p^n$ --
+e quindi per un polinomio di grado $d$ è sufficiente controllare
+che questo non sia prodotto di tali polinomi monici per
+$1 \leq n < d$. \\
+
+In modo preliminare, si definisce un omomorfismo fondamentale.
+
+\begin{definition}
+    Sia il seguente l'\textbf{omomorfismo di proiezione} da
+    $\ZZ$ in $\ZZp$:
+
+    \[ \hatpip : \ZZx \to \ZZpx,\, a_n x^n + \ldots + a_0 \mapsto [a_n]_p \, x^n + \ldots + [a_0]_p. \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Si dimostra facilmente che $\hatpi$ è un omomorfismo di anelli.
+    Innanzitutto, $\hatpi(1) = [1]_p$. Vale chiaramente la linearità:
+
+    \begin{multline*}
+        \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) + \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = [a_n]_p \, x^n + \ldots + [b_n]_p \, x^n + \ldots = \\
+        = [a_n+b_n]_p \, x^n + \ldots = \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0 + b_n x^n + \ldots + b_0).
+    \end{multline*}
+
+    Infine vale anche la moltiplicatività:
+
+    \begin{multline*}
+        \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = ([a_n]_p \, x^n + \ldots)([b_n]_p \, x^n + \ldots) = \\
+        = \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j]_p \, [b_k]_p \, x^i
+        = \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j b_k]_p \, x^i
+        = \hatpip\left(\sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} a_j b_k x^i\right) = \\
+        =\hatpip\left((a_n x^n + \ldots + a_0)(b_n x^n + \ldots + b_0)\right).
+    \end{multline*}
+\end{remark*}
+
+Prima di enunciare un teorema che si rivelerà
+importante nel determinare l'irriducibilità di un
+polinomio in $\ZZx$, si enuncia una definizione che
+verrà ripresa anche in seguito
+
+\begin{definition}
+    Un polinomio $a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ si dice
+    \textbf{primitivo} se $\MCD(a_n, \ldots, a_0)=1$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:proiezione_irriducibilità}
+    Sia $p$ un primo. Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots \in \ZZx$
+    primitivo. Se $p \nmid a_n$ e
+    $\hatpip(f(x))$ è irriducibile in $\ZZpx$, allora anche $f(x)$ lo
+    è in $\ZZx$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $f(x) =
+        a_nx^n + \ldots \in \ZZ[x]$ primitivo e riducibile, con
+    $p \nmid a_n$. Dal momento che $f(x)$ è riducibile, esistono
+    $g(x)$, $h(x)$ non invertibili tali che $f(x)=g(x)h(x)$. \\
+
+    Si dimostra che $\deg g(x) \geq 1$. Se infatti fosse nullo,
+    $g(x)$ dovrebbe o essere uguale a $\pm 1$ -- assurdo, dal
+    momento che $g(x)$ non è invertibile, \Lightning{} -- o
+    essere una costante non invertibile. Tuttavia, nell'ultimo
+    caso, risulterebbe che $f(x)$ non è primitivo, poiché
+    $g(x)$ dividerebbe ogni coefficiente del polinomio.
+    Analogamente anche $\deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Si consideri ora $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$.
+    Dal momento che $p \nmid a_n$, il grado di $f(x)$ rimane costante
+    sotto l'operazione di omomorfismo, ossia $\deg \hatpip(f(x)) =
+        \deg f(x)$. \\
+
+    Inoltre, poiché nessuno dei fattori di $f(x)$ è nullo, $\deg f(x) = \deg g(x) +
+        \deg h(x)$. Da questa considerazione si deduce che anche i
+    gradi di $g(x)$ e $h(x)$ non devono calare, altrimenti si
+    avrebbe che $\deg \hatpip(f(x)) < \deg f(x)$, \Lightning{}.
+    Allora $\deg \hatpip(g(x)) = \deg g(x) \geq 1$,
+    $\deg \hatpip(h(x)) = \deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Poiché $\deg \hatpip(g(x))$ e $\deg \hatpip(h(x))$ sono
+    dunque entrambi non nulli, $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$
+    non sono invertibili\footnote{Si ricorda che $\ZZpx$
+        è un anello euclideo. Pertanto, non avere lo stesso grado
+        dell'unità equivale a non essere invertibili.}. Quindi
+    $f(x)$ è prodotto di non invertibili, ed è dunque riducibile.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Criterio di Eisenstein}]
+    \label{th:eisenstein}
+    Sia $p$ un primo.
+    Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ primitivo tale che:
+
+    \begin{enumerate}[ (1)]
+        \item $p \nmid a_n$,
+        \item $p \mid a_i$, $\forall i \neq n$,
+        \item $p^2 \nmid a_0$.
+    \end{enumerate}
+
+    Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si ponga $f(x)$ riducibile e sia pertanto $f(x)=g(x)h(x)$ con
+    $g(x)$ e $h(x)$ non invertibili. Analogamente a come visto
+    per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, si
+    desume che $\deg g(x)$, $\deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Si applica l'omomorfismo di proiezione in $\ZZpx$:
+
+    \[ \hatpip(f(x))=\underbrace{[a_n]_p}_{\neq 0} x_n, \]
+
+    da cui si deduce che $\deg \hatpip(f(x)) = \deg f(x)$. \\
+
+    Dal momento che $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$ e
+    che $\ZZpx$, in quanto campo, è un dominio,
+    necessariamente sia $\hatpip(g(x))$ che $\hatpip(h(x))$
+    sono dei monomi. \\
+
+    Inoltre, sempre in modo analogo a come visto per il \textit{Teorema
+        \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, sia $\deg \hatpip(g(x))$
+    che $\deg \hatpip(h(x))$ sono maggiori o uguali ad $1$. \\
+
+    Combinando questo risultato col fatto che questi due fattori
+    sono monomi, si desume che
+    $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$ sono monomi di grado positivo.
+    Quindi $p$ deve dividere entrambi i termini noti di $g(x)$ e
+    $h(x)$, e in particolare $p^2$ deve dividere il loro prodotto,
+    ossia $a_0$. Tuttavia questo è un assurdo, \Lightning{}.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Si consideri $x^k-2$, per $k \geq 1$.
+    Per il \nameref{th:eisenstein},
+    considerando come primo $p=2$, si verifica che
+    $x^k-2$ è sempre irriducibile. Pertanto, per ogni
+    grado di un polinomio esiste almeno un irriducibile --
+    a differenza di come invece avviene in $\RRx$ o in $\CCx$.
+\end{remark*}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $f(x) \in \ZZx$ primitivo e sia $a \in \ZZ$. Allora $f(x)$ è
+    irriducibile se e solo se $f(x+a)$ è irriducibile.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra una sola implicazione, dal momento che l'implicazione
+    contraria consegue dalle stesse considerazioni poste
+    studiando prima $f(x+a)$ e poi $f(x)$. \\
+
+    Sia $f(x)=a(x)b(x)$ riducibile, con $a(x)$, $b(x) \in \ZZx$ non
+    invertibili. Come già visto per il \textit{Teorema
+        \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, $\deg a(x)$, $\deg b(x) \geq 1$. \\
+
+    Allora chiaramente $f(x+a)=g(x+a)h(x+a)$, con $\deg g(x+a) =
+        \deg g(x) \geq 1$, $\deg h(x+a) = \deg h(x) \geq 1$. Pertanto
+    $f(x+a)$ continua a essere riducibile, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    Si consideri $f(x) = x^{p-1}+\ldots+x^2+x+1 \in \ZZx$, dove
+    tutti i coefficienti del polinomio sono $1$. Si verifica che:
+
+    \[ f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x = p+\binom{p}{2}x+\ldots+x^{p-1}. \]
+
+    Allora, per il \nameref{th:eisenstein} con $p$, $f(x+1)$ è
+    irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
+\end{example}
+
+\subsection{Alcuni irriducibili di $\ZZ_2[x]$}
+
+Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
+un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
+computazionalmente da analizzare, dacché $\ZZ_2$ consta
+di soli due elementi. Pertanto si computano adesso gli
+irriducibili di $\ZZ_2[x]$ fino al quarto grado incluso, a meno
+di associati. \\
+
+Sicuramente $x$ e $x+1$ sono irriducibili, dal momento che sono di
+primo grado. I polinomi di secondo grado devono dunque essere
+prodotto di questi polinomi, e pertanto devono avere o $0$ o
+$1$ come radice: si verifica quindi che $x^2+x+1$ è l'unico
+polinomio di secondo grado irriducibile. \\
+
+Per il terzo grado vale ancora lo stesso principio, per cui
+$x^3+x^2+1$ e $x^3+x+1$ sono gli unici irriducibili di tale grado.
+Infine, per il quarto grado, i polinomi riducibili soddisfano
+una qualsiasi delle seguenti proprietà:
+
+\begin{itemize}
+    \item $0$ e $1$ sono radici del polinomio,
+    \item il polinomio è prodotto di due polinomi irriducibili di
+          secondo grado.
+\end{itemize}
+
+Si escludono pertanto dagli irriducibili i polinomi non omogenei --
+che hanno sicuramente $0$ come radice --, e i polinomi con $1$ come
+radice, ossia $x^4+x^3+x+1$,\ \
+$x^4+x^3+x^2+1$, e $x^4+x^2+x+1$. Si esclude anche
+$(x^2+x+1)^2 = x^4+x^2+1$. Pertanto gli unici irriducibili di
+grado quattro sono $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \  $x^4+x+1$. \\
+
+Tutti questi irriducibili sono raccolti nella seguente tabella:
+
+\begin{itemize}
+    \item (grado 1) $x$, $x+1$,
+    \item (grado 2) $x^2+x+1$,
+    \item (grado 3) $x^3+x^2+1$, $x^3+x+1$,
+    \item (grado 4) $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$.
+\end{itemize}
+
+\begin{example}
+    Il polinomio $51x^3+11x^2+1 \in \ZZx$ è primitivo dal momento
+    che $\MCD(51, 11, 1)=1$. Inoltre, poiché $\hatpi_2(51x^3+11x^2+1)=
+        x^3+x+1$ è irriducibile, si deduce che anche $51x^3+11x^2+1$ lo
+    è per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}.
+\end{example}
+
+\subsection{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}
+
+Si enunciano in questa sezione i teoremi più importanti per
+lo studio dell'irriducibilità dei polinomi in $\QQx$ e
+in $\ZZx$, a partire dai due teoremi più importanti: il
+classico \nameref{th:radici_razionali} e il \nameref{th:lemma_gauss},
+che si pone da ponte tra l'analisi dell'irriducibilità in $\ZZx$ e
+quella in $\QQx$.
+
+\begin{theorem}[\textit{Teorema delle radici razionali}]
+    \label{th:radici_razionali}
+    Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$. Abbia $f(x)$
+    una radice razionale. Allora, detta tale radice $\frac{p}{q}$,  già ridotta ai minimi termini, questa è tale che:
+
+    \begin{enumerate}[ (i.)]
+        \item $p \mid a_0$,
+        \item $q \mid a_n$.
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\frac{p}{q}$ è radice, $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$, e
+    quindi si ricava che:
+
+    \[ a_n \left( \frac{p}{q} \right)^n + \ldots + a_0 = 0 \implies
+        a_n p^n = -q( \ldots + a_0 q^{n-1}). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Quindi $q \mid a_n p^n$. Dal momento che $\MCD(p, q)=1$, si
+    deduce che $q \mid a_n$. \\
+
+    Analogamente si ricava che:
+
+    \[ a_0 q^n = -p(a_n p^{n-1} + \ldots). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Pertanto, per lo stesso motivo espresso in precedenza,
+    $p \mid a_0$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Lemma di Gauss}]
+    \label{th:lemma_gauss}
+    Il prodotto di due polinomi primitivi in $\ZZx$ è anch'esso primitivo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $g(x) = a_m x^m + \ldots + a_0$ e $h(x) = b^n x^n + \ldots + b_0$ due polinomi primitivi in $\ZZx$. Si assuma che $f(x)=g(x)h(x)$
+    non sia primitivo. Allora esiste un $p$ primo che divide tutti i
+    coefficienti di $f(x)$. \\
+
+    Siano $a_s$ e $b_t$ i più piccoli coefficienti non divisibili
+    da $p$ dei rispettivi polinomi. Questi sicuramente esistono,
+    altrimenti $p$ dividerebbe tutti i coefficienti, e quindi
+    o $g(x)$ o $h(x)$ non sarebbe primitivo, \Lightning{}. \\
+
+    Si consideri il coefficiente di $x^{s+t}$ di $f(x)$:
+
+    \[c_{s+t} = \sum_{j+k=s+t} a_j b_k = \underbrace{a_0 b_{s+t} + a_1 b_{s+t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p} + a_s b_t + \underbrace{a_{s+1}b_{t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p},\]
+
+    dal momento che $p \mid c_{s+t}$, si deduce che $p$ deve dividere
+    anche $a_sb_t$, ossia uno tra $a_s$ e $b_t$, che è assurdo, \Lightning{}. Quindi $f(x)$ è primitivo.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Secondo lemma di Gauss}]
+    \label{th:lemma_gauss_2}
+    Sia $f(x) \in \ZZx$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$
+    se e solo se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$ ed è primitivo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Si dimostra l'implicazione contronominalmente,
+    ossia mostrando che se $f(x)$ non è primitivo o se è
+    riducibile in $\QQx$, allora $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. \\
+
+    Se $f(x)$ non è primitivo, allora
+    $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. Sia quindi $f(x)$ primitivo
+    e riducibile in $\QQx$, con $f(x)=g(x)h(x)$,
+    $g(x)$, $h(x) \in \QQx \setminus \QQx^*$. \\
+
+    Si descrivano $g(x)$ e $h(x)$ nel seguente modo:
+
+    \[ g(x)=\frac{p_m}{q_m} x^m + \ldots + \frac{p_0}{q_0}, \quad \MCD(p_i, q_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq m, \]
+
+    \[ h(x)=\frac{s_n}{t_n} x^n + \ldots + \frac{s_0}{t_0}, \quad
+        \MCD(s_i, t_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq n. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Si definiscano inoltre le seguenti costanti:
+
+    \[ \alpha = \frac{\mcm(q_m, \ldots, q_0)}{\MCD(p_m, \ldots, p_0)}, \quad \beta = \frac{\mcm(t_n, \ldots, t_0)}{\MCD(s_n, \ldots, s_0)}. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Si verifica che sia $\hat{g}(x)=\alpha g(x)$ che
+    $\hat{h}(x)=\beta h(x)$ appartengono a $\ZZx$ e che entrambi
+    sono primitivi. Pertanto $\hat{g}(x) \hat{h}(x) \in \ZZx$. \\
+
+    Si descriva $f(x)$ nel seguente modo:
+
+    \[ f(x)=a_k x^k + \ldots + a_0, \quad \MCD(a_k,\ldots,a_0)=1. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Sia $\alpha \beta = \frac{p}{q}$ con $\MCD(p,q)=1$, allora:
+
+    \[\hat{g}(x) \hat{h}(x) = \alpha \beta f(x) = \frac{p}{q} (a_k x^k + \ldots + a_0), \]
+
+    da cui, per far sì che $\hat{g}(x) \hat{h}(x)$ appartenga
+    a $\ZZx$, $q$ deve necessariamente dividere tutti i
+    coefficienti di $f(x)$. Tuttavia $f(x)$ è primitivo, e quindi
+    $q=\pm 1$. Pertanto $\alpha \beta = \pm p \in \ZZ$. \\
+
+    Infine, per il \nameref{th:lemma_gauss}, $\alpha \beta f(x)$
+    è primitivo, da cui $\alpha \beta = \pm 1$. Quindi
+    $f(x) = \pm \hat{g}(x) \hat{h}(x)$ è riducibile. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$
+    ed è primitivo, sicuramente $f(x)$ è irriducibile anche in
+    $\ZZx$. Infatti, se esiste una fattorizzazione in
+    irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante
+    moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi
+    esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$.
+\end{proof}

Aritmetica/6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche.tex

@@ -0,0 +1,299 @@
+\section{I polinomi di un campo: $\KKx$}
+
+\subsection{Elementi preliminari}
+
+Prima di procedere ad enunciare le proprietà più
+rilevanti dell'anello dei polinomi $\KKx$, si ricorda
+che esso è un \textbf{anello euclideo} in cui la funzione
+grado coincide con il grado del polinomio, ossia
+$g = \deg$. Si enuncia
+ora invece la definizione di radice.
+
+\begin{definition}
+    Si dice che $\alpha \in \KK$ è una \textbf{radice} del polinomio
+    $f(x) \in \KKx$ se $f(\alpha)=0$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:radice_x_meno_alpha}
+    Se $\alpha \in \KK$ è una radice di $f(x) \in \KKx$, allora
+    $(x-\alpha)$ divide $f(x)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Dal momento che $\KKx$ è un anello euclideo, si può eseguire
+    la divisione euclidea tra $f(x)$ e $(x-\alpha)$, ossia
+    esistono $q(x)$, $r(x) \in \KKx$ tali che $f(x)=q(x)(x-\alpha)+r(x)$
+    con $\deg r(x) < \deg (x-\alpha)$ o con $r(x)=0$. \\
+
+    Se $r(x) \neq 0$, poiché $\deg r(x) < \deg (x-\alpha)$, si deduce
+    che $\deg r(x) = 0$, ossia che $r(x)$ è un invertibile. In entrambi
+    i casi, $r(x)$ è comunque una costante. Pertanto, valutando il
+    polinomio in $\alpha$, si ricava:
+
+    \[ 0=f(\alpha)=\underbrace{q(\alpha)(\alpha-\alpha)}_{=\,0} + r(\alpha), \]
+
+    da cui $r(\alpha)=0$. Quindi $f(x)=q(x)(x-\alpha)$, e si verifica
+    la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:al_più_n_radici}
+    Sia $f(x) \in \KKx$ di grado $n$. Allora $f(x)$ ha al più
+    $n$ radici.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Se $n$ è nullo, allora $f(x)$ è una costante
+    non nulla, e quindi non ammette radici, in accordo alla tesi. \\
+
+    Sia allora $n \geq 1$. Se $f(x)$ non ha radici in $\KK$, allora
+    la tesi è ancora soddisfatta. Altrimenti sia $\zeta_1$ una radice  di $f(x)$. Si divida $f(x)$ per
+    $(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
+    ignori il resto, che,
+    per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
+    è nullo. \\
+
+    Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
+    posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo o
+    il quoziente non ammette radici in $\KK$, e si chiami quest'ultimo
+    quoziente $\lambda(x)$.
+    Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
+    ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini al più
+    dopo $n$ iterazioni. \\
+
+    In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:fattorizzazione_fx}
+        f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_k)\lambda(x).
+    \end{equation}
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Si osserva che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq k$.
+    Se $f(x)$ ammettesse un'altra fattorizzazione in cui compaia
+    un fattore $x-\alpha$ con $\alpha \neq \zeta_i$ $\forall 1 \leq i \leq k$, allora $f(x)$ ammetterebbe due fattorizzazioni in
+    irriducibili, dacché $x-\alpha$ non sarebbe un associato
+    di nessuno dei $x-\zeta_i$, né tantomeno di un
+    irriducibile $\lambda(x)$. \\
+
+    Se infatti $x-\alpha$ fosse un associato di un
+    irriducibile $\lambda(x)$, $x-\alpha$ dividerebbe
+    $\lambda(x)$, e quindi $\lambda(x)$ ammetterebbe $\alpha$ come radice. Se $\lambda(x)$
+    è una costante, questo è a priori assurdo, \Lightning{}. Se invece
+    $\lambda(x)$ non è una costante, il fatto che ammetta una radice contraddirebbe il funzionamento
+    dell'algoritmo di fattorizzazione espresso in precedenza, \Lightning{}. Quindi $x-\alpha$ non è associato di nessun irriducibile di $\lambda(x)$. \\
+
+    Allora il fatto che $f(x)$ ammetta due fattorizzazioni in
+    irriducibili è assurdo, dacché $\KKx$ è un anello euclideo, e
+    quindi un UFD, \Lightning{}. Quindi le radici sono esattamente $k \leq n$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\subsection{Sottogruppi moltiplicativi finiti di $\KK$}
+
+Si illustra adesso un teorema che riguarda i sottogruppi
+moltiplicativi finiti di $\KK$, da cui conseguirà,
+per esempio, che $\ZZ_p^*$ è sempre ciclico, per
+qualsiasi $p$ primo. \\
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:somma_phi_n}
+    Per ogni $n \in \NN$ vale la seguente identità:
+
+    \[ n = \sum_{d \mid n} \varphi(d). \]
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Si consideri il gruppo ciclico $\ZZ_n$ per $n \in \NN$.
+    Si osserva che $\card{\ZZ_n} = n$. \\
+
+    Si definisca $X_d$ come l'insieme degli elementi di $G$
+    di ordine $d$. Dal momento che ogni elemento appartiene
+    a uno e uno solo di questi $X_d$, per ogni divisore
+    $d$ di $n$, allora si può partizionare $G$ nel
+    seguente modo:
+
+    \begin{equation*}
+        G = \bigcup_{d \mid n} X_d.
+    \end{equation*}
+
+    Dal momento che $\ZZ_n$ è ciclico, ogni $X_d$ ha esattamente
+    $\varphi(d)$ elementi, e dunque si deduce che:
+
+    \begin{equation*}
+        n = \card{G} = \sum_{d \mid n} \card{X_d} =  \sum_{d \mid n} \varphi(d),
+    \end{equation*}
+
+    ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Un sottogruppo moltiplicativo finito di un campo
+    $\KK$ è sempre ciclico.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Sia $G$ un sottogruppo finito di un campo $\KK$ definito
+    sulla sua operazione di moltiplicazione, e sia
+    $\card{G} = n$. \\
+
+    Si definisca $X_d$ come l'insieme degli elementi di $G$
+    di ordine $d$. Dal momento che ogni elemento appartiene
+    a uno e uno solo di questi $X_d$, per ogni divisore
+    $d$ di $n$, allora si può partizionare $G$ nel
+    seguente modo:
+
+    \begin{equation*}
+        G = \bigcup_{d \mid n} X_d,
+    \end{equation*}
+
+    da cui:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:partizione_g_xd}
+        n = \card{G} = \sum_{d \mid n} \card{X_d}.
+    \end{equation}
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Dal \lemref{lem:somma_phi_n} e da \eqref{eq:partizione_g_xd},
+    si ricava infine la seguente equazione:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:uguaglianza_xd}
+        \sum_{d \mid n} \card{X_d} = n = \sum_{d \mid n} \varphi(d).
+    \end{equation}
+
+    Adesso vi sono due casi: o $\card{X_n} > 0$ o $\card{X_n} = 0$. \\
+
+    Nel primo caso si concluderebbe che esiste almeno un elemento in
+    $G$ di ordine $n$, e quindi che esiste un generatore con cui
+    $G$ è ciclico, ossia la tesi. \\
+
+    Nel secondo caso si dimostra un assurdo. Dal momento che
+    $\card{X_n} = 0$, esiste sicuramente un divisore proprio
+    $d$ di $n$ tale che $\card{X_d} > \varphi(d)$. Altrimenti,
+    se $\card{X_d} \leq \varphi(d)$ per ogni divisore $d$,
+    si ricaverebbe la seguente disuguaglianza:
+
+    \[ \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \card{X_d} \leq \sum_{
+            \substack{d \mid n \\ d \neq n}} \varphi(d) \implies \sum_{d \mid n} \card{X_d}
+        \overbrace{=}^{\card{X_n}=0} \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \card{X_d}
+        \leq \sum_{\substack{d \mid n \\ d \neq n}} \varphi(d)
+        \overbrace{<}^{\varphi(n) \geq 1} \sum_{d \mid n} \varphi(d).\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Tuttavia questo è un assurdo, dal momento che per \eqref{eq:uguaglianza_xd}
+    deve valere l'uguaglianza, \Lightning{}. \\
+
+    Sia $g \in X_d$ e si consideri $(g)$, il sottogruppo generato da $g$.
+    Vale in particolare che $\card{(g)} = d$. \\
+
+    Si consideri adesso il polinomio $f(x)= x^d-1 \in \KK[x]$. Tutti e $d$ gli
+    elementi di $(g)$ sono già soluzione di $f(x)$. Tuttavia, poiché
+    $\card{X_d} > \varphi(d)$, esiste sicuramente un elemento $h$ in $X_d$ che
+    non appartiene a $(g)$. Infatti se tutti gli elementi di $X_d$ appartenessero
+    a $(g)$ vi sarebbero più di $\varphi(d)$ generatori, \Lightning{}. \\
+
+    Infine, poiché $h \in X_d$, anch'esso è soluzione di $f(x)$. Questo è
+    però un assurdo, poiché, per il \thref{th:al_più_n_radici}, $f(x)$
+    ammette al più $d$ radici, mentre così ne avrebbe almeno $d+1$, \Lightning{}. \\
+
+    Quindi $\card{X_d}>0$, e $G$ è ciclico.
+\end{proof}
+
+\subsection{Il quoziente $\KKx/(f(x))$}
+
+Nell'ambito dello studio delle radici di un polinomio,
+il quoziente $\KKx/(f(x))$ gioca un ruolo fondamentale.
+Infatti, come vedremo in seguito, se $f(x)$ è irriducibile,
+questo diventa un campo, e, soprattutto, ammette sempre una
+radice per $f(x)$. \\
+
+In realtà, il quoziente $\KKx/(f(x))$ si comporta pressocché
+allo stesso modo dei più familiari $\ZZ/n\ZZ$. Infatti
+le principali regole dell'aritmetica modulare potrebbero
+essere estese anche a tale quoziente, senza particolari
+sacrifici. \\
+
+Si enuncia adesso un teorema importante, che è equivalente --
+anche nella dimostrazione -- all'analogo per i campi
+$\ZZ/p\ZZ$.
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:campo_quoziente_irriducibile}
+    $\KKx/(f(x))$ è un campo se e solo se $f(x)$ è irriducibile.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Sia $f(x) \in \KKx$ irriducibile. Affinché l'anello
+    commutativo $\KKx/(f(x))$ sia un campo è sufficiente dimostrare
+    che ogni suo elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo. \\
+
+    Sia $\alpha(x) + (f(x)) \in \KKx/(f(x))$ non nullo. Allora
+    $\alpha(x)$ non è divisibile da $f(x)$, e pertanto
+    $\MCD(\alpha(x), f(x))=1$\footnote{Si ricorda che in un PID la
+        nozione di \textit{massimo comun divisore} (MCD) è più ambigua
+        di quella di $\ZZ$. Infatti $\MCD(a,b)$ comprende tutti i
+        generatori dell'ideale $(a,b)$, e quindi tutti i suoi associati.
+        Pertanto si dirà $\MCD(a,b)$ uno qualsiasi di questi associati,
+        e nel nostro caso $1$ è un buon valore, dacché l'MCD deve essere
+        un associato di un'unità.}. \\
+
+    Allora, per l'\textit{Identità di Bézout}, esistono $\beta(x)$,
+    $\lambda(x) \in \KKx$ tali che:
+
+    \[ \alpha(x)\beta(x) + \lambda(x)f(x) = 1. \]
+
+    Dacché $\alpha(x)\beta(x)-1 \in (f(x))$, si deduce che
+    $\alpha(x)\beta(x)+(f(x))=1+(f(x))$, e quindi
+    $\beta(x) + (f(x))$ è l'inverso moltiplicativo di $\alpha(x) +
+        (f(x))$, da cui la dimostrazione dell'implicazione. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Si dimostra l'implicazione
+    contronominalmente. Sia $f(x) \in \KKx$ riducibile. Allora
+    esistono $\alpha(x)$ e $\beta(x)$ non
+    invertibili tali che $f(x)=\alpha(x)\beta(x)$, da cui si ricava che:
+
+    \[[\alpha(x)+(f(x))][\beta(x)+(f(x))]=f(x)+(f(x))=0+(f(x)),\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    ossia l'identità di $\KKx/(f(x))$. \\
+
+    Tuttavia, se $\KKx/(f(x))$ fosse un campo, e quindi un dominio,
+    ciò non sarebbe ammissibile, dacché non potrebbero esservi
+    divisori di zero. Quindi $\KKx/(f(x))$ non è un campo.
+
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Una notazione per indicare un elemento di $\KKx/(f(x))$ alternativa
+    e più sintetica di $a+(f(x))$ è $\overline{a}$, qualora
+    sia noto nel contesto a quale $f(x)$ si fa riferimento.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:radice_quoziente}
+    Nell'anello $\KKx/(f(x))$ esiste sempre una radice di $f(x)$,
+    convertendo opportunamente i coefficienti da $\KK$ a $\KKx/(f(x))$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $\overline{x} = x + (f(x)) \in \KKx/(f(x))$ e si descriva $f(x)$ come:
+
+    \[ f(x)=a_nx^n+\ldots+a_0. \]
+
+    Allora, computando $f(x)$ in $\overline{x}$ e convertendone
+    i coefficienti, si ricava che:
+
+    \[f(\overline{x})=\overline{a_n} \, \overline{x}^n + \ldots + \overline{a_0} =
+        \overline{a_n x^n} + \ldots + \overline{a_0} = \overline{f(x)} =
+        \overline{0}.\]
+
+    Quindi $\overline{x}$ è una radice di $f(x)$, da cui la tesi.
+
+\end{proof}

Aritmetica/7. Estensioni algebriche di K.tex

@@ -0,0 +1,522 @@
+\section{Estensioni algebriche di $\KK$}
+
+\subsection{Morfismi di valutazione, elementi algebrici e trascendenti}
+
+Si definisce adesso il concetto di \textit{omomorfismo di
+    valutazione}, che impiegheremo successivamente nello
+studio dei quozienti $\KKx/(f(x))$ e dei cosiddetti
+\textit{elementi algebrici} (o \textit{trascendenti}).
+
+\begin{definition}
+    Sia $B$ un anello commutativo, e sia $A \subseteq B$ un suo
+    sottoanello. Si definisce \textbf{omomorfismo di valutazione} di
+    $\alpha \in B$ in $A$ l'omomorfismo:
+
+    \[ \valalpha : A[x] \to B, \, f(x) \mapsto f(\alpha). \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    L'omomorfismo di valutazione è effettivamente un omomorfismo
+    di anelli. Innanzitutto $\valalpha(1)=1$. Inoltre vale
+    la linearità:
+
+    \begin{multline*}
+        \valalpha(f(x))+\valalpha(g(x))=f(\alpha)+g(\alpha)=
+        (f+g)(\alpha)=\valalpha((f+g)(x))=\\=\valalpha(f(x)+g(x)),
+    \end{multline*}
+
+    così come la moltiplicatività:
+
+    \begin{multline*}
+        \valalpha(f(x))\valalpha(g(x))=f(\alpha)g(\alpha)=
+        (fg)(\alpha)=\valalpha((fg)(x))=\valalpha(f(x)g(x)).
+    \end{multline*}
+
+    \vskip 0.1in
+
+\end{remark*}
+
+Si evidenziano adesso le principali proprietà di tale
+omomorfismo.
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:imm_valalpha}
+    $\Imm \valalpha = A[\alpha]$
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Sicuramente $\Imm \valalpha \subseteq A[\alpha]$,
+    dacché ogni immagine di $\valalpha$ è una valutazione di un
+    polinomio a coefficienti in $A$ in $\alpha$. \\
+
+    Sia dunque $a=a_n \alpha^n + \ldots + a_0 \in A[\alpha]$. Allora
+    $\valalpha(a_n x^n + \ldots + a_0) = a$. Pertanto $a \in \Imm
+        \valalpha$, da cui $A[\alpha] \in \Imm \valalpha$. \\
+
+    Poiché vale la doppia inclusione, si desume che $\Imm \valalpha =
+        A[\alpha]$.
+\end{proof}
+
+Prima di applicare il \textit{Primo teorema d'isomorfismo}, si
+distinguono due importanti casi, sui quali si baseranno le
+definizioni di \textit{elemento algebrico} e di
+\textit{elemento trascendente}.
+
+\begin{definition}
+    Sia $\alpha \in B$. Se $\Ker \valalpha = (0)$, allora si
+    dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento trascendente} di
+    $B$ su $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Equivalentemente, se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$,
+    significa che non vi è alcun polinomio non nullo in $A[x]$ che ha $\alpha$
+    come soluzione.
+\end{remark*}
+
+\begin{example}
+    Per esempio, il numero di Nepero-Eulero $e$ è trascendente su $\QQx$\footnote{Per una dimostrazione di questo fatto, si
+        guardi a \cite[pp.~234-237]{herstein2010algebra}}. Quindi
+    $\Ker \varphi_e = (0)$, e dunque, dal \textit{Primo teorema di
+        isomorfismo}, vale che:
+
+    \[ \QQx \cong \QQx/(0) \cong \QQ[e]. \]
+\end{example}
+
+Possiamo generalizzare questo esempio nel seguente teorema.
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:isomorfismo_trascendente}
+    Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
+    Se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$, allora vale
+    la seguente relazione:
+
+    \[ A[x] \cong A[\alpha]. \]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si consideri l'omomorfismo $\valalpha$. Dacché $\alpha$ è
+    trascendente, $\Ker \valalpha  = (0)$. Allora, combinando
+    il \textit{Primo teorema di isomorfismo} con la
+    \textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}}, si ottiene
+    proprio $A[x] \cong A[x]/(0) \cong A[\alpha]$, ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Sia $\alpha \in B$. Se $\Ker \valalpha \neq (0)$, allora si
+    dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento algebrico} di
+    $B$ su $A$, mentre il generatore monico\footnote{Vi potrebbero
+        essere infatti più generatori di $\Ker \valalpha$, sebbene
+        tutti associati tra loro. L'attributo \textit{monico} garantisce
+        così l'unicità del polinomio minimo.} non nullo di $\Ker \valalpha$ si
+    dice \textbf{polinomio minimo} di $\alpha$ su $A$. Il grado
+    di tale polinomio minimo è detto \textbf{grado di} $\alpha$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Equivalentemente, se $\alpha \in B$ è trascendente su $A$,
+    significa che esiste un polinomio non nullo in $A[x]$ che ha $\alpha$ come
+    soluzione. In particolare, ogni polinomio in $A[x]$ che ha
+    $\alpha$ come soluzione è un multiplo del suo polinomio
+    minimo su $A$.
+\end{remark*}
+
+\begin{example}
+    Sia $\alpha \in A$. Allora $\alpha$ è banalmente un elemento
+    algebrico su $A$, il cui polinomio minimo è $x-\alpha$. Vale
+    dunque che $\Ker \valalpha = (x-\alpha)$, da cui, secondo
+    il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, si ricava che:
+
+    \[ A[x]/(x-\alpha) \cong A[\alpha] \cong A. \]
+\end{example}
+
+\begin{example}
+    $i \in \CC$ è un elemento algebrico su $\RR$. Infatti, si
+    consideri $\varphi_i$: poiché $i$ è soluzione di $x^2+1$,
+    si ha che $x^2+1 \in \Ker \varphi_i$, che è quindi non vuoto. \\
+
+    Inoltre, dal momento che $x^2+1$ è irriducibile in $\RR[x]$,
+    esso è generatore di
+    $\Ker \varphi_i$. Inoltre, poiché monico, è anche il
+    polinomio minimo di $i$ su $\RR$. \\
+
+    Allora, poiché dalla \textit{Proposizione
+        \ref{prop:imm_valalpha}} $\Imm \varphi_i = \RR[i]$, si deduce dal \textit{Primo teorema di isomorfismo} che:
+
+    \[ \RRx/(x^2+1) \cong \RR[i] \cong \CC. \]
+\end{example}
+
+Ancora una volta possiamo generalizzare questo esempio con il
+seguente teorema.
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:isomorfismo_algebrico}
+    Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
+    Se $\alpha \in B$ è algebrico su $A$, allora, detto
+    $f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$, vale
+    la seguente relazione:
+
+    \[ A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]. \]
+
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si consideri l'omomorfismo $\valalpha$. Dacché $\Ker \valalpha
+        = (f(x))$ per definizione di polinomio minimo, combinando
+    il \textit{Primo teorema di isomorfismo} con la
+    \textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}}, si ottiene
+    proprio $A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]$, ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello. Allora,
+    dato $\alpha \in B$,
+    si definisce con la notazione $A(\alpha)$ il
+    sottocampo di $B$ che contiene $A$ e $\alpha$ che
+    sia minimale rispetto all'inclusione.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Le notazioni $\KK(\alpha, \beta)$ e $\KK(\alpha)(\beta)$ sono equivalenti.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
+    Se $\alpha \in B$ è algebrico su $A$, allora $A(\alpha)=A[\alpha]$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Se $\alpha$ è algebrico, allora $\Ker \valalpha = (f(x)) \neq (0)$,
+    dove $f(x) \in A[x]$ è irriducibile. Pertanto, per
+    il \textit{Teorema \ref{th:campo_quoziente_irriducibile}},
+    $A[x]/(f(x))$ è un campo. \\
+
+    Dunque dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si
+    ricava che:
+
+    \[ A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Pertanto $A[\alpha]$ è un campo. Dacché $A[\alpha] \subseteq A(\alpha)$ e $A(\alpha)$ è minimale rispetto all'inclusione,
+    si deduce che $A[\alpha]=A(\alpha)$, ossia la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Il teorema che è stato appena enunciato non vale per
+    gli elementi trascendenti. Infatti, $A[\alpha]$ sarebbe
+    isomorfo a $A[x]$, che non è un campo. Al contrario
+    $A(\alpha)$ è un campo, per definizione.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $B$ un campo e sia $A \subseteq B$ un suo sottoanello.
+    Se $\alpha$, $\beta \in B$ sono algebrici su $A$ e condividono
+    lo stesso polinomio minimo, allora $A[\alpha] \cong A[\beta]$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $f(x)$ il polinomio minimo di $\alpha$ e $\beta$.
+    Dal \textit{Primo teorema di isomorfismo} e dalla
+    \textit{Proposizione \ref{prop:imm_valalpha}} si
+    desume che $A[x]/(f(x)) \cong A[\alpha]$. Analogamente
+    si ricava che $A[x]/(f(x)) \cong A[\beta]$. Pertanto
+    $A[\alpha] \cong A[\beta]$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Teorema delle torri ed estensioni algebriche}
+
+\begin{definition}
+    Siano $A \subseteq B$ campi. Allora si denota come
+    $[B : A]$ la dimensione dello spazio vettoriale $B$
+    costruito su $A$, ossia $\dim B_A$. Tale dimensione è detta \textbf{grado
+        dell'estensione}.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[\textit{Teorema delle torri algebriche}]
+    \label{th:torri}
+    Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Allora:
+
+    \[ [C : A] = [C : B] [B : A]. \]
+    \vskip 0.1in
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $[C : B] = m$ e $[B : A] = n$. Sia
+    $\BB_C = (a_1, \ldots, a_m)$ una base
+    di $C$ su $B$, e sia $\BB_B = (b_1, \ldots, b_n)$ una
+    base di $B$ su $A$. \\
+
+    Si dimostra che la seguente è una base di $C$ su $A$:
+
+    \[\BB_A \BB_B = \{ a_1b_1, \ldots, a_1b_n, \ldots, a_mb_n\}. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    \ (i) $\BB_C \BB_B$ genera $A$ su $C$. \\
+
+    Sia $c \in C$. Allora si può descrivere $a$ nel seguente
+    modo:
+
+    \[c = \sum_{i=1}^m \beta_i a_i, \quad \text{con } \beta_i \in B, \; \forall 1 \leq i \leq m.\]
+
+    A sua volta, allora, si può descrivere ogni $\beta_i$ nel
+    seguente modo:
+
+    \[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j, \quad \text{con }
+        \gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq j \leq n.\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Combinando le due equazioni, si verifica che $\BB_C \BB_B$ genera $C$ su $A$:
+
+    \[ c = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j a_i, \quad \text{con } \gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    \ (ii) $\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente. \\
+
+    Si consideri l'equazione:
+
+    \[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j a_i = 0, \quad \text{con } \gamma_j^{(i)} \in A, \; \forall 1 \leq i \leq m, \, 1 \leq j \leq n .\]
+
+    Poiché $\BB_C$ è linearmente indipendente, si deduce
+    che:
+
+    \[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} b_j = 0, \; \forall 1 \leq i \leq m. \]
+
+    Tuttavia, $\BB_B$ è a sua volta linearmente indipendente,
+    e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
+    $\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente. \\
+
+    Dal momento che $\BB_C \BB_B$ è linearmente indipendente e
+    genera $C$ su $A$, consegue che essa sia una base di $C$ su
+    $A$. Quindi $[C : A] = mn = [C : B][B : A]$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Siano $A \subseteq B$ campi. Se $[B : A] \neq \infty$, allora
+    si dice che $BA$ è un'\textbf{estensione finita} di $A$.
+    Altrimenti si dice che $B$ è un'\textbf{estensione infinita}
+    di $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:estensione_finita}
+    Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Allora, se $C$ è
+    un'estensione finita di $A$, anche $B$ lo è. Inoltre
+    $C$ è un'estensione finita di $B$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Dal momento che $B$ è un sottospazio dello spazio vettoriale
+    $C$ costruito su $A$, e questo ha dimensione finita,
+    anche $B$ su $A$ ha dimensione finita. Quindi $[B : A] \neq
+        \infty$, e $B$ è dunque un'estensione finita di $A$. \\
+
+    Infine, dacché una base di $C$ su $A$ è un generatore finito
+    di $C$ su $B$, si deduce che $[C : B] \neq \infty$, e quindi
+    che $C$ è un'estensione finita di $B$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:estensione_algebrica}
+    Siano $A \subseteq B$ campi. Allora $a \in B$ è
+    algebrico su $A$ se e solo se $[A(a) : A] \neq \infty$,
+    ossia solo se $A(a)$ è un'estensione finita di $A$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Se $a \in B$ è algebrico su $A$, allora
+    dal \textit{Teorema \ref{th:isomorfismo_algebrico}} si ricava che:
+
+    \[ A[x]/(f(x)) \cong A[a] \cong A(a). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Dacché $A[x]/(f(x))$ ha dimensione finita, anche $A(a)$
+    ha dimensione finita, e quindi è un'estensione finita
+    di $A$. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Sia $A(a)$ un'estensione
+    finita di $A$ e sia $[A(a) : A]=m$. Allora $I=(1, a, a^2, \ldots, a^m)$ è linearmente dipendente, dal momento che contiene
+    $m+1$ elementi. Quindi esiste una sequenza finita non nulla
+    $(\alpha_i)_{i=\,0\to m}$ con elementi in $A$ tale che:
+
+    \[ \alpha_m a^m + \ldots + \alpha_2 a^2 + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0. \]
+
+    Quindi $a$ è soluzione del polinomio:
+
+    \[ f(x) = \alpha_m x^m + \ldots + \alpha_2 x^2 + \alpha_1 x + \alpha_0 \in A[x], \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    pertanto $a$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Siano $A \subseteq B$ campi. Allora si dice che $B$ è
+    un'\textbf{estensione algebrica} di $A$ se ogni elemento
+    di $B$ è algebrico su $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:estensione_finita_algebrica}
+    Siano $A \subseteq B$ campi. Se $B$ è un'estensione finita
+    di $A$, allora $B$ è una sua estensione algebrica.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $\alpha \in B$ e si consideri la catena di campi $A \subseteq A(\alpha)
+        \subseteq B$. Dacché $[B : A] \neq \infty$, per la \propref{prop:estensione_finita}
+    anche $[A(\alpha) : A] \neq \infty$. Pertanto, dal \thref{th:estensione_algebrica}, $\alpha$ è algebrico. Così tutti gli elementi
+    di $B$ sono algebrici in $A$, e dunque, per definizione, $B$ è un'estensione
+    algebrica di $A$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:somma_prodotto_algebrici}
+    Siano $A \subseteq B$ campi e siano $\beta_1$, $\beta_2$, $\ldots$, $\beta_n$
+    elementi algebrici di $B$ su $A$, con $n \geq 1$.
+    Allora $[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) : A] \neq \infty$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si procede applicando il principio di induzione su $n$. \\
+
+    \ (\textit{passo base}) La tesi è verificata per il \thref{th:estensione_algebrica}. \, \\
+
+    \ (\textit{passo induttivo}) Per l'ipotesi induttiva, si sa che
+    $[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1}) : A] \neq \infty$. \\
+
+    Poiché $\beta_n$ è algebrico su $A$, sin da subito si osserva
+    che $[A(\beta_n) : A] \neq \infty$ per il \thref{th:estensione_algebrica}.
+    Sia allora $f(x)$ il polinomio minimo di $\beta_n$ appartenente a
+    $A[x]$. Esso è un polinomio che ammette $\beta_n$ come radice
+    anche in $A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})[x]$, e quindi
+    $\Ker \varphi_{\beta_n} \neq (0)$ ammette un generatore
+    $p(x)$, che divide $f(x)$. Si ottiene pertanto la seguente
+    disuguaglianza:
+
+    \[ [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})] = \deg p(x) \leq
+        \deg f(x) = [A(\beta_n) : A].  \]
+        
+    \vskip 0.1in
+
+    Poiché $[A(\beta_n) : A]$ è finito, anche $[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})]$ lo è. \\
+
+    Combinando i due risultati, si ottiene con il \nameref{th:torri} che:
+
+    \begin{multline*}
+        [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) : A] = [A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})(\beta_n) : A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1})] \\ \cdot[A(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{n-1}) : A] \neq \infty,
+    \end{multline*}
+
+    da cui la tesi.
+    \, \\
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    \label{cor:estensione_algebrica_due_elementi}
+    Siano $A \subseteq B$ campi e siano $\alpha$, $\beta \in B$ elementi
+    algebrici su $A$. Allora $A(\alpha, \beta)$ è un'estensione algebrica.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Dal \thref{th:somma_prodotto_algebrici} si ricava che $[A(\alpha, \beta) : A] \neq
+        \infty$. Quindi $A(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $A$, ed in quanto
+    tale, per la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, essa è algebrica.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Esistono estensioni algebriche che hanno grado infinito. Un
+    esempio notevole è $\mathcal{A}$, l'insieme dei numeri algebrici di $\CC$
+    su $\QQ$. Infatti, si ponga $[\mathcal{A} : \QQ] = n-1 \in \NN$ e si
+    consideri $x^n-2$. Dal momento che per il \textit{Criterio di Eisenstein}
+    tale polinomio è irriducibile, si ricava che $[\QQ(\nsqrt{n}{2}) : \QQ] = n$. \\
+
+    Poiché $\nsqrt{n}{2}$ è algebrico, si deduce che $\QQ(\nsqrt{n}{2}) \subseteq
+        \mathcal{A}$, dal momento che per il \corref{cor:estensione_algebrica_due_elementi} ogni elemento di $\QQ(\nsqrt{n}{2})$ è algebrico su $\QQ$.
+    Tuttavia questo è un assurdo dal momento che
+    $\QQ(\nsqrt{n}{2})$ ha
+    dimensione maggiore di $\mathcal{A}$, di cui è sottospazio vettoriale.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:alpha_quadro}
+    Siano $A \subseteq B$ campi e sia $\alpha \in B$. Se $[A(\alpha) : A]$
+    è dispari, allora $A(\alpha^2)=A(\alpha)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Innanzitutto, si osserva che $A(\alpha^2) \subseteq A(\alpha)$, ossia
+    che $A(\alpha)$ è un'estensione di $A(\alpha^2)$. Grazie a questa
+    osservazione è possibile considerare il grado di $A(\alpha)$ su
+    $A(\alpha^2)$, ossia $[A(\alpha) : A(\alpha^2)]$. Poiché $\alpha$ è
+    radice del polinomio $x^2 - \alpha^2$ in $A(\alpha^2)$, si deduce
+    che tale grado è al più $2$. \\
+    
+    Si applichi il \nameref{th:torri} alla catena di estensioni
+    $A \subseteq A(\alpha^2) \subseteq A(\alpha)$:
+    
+    \[ [A(\alpha) : A] = \underbrace{[A(\alpha) : A(\alpha^2)]}_{\leq 2} [A(\alpha^2) : A]. \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    Se $[A(\alpha) : A(\alpha^2)]$ fosse $2$, $[A(\alpha) : A]$ sarebbe
+    pari, \Lightning{}. Pertanto $[A(\alpha) : A(\alpha^2)] = 1$, da
+    cui si ricava che $[A(\alpha) : A] = [A(\alpha^2) : A]$, ossia
+    che $A(\alpha^2)$ ha la stessa dimensione di $A(\alpha)$ su $A$. \\
+    
+    Dal momento che $A(\alpha^2)$ è un sottospazio vettoriale di $A(\alpha)$,
+    avere la sua stessa dimensione equivale a coincidere con lo spazio
+    stesso. Si conclude allora che $A(\alpha^2) = A(\alpha)$.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Si osserva che la \propref{prop:alpha_quadro} si può generalizzare
+    facilmente ad un esponente $n$ qualsiasi, finché sia data come ipotesi
+    la non divisibilità di $[A(\alpha) : A]$ per nessun numero primo
+    minore o uguale di $n$. \\
+    
+    Si può infatti considerare, per
+    la dimostrazione generale, il polinomio $x^n - \alpha^n$, la cui
+    esistenza implica che $[A(\alpha) : A(\alpha^n)]$ sia minore
+    o uguale di $n$.
+\end{remark*}
+
+
+\begin{theorem}
+    Siano $A \subseteq B \subseteq C$ campi. Se $B$ è un'estensione algebrica di $A$
+    e $C$ è un'estensione algebrica di $B$, allora $C$ è un'estensione algebrica di
+    $A$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per mostrare che $C$ è un'estensione algebrica di $A$, verificheremo che
+    ogni suo elemento è algebrico in $A$. Sia dunque $c \in C$. \\
+
+    Poiché per ipotesi $c$ è algebrico su $B$, esiste un polinomio $f(x) \in B[x]$
+    tale che $c$ ne sia radice. Sia $f(x)$ il polinomio minimo di $c$ su $B$,
+    descritto come:
+
+    \[ f(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_n x^n,\quad n = [B(c) : B].\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Dacché $B$ è un'estensione algebrica di $A$, ogni coefficiente $b_i$ di $f(x)$ è
+    algebrico su $A$, ossia $[A(b_i) : A] \neq \infty$. Allora, per il
+    \thref{th:somma_prodotto_algebrici}, $[A(b_0, \ldots, b_n) : A] \neq \infty$.
+    \\
+
+    Anche $[A(c, b_0, \ldots, b_n) : A(b_0, \ldots, b_n)] \neq \infty$, dal
+    momento che $c$ è soluzione di $f(x) \in A(b_0, \ldots, b_n)[x]$. \\
+
+    Allora, per il \nameref{th:torri}, $[A(c, b_0, \ldots, b_n) : A] = [A(c, b_0,
+        \ldots, b_n) : A(b_0, \ldots, b_n)][A(b_0, \ldots, b_n) : A] \neq \infty$.
+    Quindi $A(c, b_0, \ldots, b_n)$ è un'estensione finita di $A$. \\
+
+    Poiché $A \subseteq A(c) \subseteq A(c, b_0, \ldots, b_n)$ è una
+    catena di estensione di campi, per la \propref{prop:estensione_finita},
+    $A(c)$ è un'estensione finita di $A$, ed in quanto tale, per
+    la \propref{prop:estensione_finita_algebrica}, è anche algebrica. Quindi
+    $c$ è algebrico su $A$, da cui la tesi.
+\end{proof}

Aritmetica/8. Campi di spezzamento.tex

@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Campi di spezzamento}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:esistenza_spezzamento}
+    Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
+    Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
+    contenute tutte le radici di $f(x)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
+    grado di $f(X)$. \\
+
+    \ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
+    campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
+
+    \ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
+    irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
+    $f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
+    $A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
+    $f_1(x)$ ammette radice. \\
+
+    Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
+    esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
+    di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
+    tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
+\end{proof}
+
+Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
+    campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
+              primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
+        \item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
+              $f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
+              primo grado.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
+    di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
+    isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
+        si rimanda a TODO}.
+\end{remark*}

Aritmetica/9. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\section{Teorema fondamentale dell'Algebra e radici reali in $\QQx$}
+
+Si enuncia adesso il \nameref{th:algebra}, senza tuttavia
+fornirne una dimostrazione\footnote{Per la dimostrazione si rimanda
+    a \cite[pp.~142-143]{di2013algebra}, avvisando della sua
+    estrema tecnicità. Una dimostrazione a tema strettamente
+    algebrico è dovuta invece al matematico francese Laplace (1749 -- 1827), per la quale
+    si rimanda a \cite[pp.~120-122]{Remmert1991}.}.
+
+\begin{theorem}[\textit{Teorema fondamentale dell'Algebra}]
+    \label{th:algebra}
+    Un polinomio non costante $f(x) \in \CCx$ ammette sempre almeno una radice in
+    $\CC$.
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+    Sia $f(x) \in \CCx$ di grado $n\geq1$. Allora $f(x)$ ammette
+    esattamente $n$ radici, contate con la giusta molteplicità.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Sia $\zeta_1$ una radice complessa di $f(x)$, la cui esistenza
+    è garantita dal \nameref{th:algebra}. Si divida $f(x)$ per
+    $(x-\zeta_1)$ e se ne prende il quoziente $q_1(x)$, mentre si
+    ignori il resto, che
+    per la \textit{Proposizione \ref{prop:radice_x_meno_alpha}},
+    è nullo. \\
+
+    Si reiteri il procedimento utilizzando $q_1(x)$ al
+    posto di $f(x)$ fino a quando il grado del quoziente non è nullo,
+    e si chiami infine questo quoziente di grado nullo $\alpha$.
+    Infatti, poiché i gradi dei quozienti diminuiscono di $1$ ad
+    ogni iterazione, è garantito che l'algoritmo termini esattamente
+    dopo $n$ iterazioni. Pertanto, $f(x)$ a priori ha almeno $n$ radici. \\
+
+    In questo modo, numerando le radici, si può scrivere $f(x)$ come:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:fattorizzazione_fx__reali}
+        f(x)=\alpha(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)\cdots(x-\zeta_n).
+    \end{equation}
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Dal momento che $x-\zeta_i$ è irriducibile $\forall 1 \leq i \leq n$
+    e dacché $\KKx$, in quanto anello euclideo, è un UFD, si dimostra
+    che \eqref{eq:fattorizzazione_fx__reali} è l'unica fattorizzazione di
+    $f(x)$, a meno di associati. Pertanto $f(x)$ ammette esattamente
+    $n$ radici.
+\end{proof}

Aritmetica/aritmetica.tex

@@ -1,56 +1,119 @@
-% Style formatting by Evan Chen (evanchen.cc)
-% Inspired by https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica
-
 \PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
 \documentclass[11pt]{scrartcl}
 \usepackage[sexy]{evan}
-\usepackage[italian]{babel}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{algorithm2e}
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+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
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+\usepackage{csquotes}
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+\usepackage{tikz}
+\usepackage{wrapfig}
+\usepackage{xpatch}
 
-\setlength{\headsep}{0.3in}
+\addbibresource{bibliography.bib}
 
-\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
-\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
 
-\let\oldforall\forall
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
-\let\forall\undefined
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
-\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
 
+\newcommand{\corref}[1]{\textit{Corollario \ref{#1}}}
+\newcommand{\exref}[1]{\textit{Esercizio \ref{#1}}}
+\newcommand{\exmplref}[1]{\textit{Esempio \ref{#1}}}
+\newcommand{\propref}[1]{\textit{Proposizione \ref{#1}}}
+\newcommand{\lemref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
 \newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
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+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
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+\renewcommand{\ii}{\mathbf{i}}
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+\theoremstyle{definition}
+
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
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 \begin{document}
 
-\author{Gabriel Antonio Videtta \\ \textnormal{\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{g.videtta1@studenti.unipi.it}}}
+\title{L'Algebrario}
-\title{Appunti del corso di Aritmetica}
+\subtitle{dispense del corso di Aritmetica}
-\subtitle{tenutosi sotto la supervisione dei proff. Gaiffi e \textit{D'Adderio}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
 \date{A.A. 2022/2023}
 \maketitle
 \thispagestyle{empty}
@@ -59,43 +122,83 @@
 	\includegraphics[scale=0.3]{logo.png}
 \end{center}
 
-\author{Gabriel Antonio Videtta}
 \newpage
 \thispagestyle{empty}
 ~\newpage
 
-\section*{Premessa}
+\include{0. Premessa}
 
-Affinché possano chiamarsi queste dispense, voglio mettere alcuni punti
+\newpage
-in chiaro. Non sono un professore, né ho mai insegnato nella mia vita, per
+\thispagestyle{empty}
-quanto punti a farlo, pertanto queste dispense non forniscono né coprono
+~\newpage
-l'esperienza che un professore potrebbe condividere durante un vero e proprio
-corso universitario.
 
-Piuttosto queste dispense hanno lo scopo di immagazzinare e incapsulare
+\tableofcontents
-le nozioni che un normale corso di Aritmetica -- o Algebra 1 che sia --
-potrebbe fornire, e non hanno quindi la pretesa di sostituirsi a uno
-studio più approfondito e personale.
 
-Naturalmente sono accettati a braccia aperte suggerimenti e correzioni
+\newpage
-(che potete inviare alla mia mail,
+\thispagestyle{empty}
-\texttt{\href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{g.videtta1@studenti.unipi.it}}).
+~\newpage
 
-\section*{Ringraziamenti}
+\include{1. Introduzione alla teoria degli anelli}
 
-Chiaramente ci sono alcuni ringraziamenti che ho piacere a fare. Innanzitutto
+\newpage
-vorrei ringraziare il mio caro amico \textbf{Diego Monaco}
+\thispagestyle{empty}
-(\texttt{\href{mailto:d.monaco2@studenti.unipi.it}{d.monaco2@studenti.unipi.it}}),
+~\newpage
-da cui ho preso pesante ispirazione per lo stile e il contenuto di queste dispense
-(trovate difatti i suoi appunti su \underline{\href{https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica}{GitHub}}).
 
-In secondo luogo, voglio ringraziare \textbf{Evan Chen}, dal quale ho reperito
+\include{2. Anelli euclidei, PID e UFD}
-già pronti i fogli di stile per queste dispense (e che anche voi potete trovare
-sul suo \underline{\href{https://web.evanchen.cc/faq-latex.html}{sito personale}}).
 
 \newpage
-\tableofcontents
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{3. Esempi notevoli di anelli euclidei}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{4. Proprietà fondamentali di Z[i], Zp[x], Z[x], Q[x]}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{6. Proprietà dei polinomi di K[x] e delle estensioni algebriche}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{7. Estensioni algebriche di K}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{8. Campi di spezzamento}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{9. Teorema fondamentale dell'algebra ed estensioni di Q}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
+
+\include{10. Teoremi rilevanti sui campi finiti}
+
+\newpage
+\thispagestyle{empty}
+~\newpage
 
-\include{1. Gruppi.tex}
+\section{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
 
 \end{document}

Aritmetica/bibliography.bib

@@ -0,0 +1,41 @@
+@book{di2013algebra,
+  title={Algebra},
+  author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
+  isbn={9788867410958},
+  series={Didattica e Ricerca. Manuali},
+  year={2013},
+  publisher={Pisa University Press},
+  shorthand={DM}
+},
+@book{herstein2010algebra,
+  title={Algebra},
+  author={Herstein, I.N.},
+  isbn={9788864732107},
+  year={2010},
+  publisher={Editori Riuniti University Press},
+  shorthand={H}
+},
+@Inbook{Remmert1991,
+author="Remmert, R.",
+title="The Fundamental Theorem of Algebra",
+bookTitle="Numbers",
+year="1991",
+publisher="Springer New York",
+address="New York, NY",
+pages="97--122",
+isbn="978-1-4612-1005-4",
+doi="10.1007/978-1-4612-1005-4_5",
+url="https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1005-4_5"
+},
+@article{10.2307/2315810,
+ ISSN = {00029890, 19300972},
+ URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
+ author = {M. A. Jodeit},
+ journal = {The American Mathematical Monthly},
+ number = {7},
+ pages = {835--836},
+ publisher = {Mathematical Association of America},
+ title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
+ volume = {74},
+ year = {1967}
+}

Aritmetica/evan.sty

@@ -262,7 +262,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} % Ext functor
 \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} % Tor functor
 \newcommand{\gl}{\opname{\mathfrak{gl}}} % frak gl group
-% \renewcommand{\sl}{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
+\def\sl{\opname{\mathfrak{sl}}} % frak sl group chktex 6
 
 % More script letters etc.
 \newcommand{\SA}{\mathcal A}
@@ -299,7 +299,7 @@
 %%fakesection Asymptote setup
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   \ifevanpatchasy
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+    \usepackage{patchasy}
   \else
     \usepackage{asymptote}
   \fi
@@ -359,9 +359,9 @@
   \ifevanauthor
     \title{} % empty title to avoid crashes
     \ifluatex
-      \author{Evan Chen《陳誼廷》}
+      \author{Gabriel Antonio Videtta}
     \else
-      \author{Evan Chen}
+      \author{Gabriel Antonio Videtta}
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     \date{\today}
   \fi
@@ -370,13 +370,13 @@
     \PassOptionsToPackage{usenames,svgnames,dvipsnames,table}{xcolor}
     \usepackage{xcolor}
     \ifevanhref
-      \usepackage[colorlinks=false]{hyperref}
+      \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
       \hypersetup{urlcolor=RubineRed,linkcolor=RoyalBlue,citecolor=ForestGreen}
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     \usepackage[nameinlink]{cleveref}
   \fi
 
-  %%fakesection New Theorem Styles
+  %%fakesection New theorem styles
   \ifevanthm
     \usepackage{amsthm}
     \usepackage{thmtools}
@@ -407,6 +407,23 @@
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+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\sffamily\bfseries\color{Maroon},
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+
     \mdfdefinestyle{mdgreenbox}{%
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@@ -446,6 +480,23 @@
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     ]{thmgreenbox}
     
+    \mdfdefinestyle{mdgreenbox2}{%
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+      headfont=\sffamily\bfseries\color{ForestGreen!70!black},
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+    ]{thmgreenbox2}
+
     \mdfdefinestyle{mdblackbox}{%
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     \declaretheoremstyle[
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@@ -464,6 +515,24 @@
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     ]{thmblackbox}
     
+    \mdfdefinestyle{mdblackbox2}{%
+      skipabove=8pt,
+      linewidth=3pt,
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+    \declaretheoremstyle[
+      headfont=\bfseries,
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+    ]{thmblackbox2}
+
     \newcommand{\listhack}{$\empty$\vspace{-2em}}
   \fi
 
@@ -479,18 +548,18 @@
         \declaretheorem[%
         style=thmbluebox,name=Teorema]{theorem}
       \fi
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
+      \declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,sibling=theorem]{corollary}
       \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Teorema,numbered=no]{theorem*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
+      \declaretheorem[style=thmgreenbox2,name=Lemma,numbered=no]{lemma*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
+      \declaretheorem[style=thmredbox2,name=Proposizione,numbered=no]{proposition*}
-      \declaretheorem[style=thmbluebox,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
+      \declaretheorem[style=thmbluebox2,name=Corollario,numbered=no]{corollary*}
     \else
       \ifevansecthm
-        \declaretheorem[name=Theorem,numberwithin=section]{theorem}
+        \declaretheorem[name=Teorema,numberwithin=section]{theorem}
       \else
-        \declaretheorem[name=Theorem]{theorem}
+        \declaretheorem[name=Teorema]{theorem}
       \fi
       \declaretheorem[name=Lemma,sibling=theorem]{lemma}
       \declaretheorem[name=Proposizione,sibling=theorem]{proposition}
@@ -502,13 +571,9 @@
     \fi
 
     \ifevanmdthm
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
       \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,sibling=theorem]{claim}
       \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Claim,numbered=no]{claim*}
     \else
-      \declaretheorem[name=Algoritmo,sibling=theorem]{algorithm}
-      \declaretheorem[name=Algoritmo,numbered=no]{algorithm*}
       \declaretheorem[name=Claim,sibling=theorem]{claim}
       \declaretheorem[name=Claim,numbered=no]{claim*}
     \fi
@@ -524,31 +589,33 @@
     % Remark-style theorems
     %\theoremstyle{remark}
     \ifevanmdthm
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
+      \declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
-      \declaretheorem[style=thmgreenbox,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
+      \declaretheorem[style=thmblackbox, name=Definizione,numbered=no]{definition*}
+      \declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
+      \declaretheorem[style=thmblackbox2,name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
     \else
+      \declaretheorem[name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
+      \declaretheorem[name=Definizione,numbered=no]{definition*}
       \declaretheorem[name=Osservazione,sibling=theorem]{remark}
       \declaretheorem[name=Osservazione,numbered=no]{remark*}
     \fi
 
     \declaretheorem[name=Congettura,sibling=theorem]{conjecture}
     \declaretheorem[name=Congettura,numbered=no]{conjecture*}
-    \declaretheorem[name=Definizione,sibling=theorem]{definition}
-    \declaretheorem[name=Definizione,numbered=no]{definition*}
     \declaretheorem[name=Esercizio,sibling=theorem]{exercise}
     \declaretheorem[name=Esercizio,numbered=no]{exercise*}
-    \declaretheorem[name=Fatto noto,sibling=theorem]{fact}
+    \declaretheorem[name=Asserzione,sibling=theorem]{fact}
-    \declaretheorem[name=Fatto noto,numbered=no]{fact*}
+    \declaretheorem[name=Asserzione,numbered=no]{fact*}
     \declaretheorem[name=Problema,sibling=theorem]{problem}
     \declaretheorem[name=Problema,numbered=no]{problem*}
     \declaretheorem[name=Domanda,sibling=theorem]{ques}
     \declaretheorem[name=Domanda,numbered=no]{ques*}
 
     \ifevanpkg
-      \Crefname{claim}{Claim}{Claims}
+      \Crefname{claim}{Claim}{Claim}
       \Crefname{conjecture}{Congettura}{Congetture}
-      \Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizio}
+      \Crefname{exercise}{Esercizio}{Esercizi}
-      \Crefname{fact}{Fatto noto}{Fatti noti}
+      \Crefname{fact}{Asserzione}{Asserzioni}
       \Crefname{problem}{Problema}{Problemi}
       \Crefname{ques}{Domanda}{Domande}
     \fi
@@ -622,15 +689,13 @@
     \usepackage[obeyFinal,textsize=scriptsize,shadow]{todonotes}
     \usepackage{textcomp}
     \usepackage{multirow}
+    \usepackage{ellipsis} % don't use ugly unicode ellipsis
     % Tiny optimizations:
     \usepackage{mathtools}
     \usepackage{microtype}
     \usepackage{xstring}
     \usepackage{wrapfig}
-    \ifevanbritish
+    \ifevanbritish\usepackage[cleanlook,british]{isodate}\fi % day-first date
-      % Use day-first date format
-      \usepackage[cleanlook,british]{isodate}
-    \fi
 
     % a list I like for walkthrough's --- Drew-style parts
     \newlist{walk}{enumerate}{3}
@@ -667,7 +732,7 @@
     \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
   \fi
 
-  %%fakesection Page Setup
+  %%fakesection Page setup
   \ifevanfancy
     \@ifundefined{KOMAClassName}
     {
@@ -686,7 +751,7 @@
         \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
         \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}
         \pagestyle{fancy}
-        \lhead{Evan Chen}
+        \lhead{Gabriel Antonio Videtta}
         \chead{}
         \rhead{\nouppercase{\leftmark}}
         \lfoot{}
@@ -738,7 +803,7 @@
       ]
     \else
       \ifevanchinese
-        \usepackage{babel}
+        \usepackage[italian]{babel}
         \usepackage[encapsulated]{CJK}
         \usepackage{ucs}
         \usepackage[utf8x]{inputenc}