Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
Quindi $\varphi(\rho_W(\vv1), \rho_W(\vv2))=\varphi(\ww1, \ww2)+\varphi(\ww1', \ww2)+\varphi(\ww1, \ww2')+\varphi(\ww1', \ww2')=\varphi(\vv1, \vv2)$.
\end{remark}
\end{remark}
% TODO: dimostrare sia il lemma che il teorema
\begin{lemma}
Siano $\U$, $\w\in V$. Se $\norm{\U}=\norm{\w}$, allora esiste un sottospazio $W$ di dimensione
$n-1$ per cui la riflessione $\rho_W$ è tale che $\rho_W(\U)=\w$.
\end{lemma}
\begin{theorem}
\begin{theorem}
Ogni isometria è prodotto di al più $n+1$ riflessioni.
Ogni isometria è prodotto di al più $n+1$ riflessioni.
\end{theorem}
\end{theorem}
\setcounter{lemma}{0}
\hr
\hr
\begin{lemma}
\begin{lemma}
@ -1176,4 +1185,145 @@
e quello di nullità è la molteplicità algebrica di $0$ come autovalore (ossia esattamente
e quello di nullità è la molteplicità algebrica di $0$ come autovalore (ossia esattamente
la dimensione di $V^\perp_\varphi=\Ker a_\varphi$).
la dimensione di $V^\perp_\varphi=\Ker a_\varphi$).
\end{remark}
\end{remark}
\begin{theorem} [di triangolazione con base ortonormale]
Sia $f \in\End(V)$, dove $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo su $\KK$. Allora,
se $p_f$ è completamente riducibile in $\KK$, esiste una base ortonormale $\basis$
tale per cui $M_\basis(f)$ è triangolare superiore (ossia esiste una base ortonormale
a bandiera per $f$).
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il teorema di triangolazione, esiste una base $\basis$ a bandiera per $f$. Allora,
applicando l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, si può ottenere da $\basis$
una nuova base $\basis'$ ortonormale e che mantenga le stesse bandiere. Allora,
se $\basis' =\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ è ordinata, dacché $\Span(\vv1, \ldots, \vv i)$ è $f$-invariante,
$f(\vv i)\in\Span(\vv1, \ldots, \vv i)$, e quindi $M_{\basis'}(f)$ è triangolare superiore, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{corollary}
Sia $A \in M(n, \RR)$ (o $M(n, \CC)$) tale per cui $p_A$ è completamente riducibile.
Allora $\exists P \in O_n$ (o $U_n$) tale per cui
$P\inv A P = P^\top A P$ (o $P\inv A P = P^* A P$) è triangolare superiore.
\end{corollary}
\begin{proof}
Si consideri l'operatore $f_A$ indotto da $A$ in $\RR^n$ (o $\CC^n$). Sia $\basis$ la base canonica di $\RR^n$ (o di $\CC^n$). Allora, per il teorema
di triangolazione con base ortonormale, esiste una base ortonormale $\basis' =\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ di $\RR^n$ (o di $\CC^n$)
tale per cui $T = M_{\basis'}(f_A)$ è triangolare superiore. Si osserva inoltre che $M_{\basis}(f_A)= A$ e che $P = M_{\basis}^{\basis'}(f_A)=\Matrix{\vv1&\rvline&\cdots&\rvline&\vv n}$ è ortogonale (o unitaria), dacché le sue colonne
formano una base ortonormale. Allora, dalla formula del cambiamento di base per la applicazioni lineari,
si ricava che:
\[ A = P T P\inv\implies T = P\inv T P, \]
da cui, osservando che $P\inv= P^\top$ (o $P\inv= P^*$), si ricava la tesi.
\end{proof}
\begin{definition} [operatore normale]
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo reale. Allora $f \in\End(V)$ si dice \textbf{normale}
se commuta con il suo trasposto (i.e.~se $f f^\top= f^\top f$). Analogamente,
se $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo complesso, allora $f$ si dice normale se commuta con il suo
aggiunto (i.e.~se $f f^*= f^* f$).
\end{definition}
\begin{definition} [matrice normale]
Una matrice $A \in M(n, \RR)$ (o $M(n, \CC)$) si dice \textbf{normale} se $A A^\top= A^\top A$ (o $A A^*= A^* A$).
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Se $A \in M(n, \RR)$ e $A$ è simmetrica ($A = A^\top$), antisimmetrica ($A =-A^\top$) o
ortogonale ($A A^\top= A^\top A = I_n$), sicuramente $A$ è normale. \\
\li Se $A \in M(n, \CC)$ e $A$ è hermitiana ($A = A^*$), antihermitiana ($A =-A^*$) o
unitaria ($A A^*= A^* A = I_n$), sicuramente $A$ è normale. \\
\li$f$ è normale $\iff$$M_\basis(f)$ è normale, con $\basis$ ortonormale di $V$. \\
\li$A$ è normale $\iff$$f_A$ è normale, considerando che la base canonica di $\CC^n$ è già
ortonormale rispetto al prodotto hermitiano standard. \\
\li Se $V$ è euclideo reale, $f$ è normale $\iff$$f_\CC$ è normale. Infatti, se $f$ è normale, $f$ e $f^\top$
commutano. Allora anche $f_\CC$ e $(f^\top)_\CC=(f_\CC)^*$ commutano, e quindi $f_\CC$ è normale.
Ripercorrendo i passaggi al contrario, si osserva infine che vale anche il viceversa.
\end{remark}
\setcounter{lemma}{0}
\begin{lemma}
Sia $A \in M(n, \CC)$ triangolare superiore e normale (i.e.~$A A^*= A^* A$). Allora
$A$ è diagonale.
\end{lemma}
\begin{proof}
Se $A$ è normale, allora $(A^*)_i A^i =\conj{A}\,^i A^i$ deve essere uguale a
$A_i (A^*)^i = A_i \conj{A}_i$$\forall1\leq i \leq n$. Si dimostra per induzione
su $i$ da $1$ a $n$ che tutti gli elementi, eccetto per quelli diagonali, delle
righe $A_1$, ..., $A_i$ sono nulli. \\
\basestep Si osserva che valgono le seguenti identità:
dove si è usato che, per il passo induttivo, tutti gli elementi, eccetto per quelli diagonali, delle
righe $A_1$, ..., $A_{i-1}$ sono nulli. Allora, analogamente a prima, si ricava che
$a_{ij}=0$\,$\forall i < j \leq n$, dimostrando il passo induttivo, e quindi la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Chiaramente vale anche il viceversa del precedente lemma: se infatti $A \in M(n, \CC)$ è diagonale,
$A$ è anche normale, dal momento che commuta con $A^*$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio euclideo complesso. Allora $f$ è un operatore normale $\iff$ esiste
una base ortonormale $\basis$ di autovettori per $f$.
\end{theorem}
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Poiché $\CC$ è algebricamente chiuso, $p_f$ è sicuramente riducibile. Pertanto,
per il teorema di triangolazione con base ortonormale, esiste una base ortonormale $\basis$
a bandiera per $f$. In particolare, $M_\basis(f)$ è sia normale che triangolare superiore.
Allora, per il \textit{Lemma 1}, $M_\basis(f)$ è diagonale, e dunque $\basis$ è anche una
base di autovettori per $f$. \\
\leftproof Se esiste una base ortonormale $\basis$ di autovettori per $f$, $M_\basis(f)$ è
diagonale, e dunque anche normale. Allora, poiché $\basis$ è ortonormale, anche $f$
è normale.
\end{proof}
\begin{corollary}
Sia $A \in M(n, \CC)$. Allora $A$ è normale $\iff$$\exists U \in U_n$ tale che $U\inv A U = U^* A U$
è diagonale.
\end{corollary}
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Sia $\basis$ la base canonica di $\CC^n$.
Si consideri l'applicazione lineare $f_A$ indotta da $A$ su $\CC^n$. Se $A$ è normale, allora
anche $f_A$ lo è. Pertanto, per il precedente teorema, esiste una base ortonormale $\basis' =\{\vv1, \ldots, \vv n \}$ di
autovettori per $f_A$. In particolare, $U = M_{\basis}^{\basis'}(\Id)=\Matrix{\vv1&\rvline&\cdots&\rvline&\vv n}$ è unitaria ($U \in U_n$), dacché le colonne di $U$ sono ortonormali. Si osserva inoltre che
$M_{\basis}(f_A)= A$ e che $D = M_{\basis'}(f_A)$ è diagonale. Allora, per la formula del cambiamento di base per le applicazioni lineari,
si conclude che:
\[ A = U D U\inv\implies D = U\inv A U = U^* A U, \]
ossia che $U^* A U$ è diagonale. \\
\leftproof Sia $D = U^* A U$. Dacché $D$ è diagonale, $D$ è anche normale. Pertanto $D D^*= D^* D$.
Sostituendo, si ottiene che $U^* A U U^* A^* U = U^* A^* U U^* A U$. Ricordando che $U^* U = I_n$ e
che $U \in U_n$ è sempre invertibile, si conclude che $A A^*= A^* A$, ossia che $A$ è normale a
