In questo modo si dimostra facilmente che in un triangolo il baricentro geometrico giace sulle
In questo modo si dimostra facilmente che in un triangolo il baricentro geometrico giace sulle
congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
Si osserva che se $A$ e $B$ sono due sottospazi affini, allora anche
$A \cap B$ è un sottospazio affine se $A \cap B \neq\emptyset$. Inoltre, se $A \cap B \neq\emptyset$,
allora $(A \cap B)_0= A_0\cap B_0$. \\\vskip 0.05in
Si definisce \textit{somma affine}$A + B$ di due sottospazi affini $A$ e $B$ di $E$
il sottospazio affine $\Aff(A \cup B)$. In generale vale la seguente
uguaglianza:
\[(A + B)_0= A_0+ B_0+\Span(P_0' - P_0), \quad P_0' \in A, P_0\in B. \]
Inoltre $\Span(P_0' - P_0)\subseteq A_0+ B_0\iff A \cap B \neq\emptyset$,
altrimenti $(A + B)_0= A_0+ B_0\oplus\Span(P_0' - P_0)$. Pertanto, se $A \cap B \neq\emptyset$, continua a valere la formula di Grassmann:
\[\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A \cap B)\quad\se A \cap B \neq\emptyset, \]
altrimenti vale la formula di Grassmann modificata:
\[\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A \cap B)+1\quad\se A \cap B =\emptyset. \]
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
@ -2443,47 +2457,39 @@
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[(i)]
\item se $f\in A(E)$ e i punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ sono affinemente indipendenti, allora anche i punti $f(P_0)$, ..., $f(P_n)$ sono affinemente indipendenti,
\item se $f\in A(E)$ e i punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ sono affinemente indipendenti, allora anche i punti $f(P_0)$, ..., $f(P_n)$ sono affinemente indipendenti,
\item se $\dim E_0= n$, i punti $P_0$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti e anche i punti $Q_0$, ... $Q_n$ sono affinemente indipendenti, allora esiste ed è unica l'affinità $f : E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1\text{---}n$,
\item se $\dim E_0= n$, i punti $P_0$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti e anche i punti $Q_0$, ... $Q_n$ sono affinemente indipendenti, allora esiste ed è unica l'affinità $f : E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1\text{---}n$,
\item se $f\in A(E)$, $D \subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è un sottospazio affine della stessa dimensione.
\item se $f\in A(E)$, $D \subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è un sottospazio affine della stessa dimensione.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Spazio proiettivo}
Siano ($P_1$, $P_2$, $P_3$), ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) due terne di punti distinti di $\mathcal{A}_1(\KK)$. Allora esiste ed è unica l'applicazione affine $f \in A(\mathcal{A}_1(\KK))$ tale che $f(P_i)=Q_i$$\forall i=1,$$2$, $3$$\iff\lambda(P_1, P_2, P_3)=\lambda(Q_1, Q_2, Q_3)$, dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è detto \textit{rapporto semplice} ed è definito come:
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
Infatti $f$ è già unica ponendo $f(P_1)= Q_1$ e $f(P_2)= Q_2$; allora, poiché
$\mathcal{A}_1(\KK)$ è di dimensione unitaria, $P_3$ deve scriversi come combinazione
affine di $P_1$ e $P_2$ in modo tale che $P_3= P_1+\lambda(P_2- P_1)$. In questo
modo, poiché $f(P_3)= Q_3$, anche $Q_3= Q_1+\lambda(Q_2- Q_1)$, da cui la
motivazione dietro all'uguaglianza dei rapporti semplici.
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\begin{itemize}
\x\\ 1
\item$A(\AA_1(\KK))$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$,
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
$\Stab(x_0)=\{f\mid f(x_0)=x_0\}\cong\GL_1(\KK)$ (infatti la matrice associata all'affinità dipende da un solo parametro),
\x\\ 1
\item$\abs{\Fix(f)}\leq1$, e
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
$\abs{\Fix(f)}=0\iff f$ è una traslazione, dove $\Fix(f)=\{x\in\mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}$,
\item$A(\mathcal{A}_1(\KK))$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2)\in\AA_1(\KK)\times\AA_1(\KK)$ con $P_1\neq P_2$.
\end{itemize}
\subsection{Spazio proiettivo}
Si definisce \textit{spazio proiettivo} relativo a $\KK^{n+1}$ l'insieme delle rette di $\KK^{n+1}$. Tale spazio viene denotato come $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$ (intuitivamente lo spazio proiettivo perde una dimensione rispetto allo spazio di partenza perché è la proiezione di tutte le rette in un unico punto, eccetto per i punti all'infinito).
Equivalentemente lo spazio proiettivo è l'insieme quoziente di $\KK^{n+1}$ tramite
la relazione di equivalenza $\sim$ dove $\vec x \sim\vec y \defiff\exists\lambda\in\KK, \lambda\neq0\mid\vec x =\lambda\vec y$.
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Ogni punto $\vec x \in\KK^n$ individua un unico sottospazio di dimensione unitaria in $\KK^{n+1}$ tramite $\iota$, ossia: $\Span(\iota(\vec x))=\Span(\projT\x)$. L'insieme di rette non individuate tramite elementi di $\KK^n$ è in particolare formato dalle rette appartenenti al piano $\{\x\in\KK^{n+1}\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$; dal momento che queste rette si identificano come tutte le rette di $\KK^n$, esse rappresentano in particolare lo spazio proiettivo di una dimensione ancora minore, $\PP^{n-1}(\KK)$.
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
Le rette appartenenti al piano $\{\x\in\KK^{n+1}\mid x_{n+1}=0\}$ sono dette \textit{punti all'infinito} di $\PP^n(\KK)$ (intuitivamente un punto all'infinito indica la direzione dei vari infiniti del piano).
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
Alcuni esempi visti a lezione: %da tenere ?
\begin{itemize}
\item$A_1(\KK)$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$. Non agisce liberamente se $x_0\in\mathcal{A}_1(\KK)$
\item$\mathcal{A}_1(\KK)$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2), P_1\neq P_2$
\item Siano $P_1,P_2,P_3$, $Q_1,Q_2,Q_3$ due terne di punti distinti, allora esiste ed è unica $f\in\mathcal{A}_1(\KK)$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,2,3\iff\lambda(P_1,P_2,P_3)=\lambda(Q_1,Q_2,Q_3)$ dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è definito dal \textit{rapporto semplice}$P_3-P_1=\lambda(P_2-P_1)$ ($\iff P_3=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$)
%vari esempi di posizione tra rette e numero di parametri di dipendenza. da inserire (?)
\item$A,B$ sottospazi affini $\implies D\cap D'=\emptyset$ oppure $D\cap D'$ è un sottospazio affine.
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
\item se $A \cap B =\emptyset$, $\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A_0\cap B_0)+1$,
\item ogni affinità $f(\x)= M \x+\vec t$ può scriversi in forma matriciale
come:
\[\Matrix{M &\vec t \\0&1}. \]
\end{itemize}
\subsection{Coniche}%problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
\subsection{Coniche}%problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
