In questo modo si dimostra facilmente che in un triangolo il baricentro geometrico giace sulle
congiungenti dei punti medi con i vertici opposti.
Si osserva che se $A$ e $B$ sono due sottospazi affini, allora anche
$A \cap B$ è un sottospazio affine se $A \cap B \neq\emptyset$. Inoltre, se $A \cap B \neq\emptyset$,
allora $(A \cap B)_0= A_0\cap B_0$. \\\vskip 0.05in
Si definisce \textit{somma affine}$A + B$ di due sottospazi affini $A$ e $B$ di $E$
il sottospazio affine $\Aff(A \cup B)$. In generale vale la seguente
uguaglianza:
\[(A + B)_0= A_0+ B_0+\Span(P_0' - P_0), \quad P_0' \in A, P_0\in B. \]
Inoltre $\Span(P_0' - P_0)\subseteq A_0+ B_0\iff A \cap B \neq\emptyset$,
altrimenti $(A + B)_0= A_0+ B_0\oplus\Span(P_0' - P_0)$. Pertanto, se $A \cap B \neq\emptyset$, continua a valere la formula di Grassmann:
\[\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A \cap B)\quad\se A \cap B \neq\emptyset, \]
altrimenti vale la formula di Grassmann modificata:
\[\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A \cap B)+1\quad\se A \cap B =\emptyset. \]
\subsection{Applicazioni affini e affinità}
Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
@ -2443,47 +2457,39 @@
Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[(i)]
\item se $f\in A(E)$ e i punti $P_0$, ..., $P_n \in E$ sono affinemente indipendenti, allora anche i punti $f(P_0)$, ..., $f(P_n)$ sono affinemente indipendenti,
\item se $\dim E_0= n$, i punti $P_0$, ..., $P_n$ sono affinemente indipendenti e anche i punti $Q_0$, ... $Q_n$ sono affinemente indipendenti, allora esiste ed è unica l'affinità $f : E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1\text{---}n$,
\item se $f\in A(E)$, $D \subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è un sottospazio affine della stessa dimensione.
\end{enumerate}
\subsection{Spazio proiettivo}
Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$\textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
Ogni punto $\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
\x\\ 1
\end{pmatrix})\in\KK^{n+1}$ di dimensione 1.
La differenza $\PP^n(\KK)\setminus\mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in\KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$%??
Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in\mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$%??
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
Ogni 1-sottospazio $l\in\KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
\subsection{Complementi sugli spazi affini}
Alcuni esempi visti a lezione: %da tenere ?
\begin{itemize}
\item$A_1(\KK)$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$. Non agisce liberamente se $x_0\in\mathcal{A}_1(\KK)$
\item$\mathcal{A}_1(\KK)$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2), P_1\neq P_2$
\item Siano $P_1,P_2,P_3$, $Q_1,Q_2,Q_3$ due terne di punti distinti, allora esiste ed è unica $f\in\mathcal{A}_1(\KK)$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,2,3\iff\lambda(P_1,P_2,P_3)=\lambda(Q_1,Q_2,Q_3)$ dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è definito dal \textit{rapporto semplice}$P_3-P_1=\lambda(P_2-P_1)$ ($\iff P_3=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$)
%vari esempi di posizione tra rette e numero di parametri di dipendenza. da inserire (?)
\item$A,B$ sottospazi affini $\implies D\cap D'=\emptyset$ oppure $D\cap D'$ è un sottospazio affine.
\item se $A \cap B \neq\emptyset$, vale la formula di Grassmann,
\item se $A \cap B =\emptyset$, $\dim(A + B)=\dim A +\dim B -\dim(A_0\cap B_0)+1$,
\item ogni affinità $f(\x)= M \x+\vec t$ può scriversi in forma matriciale
come:
\[\Matrix{M &\vec t \\0&1}. \]
Siano ($P_1$, $P_2$, $P_3$), ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) due terne di punti distinti di $\mathcal{A}_1(\KK)$. Allora esiste ed è unica l'applicazione affine $f \in A(\mathcal{A}_1(\KK))$ tale che $f(P_i)=Q_i$$\forall i=1,$$2$, $3$$\iff\lambda(P_1, P_2, P_3)=\lambda(Q_1, Q_2, Q_3)$, dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è detto \textit{rapporto semplice} ed è definito come:
Infatti $f$ è già unica ponendo $f(P_1)= Q_1$ e $f(P_2)= Q_2$; allora, poiché
$\mathcal{A}_1(\KK)$ è di dimensione unitaria, $P_3$ deve scriversi come combinazione
affine di $P_1$ e $P_2$ in modo tale che $P_3= P_1+\lambda(P_2- P_1)$. In questo
modo, poiché $f(P_3)= Q_3$, anche $Q_3= Q_1+\lambda(Q_2- Q_1)$, da cui la
motivazione dietro all'uguaglianza dei rapporti semplici.
\begin{itemize}
\item$A(\AA_1(\KK))$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$,
$\Stab(x_0)=\{f\mid f(x_0)=x_0\}\cong\GL_1(\KK)$ (infatti la matrice associata all'affinità dipende da un solo parametro),
\item$\abs{\Fix(f)}\leq1$, e
$\abs{\Fix(f)}=0\iff f$ è una traslazione, dove $\Fix(f)=\{x\in\mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}$,
\item$A(\mathcal{A}_1(\KK))$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2)\in\AA_1(\KK)\times\AA_1(\KK)$ con $P_1\neq P_2$.
\end{itemize}
\subsection{Spazio proiettivo}
Si definisce \textit{spazio proiettivo} relativo a $\KK^{n+1}$ l'insieme delle rette di $\KK^{n+1}$. Tale spazio viene denotato come $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$ (intuitivamente lo spazio proiettivo perde una dimensione rispetto allo spazio di partenza perché è la proiezione di tutte le rette in un unico punto, eccetto per i punti all'infinito).
Equivalentemente lo spazio proiettivo è l'insieme quoziente di $\KK^{n+1}$ tramite
la relazione di equivalenza $\sim$ dove $\vec x \sim\vec y \defiff\exists\lambda\in\KK, \lambda\neq0\mid\vec x =\lambda\vec y$.
Ogni punto $\vec x \in\KK^n$ individua un unico sottospazio di dimensione unitaria in $\KK^{n+1}$ tramite $\iota$, ossia: $\Span(\iota(\vec x))=\Span(\projT\x)$. L'insieme di rette non individuate tramite elementi di $\KK^n$ è in particolare formato dalle rette appartenenti al piano $\{\x\in\KK^{n+1}\mid x_{n+1}=0\}\cong\KK^n$; dal momento che queste rette si identificano come tutte le rette di $\KK^n$, esse rappresentano in particolare lo spazio proiettivo di una dimensione ancora minore, $\PP^{n-1}(\KK)$.
Le rette appartenenti al piano $\{\x\in\KK^{n+1}\mid x_{n+1}=0\}$ sono dette \textit{punti all'infinito} di $\PP^n(\KK)$ (intuitivamente un punto all'infinito indica la direzione dei vari infiniti del piano).
Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in\mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$ dal momento che ogni retta deve intersecare almeno uno di questi iperpiani in un punto.
\subsection{Coniche}%problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
