\item$A$ è unitaria ($A \in U(n)$ o $U_n$) $\defiff AA^*= A^*A = I_n$.
\end{itemize}
Se $A \in M(m, n, \RR)$, allora $\Ker A^\top A =\Ker A$. Infatti, se $\vec x \in\Ker A^\top A$, allora $A^\top A \vec x =\vec0\implies\vec x ^\top A^\top A \vec x =\vec0\implies q(A \vec x)=\vec0\implies A \vec x =\vec0\implies\vec x \in\Ker A$, dove $q$ è la forma quadratica derivante dal prodotto scalare standard
di $\RR^n$. Da questo risultato si deduce anche che $\rg(A^\top A)=\rg(A)$. \\
\vskip 0.05in
Se $A \in M(m, n, \CC)$, allora $\Ker A^* A =\Ker A$ e $\rg(A^* A)=\rg(A)$ (si segue la stessa linea
di dimostrazione di sopra).
\subsection{Rango di una matrice}
Si definisce rango di una matrice $A$ il numero di colonne linearmente
@ -1843,7 +1849,7 @@
dove $r =\rg(\varphi)$ (teorema di Sylvester, caso complesso; si consideri una base ortogonale e se
ne normalizzino i vettori anisotropi),
\item Due matrici simmetriche con stesso rango allora non solo sono SD-equivalenti, ma sono
\item Due matrici simmetriche ad elementi complessi con stesso rango allora non solo sono SD-equivalenti, ma sono
anche congruenti,
\item (se $\KK=\RR$) Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ tale che:
@ -2076,15 +2082,31 @@
Se $\varphi$ è un prodotto scalare, $f^*= f^\top$ si chiama \textit{trasposto}
di $f$, mentre se $\varphi$ è hermitiano $f^*$ si dice \textit{aggiunto} di $f$.
D'ora in poi si intenderà con $f^\top$ il trasposto di $f$ (con $\varphi$ scalare) e con $f^*$ l'aggiunto di $f$ (con $\varphi$ hermitiano).
D'ora in poi si intenderà con $f^\top$ il trasposto di $f$ (con $\varphi$ scalare) e con $f^*$ l'aggiunto di $f$ (con $\varphi$ hermitiano). \\
Un'operatore $f$ si dice \textit{simmetrico} se $f = f^\top$ e quindi se $\varphi(\v, f(\w))=\varphi(f(\v), \w)$ (analogamente un'operatore si dice \textit{hermitiano} se $f = f^*$). \\
Un'operatore $f$ si dice \textit{ortogonale} se è un'isometria da
$(V, \varphi)$ in $(V, \varphi)$, ossia se e solo se $\varphi(\v, \w)=\varphi(f(\v), f(\w))$ (analogamente un'operatore si dice \textit{unitario} se è un'isometria con
$\varphi$ prodotto hermitiano). \\
Sia $\basis$ una base di $V$.
\begin{itemize}
\item se $\basis$ è una base ortonormale, $M_\basis(f^\top)= M_\basis(f)^\top$ (infatti in tal caso $M_\basis(\varphi)= I_n$),
\item se $\basis$ è una base ortonormale, $M_\basis(f^*)= M_\basis(f)^*$ (come sopra),
\item$f$ è simmetrico $\iff$$f = f^\top$$\iff$$M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi)= M_\basis(f^\top)= M_\basis(f)$$\iff$$M_\basis(\varphi) M_\basis(f)$ è simmetrica,
\item se $\basis$ è una base ortonormale, $f$ è simmetrico $\iff$$f = f^\top$$\iff$$M_\basis(f)= M_\basis(f)^\top$$\iff$$M_\basis(f)$ è simmetrica,
\item$f$ è hermitiano $\iff$$f = f^*$$\iff$$M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi)= M_\basis(f^*)= M_\basis(f)$$\iff$$M_\basis(\varphi) M_\basis(f)$ è hermitiana,
\item se $\basis$ è una base ortonormale, $f$ è hermitiana $\iff$$f = f^*$$\iff$$M_\basis(f)= M_\basis(f)^*$$\iff$$M_\basis(f)$ è hermitiana,
\item$(f^\top)^\top= f$,
\item$(f^*)^*= f$,
\item$(\lambda f)^\top=\lambda f^\top$,
\item$(\lambda f)^*=\conj{\lambda} f^*$,
\item$(f + g)^\top= f^\top+ g^\top$,
\item$(f + g)^*= f^*+ g^*$,
\item$(f \circ g)^\top= g^\top\circ f^\top$,
\item$(f \circ g)^*= g^*\circ f^*$,
\item se $f$ è invertibile, $(f^\top)\inv=(f\inv)^\top$ (è sufficiente mostrare che $\varphi((f^\top\circ(f\inv)^\top)(\v), \w)=\varphi(\v, \w)$ e dedurre,
sottraendo i due membri, che deve valere $f^\top\circ(f\inv)^\top=\Idv$),
\item se $f$ è invertibile, $(f^*)\inv=(f\inv)^*$ (come sopra),
@ -2094,7 +2116,7 @@
\item$\Im f^*=(\Ker f)^\perp$,
\item se $W$ è un sottospazio di $V$, allora $W$ è $f$-invariante se e solo
se $W^\perp$ è $f^*$-invariante,
\item l'operatore $\top\in\End(\End(V))$ è sempre diagonalizzabili
\item l'operatore $\top\in\End(\End(V))$ è sempre diagonalizzabile
e ha spettro $\{\pm1\}$, dal momento che il suo polinomio minimo è $x^2-1$ (infatti $(f^\top)^\top= f$ e gli autospazi relativi a $1$ e $-1$ sono entrambi diversi da $\zerovecset$),
\item l'autospazio $V_1$ di $\top$ raccoglie gli operatori simmetrici, mentre
$V_{-1}$ raccoglie gli operatori antisimmetrici.
@ -2253,7 +2275,7 @@
Chiamiamo $D_0$\textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
In generale i sottospazi affini corrispondo ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
In generale i sottospazi affini corrispondono ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
