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feat(geometria/schede): aggiunge operatori trasposti e aggiunti

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g.videtta
2023-06-30 16:57:13 +02:00
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Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf
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Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex
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@@ -2058,9 +2058,48 @@
rango, allora $V$ e $W$ sono isometrici tra loro (come conseguenza stavolta del teorema di Sylvester
complesso).
\subsection{Operatori simmetrici, ortogonali, hermitiani e unitari}
\subsection{Trasposta e aggiunta di un'applicazione}
Sia $(V, \varphi)$ uno spazio dotato di un prodotto $\varphi$ non degenere. Allora si definisce $f^* \in \End(V)$ (talvolta indicato come $f^\top$ se $\varphi$ non è hermitiano, quando è chiaro che non ci stia riferendo alla trasposizione dell'operatore $f$)
come l'unico operatore tale per cui $\varphi(f^*(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w))$.
In particolare, se $\varphi$ non è hermitiano, tale operatore soddisfa la seguente relazione:
\[ \alpha_\varphi \circ f^* = f^\top \circ \alpha_\varphi, \]
[TODO]
dove con $f^\top$ si indica l'applicazione trasposta di $f$. Scelta allora una
base $\basis$ di $V$, sempre se $\varphi$ non è hermitiano, si può scrivere in relazione a $M_\basis(f)$ la
matrice associata a $f^*$:
\[ M_\basis(f^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi). \]
Se invece $\varphi$ è hermitiano, vale la seguente relazione:
\[ M_\basis(f^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi). \]
Se $\varphi$ è un prodotto scalare, $f^* = f^\top$ si chiama \textit{trasposto}
di $f$, mentre se $\varphi$ è hermitiano $f^*$ si dice \textit{aggiunto} di $f$.
D'ora in poi si intenderà con $f^\top$ il trasposto di $f$ (con $\varphi$ scalare) e con $f^*$ l'aggiunto di $f$ (con $\varphi$ hermitiano).
\begin{itemize}
\item $(f^\top)^\top = f$,
\item $(f^*)^* = f$,
\item $(\lambda f)^\top = \lambda f^\top$,
\item $(\lambda f)^* = \conj{\lambda} f^*$,
\item $(f + g)^\top = f^\top + g^\top$,
\item $(f + g)^* = f^* + g^*$,
\item se $f$ è invertibile, $(f^\top)\inv = (f\inv)^\top$ (è sufficiente mostrare che $\varphi((f^\top \circ (f\inv)^\top)(\v), \w) = \varphi(\v, \w)$ e dedurre,
sottraendo i due membri, che deve valere $f^\top \circ (f\inv)^\top = \Idv$),
\item se $f$ è invertibile, $(f^*)\inv = (f\inv)^*$ (come sopra),
\item $\Ker f^\top = (\Im f)^\perp$,
\item $\Ker f^* = (\Im f)^\perp$,
\item $\Im f^\top = (\Ker f)^\perp$,
\item $\Im f^* = (\Ker f)^\perp$,
\item se $W$ è un sottospazio di $V$, allora $W$ è $f$-invariante se e solo
se $W^\perp$ è $f^*$-invariante,
\item l'operatore $\top \in \End(\End(V))$ è sempre diagonalizzabili
e ha spettro $\{\pm 1\}$, dal momento che il suo polinomio minimo è $x^2-1$ (infatti $(f^\top)^\top = f$ e gli autospazi relativi a $1$ e $-1$ sono entrambi diversi da $\zerovecset$),
\item l'autospazio $V_1$ di $\top$ raccoglie gli operatori simmetrici, mentre
$V_{-1}$ raccoglie gli operatori antisimmetrici.
\end{itemize}
\subsection{Spazi euclidei reali e complessi}
@@ -2394,7 +2433,7 @@
\subsection{Classificazione delle coniche}
Classificazione \textit{affine}: si trova una forma canonica nelle orbite del gruppo affine $A_n(\KK)$.
se $V$ è euclideo su $\RR$, si può introdurre la distanza $d(P,Q)=\norm{Q-P}$.
Se $V$ è euclideo su $\RR$, si può introdurre la distanza $d(P,Q)=\norm{Q-P}$.
Le isometrie di $E$ sono quelle affinità che preservano la distanza e formano il gruppo $ISO(E)$.
Classificazione \textit{isometrica}: Si trovano forme canoniche nelle orbite rispetto a $ISO(E)$ %???