le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in $\overline{K}$, ossia
le $K$-immersioni\footnote{
Una $K$-immersione è un monomorfismo tra estensioni di $K$
che fissa $K$.
} di $K(\alpha)$ in $\overline{K}$, ossia
di studiare i campi $K$-isomorfi a $K(\alpha)$ presenti in
di studiare i campi $K$-isomorfi a $K(\alpha)$ presenti in
$\overline{K}$, come dimostra la:
$\overline{K}$, come dimostra il:
\begin{proposition}
\begin{theorem}[$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
Sia $\alpha\in\faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora,
Sia $\alpha\in\faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora,
se $d$ è il numero di coniugati distinti di $\alpha$,
se $d$ è il numero di coniugati distinti di $\alpha$,
esistono esattamente $d$$K$-immersioni di $K(\alpha)$
esistono esattamente $d$$K$-immersioni di $K(\alpha)$
in $\overline{K}$ e sono tali da mandare $\alpha$ in
in $\overline{K}$ e sono tali da mandare $\alpha$ in
un suo altro coniugato.
un suo altro coniugato.
\end{proposition}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{proof}
Per considerare le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in
Per considerare le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in
@ -163,16 +166,23 @@
$\beta$ deve essere un coniugato di $\alpha$. Pertanto
$\beta$ deve essere un coniugato di $\alpha$. Pertanto
gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
tali per cui $\alpha$ venga mandato in $\beta$. Questi
tali per cui $\alpha$ venga mandato in $\beta$. Questi
omomorfismi
sono $K$-immersioni dal momento che l'unità viene preservata,
sono $K$-immersioni dal momento che l'unità viene preservata,
da cui la tesi.
da cui la tesi.
\end{proof}
\end{proof}
\hr
\hr
\begin{definition}[polinomio separabile]
Un polinomio $p \in K[x]$ si dice \textbf{separabile}
se $p$ ha radici distinte in un suo campo di
spezzamento.
\end{definition}
\begin{definition}[estensione separabile]
\begin{definition}[estensione separabile]
Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{separabile}
Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{separabile}
se per ogni $\alpha\in L$, $\mu_{\alpha,K}$ ha radici
se per ogni $\alpha\in L$, $\mu_{\alpha,K}$è
distinte.
un polinomio separabile.
\end{definition}
\end{definition}
\begin{definition}[campo perfetto]
\begin{definition}[campo perfetto]
@ -190,7 +200,7 @@
\begin{note}
\begin{note}
Si assumerà d'ora in poi che \underline{\textit{$K$
Si assumerà d'ora in poi che \underline{\textit{$K$
è perfetto}}, in modo tale da semplificare l'introduzione
è un campo perfetto}}, in modo tale da semplificare l'introduzione
alla teoria di Galois.
alla teoria di Galois.
\end{note}
\end{note}
@ -198,4 +208,83 @@
Poiché $K$ è perfetto, le $K$-immersioni di $K(\alpha)$
Poiché $K$ è perfetto, le $K$-immersioni di $K(\alpha)$
sono esattamente $[K(\alpha) : K]=\deg_K \alpha$.
sono esattamente $[K(\alpha) : K]=\deg_K \alpha$.
\end{remark}
\end{remark}
\begin{remark}
Se $\varphi_i : K(\alpha)\mono\overline{K}$ è un'estensione di $\varphi : K \mono\overline{K}$, allora
$\varphi_i(K(\alpha))= K(\varphi_i(\alpha))$.
\end{remark}
Poiché i campi considerati sono perfetti, si possono
studiare in generale le estensioni di tutte le immersioni
di $K$ in $\overline{K}$, e quindi non solo le estensioni
dell'identità, come dimostra il:
\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
Sia $\alpha\in\faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora
per ogni $\varphi : K \mono\overline{K}$ esistono
esattamente $\deg_K \alpha$ estensioni $\varphi_i : K(\alpha)\mono K$ di $\varphi$, ossia monomorfismi per cui $\restr{\varphi_i}{K}=\varphi$. Tali estensioni sono tali da mappare $\alpha$
nelle radici di $\varphi(\mu_\alpha)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per considerare le estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in
$K$, si considera prima l'isomorfismo:
\[ K(\alpha)\cong K[x]\quot{(\mu_\alpha)}. \]
Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi_i$
da $K[x]$ a $\overline{K}$ tale per cui $K$ viene mappato
tramite $\varphi$ è completamente determinato da
$\beta=\varphi_i(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
alla valutazione del polinomio $q$, ottenuto mappando i
coefficienti di $p$ tramite $\varphi$, in $\beta$, detto
$\varphi(p)(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
appartenga a $\Ker\varphi$, deve valere $\varphi(\mu_\alpha)(\beta)=0$, e quindi
$\beta$ deve essere una radice di $\varphi(\mu_\alpha)$.
Pertanto gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
tali per cui $\alpha$ venga mandato nelle radici di
$\varphi(\mu_\alpha)$. Questi omomorfismi sono
ancora immersioni dal momento che l'unità viene
preservata da $\varphi_i$. Dal momento che $\varphi$ è
a sua volta un'immersione, $\varphi(\mu_\alpha)$ è
