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feat(geometria): aggiunge la parte iniziale sulla teoria delle quadriche
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{10 maggio 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Classificazione delle coniche}
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\end{center}
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\wip
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\begin{note}
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Si assume che, nel corso del documento, valga che $\Char \KK \neq 2$.
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\end{note}
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\begin{definition} [quadriche] Si dice \textbf{quadrica} un qualsiasi luogo di zeri
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di un polinomio $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ con $\deg p = 2$.
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\end{definition}
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\begin{definition} [coniche] Si dice \textbf{conica} una quadrica relativa ad un polinomio
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in due variabili.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li Una quadrica è invariante per la relazione $\sim$ su $\KK[x_1, \ldots, x_n]$, dove
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$p_1 \sim p_2 \defiff \exists \alpha \in \KK^* \mid p_1 = \alpha p_2$. Infatti
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il luogo di zeri di un polinomio non varia se esso viene moltiplicato per una costante non nulla di $\KK$. \\
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\li Una quadrica può essere vuota (come nel caso della conica relativa a $x^2 + y^2 + 1$ in $\RR$). \\
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\li Si identifica con la notazione $p(\x)$ con $\x \in \KK^n$, la valutazione del polinomio $p$ nelle coordinate
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di $\x$. Per esempio, se $\x = (1, 2)$ e $p(x, y) = x^2 + y^2$, con $p(\x)$ si identifica il valore
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$p(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 5$.
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\end{remark}
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\begin{remark} [riscrittura di $p$ mediante matrici]
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Sia $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ di grado due. Allora $p$ si può sempre scrivere come $p_2 + p_1 + p_0$,
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dove $p_i$ è un polinomio omogeneo contenente soltanto monomi di grado $i$. \\
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In particolare, $p_2(x_1, \ldots, x_n)$ può essere sempre riscritto come $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}$
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con $a_{ij} \in \KK$ con $a_{ij} = a_{ji}$.
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È infatti sufficiente "sdoppiare" il coefficiente $c_{ij}$
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di $x_i x_j$ in due metà, in modo tale che $c_{ij} x_i x_j = \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j + \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j = \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j + \frac{c_{ij}}{2} x_j x_i$. Inoltre, anche $p_1(x_1, \ldots, x_n)$ può essere riscritto come $\sum_{i=1}^n b_{ij}$. \\
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Si possono allora considerare la matrice $A \in M(n, \KK)$ ed il vettore $\vec b \in \KK^n$, definiti in modo tale che:
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\[ A = (a_{ij})_{i,j=1\mbox{--}n}, \qquad \vec b = (b_i)_{i=1\mbox{--}n} \in \KK^n. \]
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\vskip 0.05in
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Infatti, $A$ e $\vec b$ soddisfano la seguente identità:
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\[ p(\x) = \x^\top A \x + \vec b^\top \x + c, \]
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\vskip 0.05in
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che, riscritta tramite l'identificazione di $\AnK$ come l'iperpiano $H_{n+1} \in \Aa_{n+1}(\KK)$,
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diventa:
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\[ p(\x) = {\hat \x}^\top \hat A \hat \x, \quad \dove \hat A = \Matrix{A & \rvline & \nicefrac{\vec b}{2} \, \\[1pt] \hline & \rvline & \\[-9pt] \nicefrac{{\vec b}^\top}{2} & \rvline & c }. \]
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\vskip 0.05in
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Si osserva che $\hat A$ è una matrice simmetrica di taglia $n+1$ a elementi in $\KK$, e in quanto
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tale essa induce un prodotto scalare su $\KK^{n+1}$. Pertanto la quadrica relativa $p$ è esattamente
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l'intersezione tra $H_{n+1}$ e $\CI(\hat A)$, identificando $\KK^{n+1}$ come $H_{n+1}$, ossia
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la quadrica è esattamente $\iota\inv(H_{n+1} \cap \CI(\hat A))$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[matrice associata ad una quadrica]
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Si definisce la costruzione appena fatta di $\hat A$ come la \textbf{matrice associata alla quadrica relativa a $p$}, e si indica con $\MM(p)$. In particolare, $A$ è detta la matrice che rappresenta la \textit{parte quadratica}, e si indica con $\AA(p)$, mentre $\nicefrac{\vec b}2$ rappresenta la \textit{parte lineare}, indicata con $\Ll(p)$,
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e $c = c(p)$ è detto \textit{termine noto}.
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\end{definition}
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\begin{definition}[azione di $A(\Aa_n(\KK))$ su $\KKxn$]
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Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$. Allora $A(\Aa_n(\KK))$ agisce su $\KKxn$ in modo tale che
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$p' = p \circ f$ è un polinomio per cui $p'(\x) = p(f(\x))$.
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\end{definition}
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\begin{proposition} [formula del cambiamento della matrice associata su azione di $A(\Aa_n(\KK))$]
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Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$ e sia $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ di grado due. Allora vale
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la seguente identità:
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\begin{multline*}
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\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top \MM(p) \hat M = \Matrix{M^\top \AA(p) \vec t M & \rvline & M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \, \\[1pt] \hline & \rvline & \\[-9pt] \, \left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top & \rvline & p(\vec t)}, \\[0.1in]
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\con \hat M = \Matrix{ M & \rvline & \vec t \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, },
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\end{multline*}
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\vskip 0.05in
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dove $f(\x) = M \x + \vec t$ $\forall \x \in \KK^n$ con $M \in \GL(n, \KK)$ e $\vec t \in \KK^n$.
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\end{proposition}
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\end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Esercitazione: forma canonica di Jordan reale}
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\end{center}
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\wip
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\begin{exercise}
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Sia $M \in M(n, \RR)$ tale che $\exists a_1$, ..., $a_k \in \RR$ distinti
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tale che:
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\[ (M^2 + a_1^2 I) \cdots (M^2 + a_k^2 I) = 0. \]
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Dimostrare allora che esistono $S$, $A \in M(n, \RR)$ tale che
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$M = SA$ con $S$ simmetrica e $A$ antisimmetrica.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Per ipotesi, $p(x) = (x^2+a_1^2) \cdots (x^2 + a_k^2) \in \Ker \sigma_M$.
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Dal momento che $p(x)$ si scompone in fattori lineari distinti in
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$\CC$, $p(x)$ è anche il polinomio minimo di $M$. Si deduce
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allora che $M$ è diagonalizzabile, e che i suoi autovalori sono
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esattamente $\pm a_1 i$, ..., $\pm a_k i$. Allora la forma
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canonica di Jordan reale di $M$ è:
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\[ J = \Matrix{1} \]
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... \\
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\end{solution}
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\begin{remark}\nl
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\li $f(\Rad \varphi) = \Rad \psi$.
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\li $[]$ è un'isometria tra $(V, \varphi)$ e $(\KK^n, M_\basis(\varphi))$.
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\\ Si dice cono isotropo $CI(\varphi)$ l'insieme dei vettori
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isotropi di $V$. $CI(\varphi) = V \iff \varphi = 0$ ($\Char \KK\neq 2$).
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\end{remark}
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\begin{exercise}
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Sia $V = \RR_2[x]$ e sia $\varphi : V \times V \to \RR$ tale che
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$\varphi(p, q) = p(1) q(2) + p(2) q(1)$ $\forall p$, $q \in V$.
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Si mostri che $\varphi$ è un prodotto scalare di $V$.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Si osserva che $\varphi$ è simmetrica. Inoltre, $\varphi(p + p', q) =
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p(1) q(2) + p'(1) q(2) + p(2) q(1) + p'(2) q(1) = \varphi(p, q) +
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\varphi(p', q)$, e $\varphi(\alpha p, q) = \alpha \varphi(p, q)$;
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quindi $\varphi$ è un prodotto scalare. \\
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Sia $\basis$ la base con $1$, $x$, $x^2$. Allora la matrice
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associata è:
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\[ M = \Matrix{ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 8 }. \]
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Vale che $\rg(M) = 2$ e che $\Ker M = \Span\Vector{2 \\ -3 \\ 1}$,
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ossia che $\Rad \varphi = \Span(x^2-3x+2)$. Si poteva
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ottenere questo risultato direttamente dalla definizione di $\varphi$.
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Sia infatti $\varphi(p, q) = 0$ $\forall q \in V$. Sia allora
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$q = x-2$: allora $\varphi(p, q) = p(2) q(1) = -p(2) = 0 \implies
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x-2 \mid p$. Con $q = x-1$, invece, $x-1 \mid p$. Quindi $(x-1)(x-2) \mid p \implies p \in \Span((x-1)(x-2)) = \Span(x^2-3x+2)$.
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\end{solution}
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\begin{exercise}
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Sia $\KK = \RR$. Sia $V = S(2, \RR)$ e sia $\varphi : V \times V \to \KK$ tale che che $\varphi(A, B) = (1 2) A B \Vector{1 \\ 2}$ $\forall
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A, B \in V$. Infatti $\varphi(B, A) = (1 2) B A \Vector{1 \\ 2} =
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(1 2) A^\top B^\top \Vector{1 \\ 2} = \varphi(A, B)$. Chiaramente
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è lineare. \\
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Sia $\basis$ $A_1$, $A_2$ (0 0 \\ 0 1) e $A_3$ la base standard di $V$.
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Allora $\varphi(A_1, A_1) = 1$, $\varphi(A_1, A_2) = 0$, ..., da cui:
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\[ M = \Matrix{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 5}. \]
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Si consideri $A_1$: $A_1$ non è isotropo. Si ricerca allora
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$A_1^\perp$. $0 = \varphi(A, B) = (1 2) A_1 B \Vector{1 \\ 2} =
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(1 2) \Matrix{ a & c \\ 0 & 0} \Vector{1 \\ 2} = a + 2c \implies
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a = -2c$, ossia $A_1^\perp = \Span(\Matrix{-2 & 1 \\ 1 & 0},
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\Matrix{0 & 0 \\ 0 & 1})$. \\
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Anche $A_2$ non è isotropo, quindi si considera $A_2^\perp$
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\end{exercise}
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\end{document}
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